中考數(shù)學與二次函數(shù)有關(guān)的壓軸題含詳細答案

中考數(shù)學與二次函數(shù)有關(guān)的壓軸題含詳細答案一、二次函數(shù)1．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標為（﹣1，0），點O為坐標原點，OC=3OA，拋物線C1的頂點為G．（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標；（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點，試探究在直線y=﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3，點G的坐標為（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由點A的坐標及OC=3OA得點C坐標，將A、C坐標代入解析式求解可得；（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x軸于點D，設(shè)BD′=m，由等邊三角形性質(zhì)知點B′的坐標為（m+1，0），點G′的坐標為（1，m），代入所設(shè)解析式求解可得；（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根據(jù)PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均為鈍角知△AOQ≌△PQN，延長PQ交直線y=﹣1于點H，證△OQM≌△QNH，根據(jù)對應(yīng)邊相等建立關(guān)于x的方程，解之求得x的值從而進一步求解即可．【詳解】（1）∵點A的坐標為（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴點C的坐標為（0，3），將A、C坐標代入y=ax2﹣2ax+c，得：，解得：，∴拋物線C1的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以點G的坐標為（1，4）；（2）設(shè)拋物線C2的解析式為y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，過點G′作G′D⊥x軸于點D，設(shè)BD′=m，∵△A′B′G′為等邊三角形，∴G′D=B′D=m，則點B′的坐標為（m+1，0），點G′的坐標為（1，m），將點B′、G′的坐標代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：，解得：（舍），，∴k=1；（3）設(shè)M（x，0），則P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ、∠PQN均為鈍角，∴△AOQ≌△PQN，如圖2，延長PQ交直線y=﹣1于點H，則∠QHN=∠OMQ=90°，又∵△AOQ≌△PQN，∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，∴∠MOQ=∠HQN，∴△OQM≌△QNH（AAS），∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，解得：x=（負值舍去），當x=時，HN=QM=﹣x2+2x+2=，點M（，0），∴點N坐標為（+，﹣1），即（，﹣1）；或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；如圖3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，當x=4時，點M的坐標為（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴點N的坐標為（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；綜上點M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及到的知識有待定系數(shù)法、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.2．一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m.(1)將拋物線放在所給的直角坐標系中(如圖所示)，其表達式是的形式.請根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出a，c的值.(2)求支柱MN的長度.(3)拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計)？請說說你的理由.【答案】（1）y=-x2+6；（2）5.5米；（3）一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車．【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目可知A．B，C的坐標，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解．（2）設(shè)N點的坐標為（5，yN）可求出支柱MN的長度．（3）設(shè)DN是隔離帶的寬，NG是三輛車的寬度和．做GH垂直AB交拋物線于H則可求解．試題解析：(1)根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標分別是(-10,0)、(0,6)、(10,0).將B、C的坐標代入，得解得.∴拋物線的表達式是.(2)可設(shè)N(5,)，于是.從而支柱MN的長度是10-4.5=5.5米.(3)設(shè)DE是隔離帶的寬，EG是三輛車的寬度和，則G點坐標是(7,0)(7=2÷2＋2×3).過G點作GH垂直AB交拋物線于H，則.根據(jù)拋物線的特點，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車.3．如圖所示，已知平面直角坐標系xOy，拋物線過點A(4,0)、B(1,3)(1)求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；(2)記該拋物線的對稱軸為直線l，設(shè)拋物線上的點P(m,n)在第四象限，點P關(guān)于直線l的對稱點為E，點E關(guān)于y軸的對稱點為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值.【答案】(1)y=-，對稱軸為：x=2，頂點坐標為：（2，4）(2)m、n的值分別為5，-5【解析】（1）將點A(4,0)、B(1,3)的坐標分別代入y＝－x2＋bx＋c，得：4b+c-16=0，b+c-1="3"，解得：b="4"，c=0．所以拋物線的表達式為：．y=-，所以拋物線的對稱軸為：x=2，頂點坐標為：（2，4）．（2）由題可知，E、F點坐標分別為（4-m，n），（m-4，n）．三角形POF的面積為：1/2×4×|n|=2|n|，三角形AOP的面積為：1/2×4×|n|=2|n|，四邊形OAPF的面積=三角形POF的面積+三角形AOP的面積=20，所以4|n|=20，n=-5．（因為點P(m,n)在第四象限，所以n<0）又n=-+4m，所以-4m-5=0，m=5．（因為點P(m,n)在第四象限，所以m>0)故所求m、n的值分別為5，-5．4．紅星公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為20元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量(件)與時間(天)的關(guān)系如下表：時間(天)1361036…日銷售量(件)9490847624…未來40天內(nèi)，前20天每天的價格y1(元/件)與t時間(天)的函數(shù)關(guān)系式為：y1=t+25(1≤t≤20且t為整數(shù))；后20天每天的價格y2(原/件)與t時間(天)的函數(shù)關(guān)系式為：y2=—t+40(21≤t≤40且t為整數(shù)).下面我們來研究這種商品的有關(guān)問題.(1)認真分析上表中的數(shù)量關(guān)系，利用學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)請預(yù)測未來40天中那一天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？(3)在實際銷售的前20天中該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤(a＜4)給希望工程，公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求a的取值范圍.【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）當t=14時，利潤最大，最大利潤是578元；（3）3≤a＜4．【解析】分析：（1）通過觀察表格中的數(shù)據(jù)日銷售量與時間t是均勻減少的，所以確定m與t是一次函數(shù)關(guān)系，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)日銷售量、每天的價格及時間t可以列出銷售利潤W關(guān)于t的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少；

（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍．詳解：（1）設(shè)數(shù)m=kt+b，有,解得∴m=-2t+96，經(jīng)檢驗，其他點的坐標均適合以上

析式故所求函數(shù)的解析式為m=-2t+96．

（2）設(shè)日銷售利潤為P，由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，

∵21≤t≤40且對稱軸為t=44，

∴函數(shù)P在21≤t≤40上隨t的增大而減小，

∴當t=21時，P有最大值為（21-44）2-16=529-16=513（元），答：來40天中后20天，第2天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是513元.

（3）P1=（-2t+96）

=-+（14+2a）t+480-96n，

∴對稱軸為t=14+2a，

∵1≤t≤20，

∴14+2a≥20得a≥3時，P1隨t的增大而增大，

又∵a＜4，

∴3≤a＜4．點睛：解答本題的關(guān)鍵是要分析題意根據(jù)實際意義準確的求出解析式，并會根據(jù)圖示得出所需要的信息．同時注意要根據(jù)實際意義準確的找到不等關(guān)系，利用不等式組求解．5．二次函數(shù)y=x2-2mx+3（m＞）的圖象與x軸交于點A（a，0）和點B（a+n，0）（n＞0且n為整數(shù)），與y軸交于C點．（1）若a=1，①求二次函數(shù)關(guān)系式；②求△ABC的面積；（2）求證：a=m-；（3）線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標是整數(shù)，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）證明見解析；（3）a=1或a=?．【解析】試題分析：（1）①首先根據(jù)a=1求得A的坐標，然后代入二次函數(shù)的解析式，求得m的值即可確定二次函數(shù)的解析式；②根據(jù)解析式確定拋物線與坐標軸的交點坐標，從而確定三角形的面積；（2）將原二次函數(shù)配方后即可確定其對稱軸為x=m，然后根據(jù)A、B兩點關(guān)于x=m對稱得到a+n-m=m-a，從而確定a、m、n之間的關(guān)系；（3）根據(jù)a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m的值即可確定a的值．試題解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，當y=0時，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根據(jù)解析式求出C點坐標為（0，3），∴OC=3，△ABC的面積=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴對稱軸為直線x=m，∵二次函數(shù)y=x2-2mx+3的圖象與x軸交于點A和點B∴點A和點B關(guān)于直線x=m對稱，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化為頂點式為y=（x-m）2-m2+3（m＞）①當a為整數(shù)，因為n＞0且n為整數(shù)所以a+n是整數(shù)，∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標是整數(shù)，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②當a不是整數(shù)，因為n＞0且n為整數(shù)所以a+n不是整數(shù)，∵線段AB（包括A、B）上有且只有三個點的橫坐標是整數(shù)，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=?，綜上所述：a=1或a=?．考點：二次函數(shù)綜合題．6．如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點，①連接BC、CD、BD，設(shè)BD交直線AC于點E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2．求：的最大值；②如圖2，是否存在點D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接寫出點D的坐標，若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）①當時，的最大值是；②點D的坐標是【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c，于是得到結(jié)論；（2）①如圖，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點P，求得P（-，0），得到PA=PC=PB=，過D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延線于G，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得A（-4，0），C（0，2），∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A．C兩點，∴，∴，拋物線解析式為：;（2）①令，∴解得：,∴B（1，0）過點D作軸交AC于M，過點B作軸交AC于點N，∴∥∴∴設(shè)：∴∵∴∴∴當時，的最大值是;②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點P，∴P（-，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，過D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長線于G，如圖，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即RC：DR=，令D（a，-a2-a+2），∴DR=-a，RC=-a2-a，∴（-a2-a）：（-a）=1：2，∴a1=0（舍去），a2=-2，∴xD=-2，∴-a2-a+2=3,∴點D的坐標是【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，難度較大．7．若三個非零實數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個實數(shù)x，y，z構(gòu)成“和諧三組數(shù)”．(1)實數(shù)1，2，3可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”嗎？請說明理由；(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三點均在函數(shù)y＝(k為常數(shù)，k≠0)的圖象上，且這三點的縱坐標y1，y2，y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，求實數(shù)t的值；(3)若直線y＝2bx+2c(bc≠0)與x軸交于點A(x1，0)，與拋物線y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)兩點．①求證：A，B，C三點的橫坐標x1，x2，x3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；②若a＞2b＞3c，x2＝1，求點P(，)與原點O的距離OP的取值范圍．【答案】(1)不能，理由見解析；(2)t的值為﹣4、﹣2或2；(3)①證明見解析；②≤OP＜且OP≠1．【解析】【分析】（1）由和諧三組數(shù)的定義進行驗證即可；（2）把M、N、R三點的坐標分別代入反比例函數(shù)解析式，可用t和k分別表示出y1、y2、y3，再由和諧三組數(shù)的定義可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）①由直線解析式可求得x1＝﹣，聯(lián)立直線和拋物線解析式消去y，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得x2+x3＝﹣，x2x3＝，再利用和諧三數(shù)組的定義證明即可；②由條件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得的取值范圍，令m＝，利用兩點間距離公式可得到OP2關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得OP2的取值范圍，從而可求得OP的取值范圍．【詳解】（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒數(shù)分別為1、、，∴+≠1，1+≠，1+≠，∴實數(shù)1，2，3不可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；（2）∵M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三點均在函數(shù)(k為常數(shù)，k≠0)的圖象上，∴y1、y2、y3均不為0，且y1＝，y2＝，y3＝，∴＝，＝，＝，∵y1，y2，y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，∴有以下三種情況：當＝+時，則＝+，即t＝t+1+t+3，解得t＝﹣4；當＝+時，則＝+，即t+1＝t+t+3，解得t＝﹣2；當＝+時，則＝+，即t+3＝t+t+1，解得t＝2；∴t的值為﹣4、﹣2或2；（3）①∵a、b、c均不為0，∴x1，x2，x3都不為0，∵直線y＝2bx+2c(bc≠0)與x軸交于點A(x1，0)，∴0＝2bx1+2c，解得x1＝﹣，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c＝ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c＝0，∵直線與拋物線交與B(x2，y2)，C(x3，y3)兩點，∴x2、x3是方程ax2+bx+c＝0的兩根，∴x2+x3＝﹣，x2x3＝，∴+＝＝＝﹣＝，∴x1，x2，x3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；②∵x2＝1，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P(，)，∴OP2＝()2+()2＝()2+()2＝2()2+2+1＝2(+)2+，令m＝，則﹣＜m＜且m≠0，且OP2＝2(m+)2+，∵2＞0，∴當﹣＜m＜﹣時，OP2隨m的增大而減小，當m＝﹣時，OP2有最大臨界值，當m＝﹣時，OP2有最小臨界值，當﹣＜m＜時，OP2隨m的增大而增大，當m＝﹣時，OP2有最小臨界值，當m＝時，OP2有最大臨界值，∴≤OP2<且OP2≠1，∵P到原點的距離為非負數(shù)，∴≤OP＜且OP≠1．【點睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義、函數(shù)圖象的交點、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想等知識．在(1)中注意利用和諧三數(shù)組的定義，在(2)中由和諧三數(shù)組得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，在(3)①中用a、b、c分別表示出x1，x2，x3是解題的關(guān)鍵，在(3)②中把OP2表示成二次函數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是最后一問，難度很大．8．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標；（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數(shù)的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）當點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表達式；（2）先求出點B的坐標，再根據(jù)勾股定理求得BC的長，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點P的坐標；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，①當CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當PB=PC時，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③當BP=BC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．9．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經(jīng)過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點P的坐標為（，﹣1）．（3）定點F的坐標為（2，1）．【解析】分析：（1）由拋物線的頂點坐標為（2，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2，由拋物線過點（4，1），利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標，作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值，根據(jù)點B的坐標可得出點B′的坐標，根據(jù)點A、B′的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標；（3）由點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出關(guān)于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點F的坐標．詳解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2．∵該拋物線經(jīng)過點（4，1），∴1=4a，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=（x-2）2=x2-x+1．（2）聯(lián)立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：，解得：，，∴點A的坐標為（1，），點B的坐標為（4，1）．作點B關(guān)于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值（如圖1所示）．∵點B（4，1），直線l為y=-1，∴點B′的坐標為（4，-3）．設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=-x+，當y=-1時，有-x+=-1，解得：x=，∴點P的坐標為（，-1）．（3）∵點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．∵M（m，n）為拋物線上一動點，∴n=m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m為任意值，∴，∴，∴定點F的坐標為（2，1）．點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標特征、軸對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用兩點之間線段最短找出點P的位置；（3）根據(jù)點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出關(guān)于x0、y0的方程組．10．如圖，在平面直角坐標系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經(jīng)過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，），點M是拋物線C2：（＜0）的頂點．（1）求A、B兩點的坐標；（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；（3）當△BDM為直角三角形時，求的值．【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．（2）存在．S△PBC最大值為（3）或時，△BDM為直角三角形．【解析】【分析】（1）在中令y=0，即可得到A、B兩點的坐標．（2）先用待定系數(shù)法得到拋物線C1的解析式，由S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC得到△PBC面積的表達式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理求出最大值．（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分兩種情況：①∠BMD=90°時；②∠BDM=90°時，討論即可求得m的值．【詳解】解：（1）令y=0，則，∵m＜0，∴，解得：，．∴A（，0）、B（3，0）．（2）存在．理由如下：∵設(shè)拋物線C1的表達式為（），把C（0，）代入可得，．∴Ｃ1的表達式為：，即．設(shè)P（p，），∴S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC=．∵<0，∴當時,S△PBC最大值為．（3）由C2可知：B（3，0），D（0，），M（1，），∴BD2=，BM2=，DM2=．∵∠MBD<90°,∴討論∠BMD=90°和∠BDM=90°兩種情況：當∠BMD=90°時，BM2+DM2=BD2，即＋=，解得：,(舍去)．當∠BDM=90°時，BD2+DM2=BM2，即＋=，解得：，(舍去)．綜上所述，或時，△BDM為直角三角形．11．如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B，C兩點，與x軸另一交點為A．點P以每秒個單位長度的速度在線段BC上由點B向點C運動（點P不與點B和點C重合），設(shè)運動時間為t秒，過點P作x軸垂線交x軸于點E，交拋物線于點M．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①，過點P作y軸垂線交y軸于點N，連接MN交BC于點Q，當時，求t的值；（3）如圖②，連接AM交BC于點D，當△PDM是等腰三角形時，直接寫出t的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值為；（3）當△PDM是等腰三角形時，t＝1或t＝﹣1．【解析】【分析】（1）求直線y=-x+4與x軸交點B，與y軸交點C，用待定系數(shù)法即求得拋物線解析式．（2）根據(jù)點B、C坐標求得∠OBC=45°，又PE⊥x軸于點E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各線段，得到點M的橫坐標，進而用m表示點M縱坐標，求得MP的長．根據(jù)MP∥CN可證，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到關(guān)于t的方程，求解即得到t的值．（3）因為不確定等腰△PDM的底和腰，故需分3種情況討論：①若MD=MP，則∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合題意；②若DM=DP，則∠DMP=∠MPD=45°，進而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，則∠PMD=∠PDM，由對頂角相等和兩直線平行內(nèi)錯角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF進而得CF=CD．用t表示M的坐標，求直線AM解析式，求得AM與y軸交點F的坐標，即能用t表示CF的長．把直線AM與直線BC解析式聯(lián)立方程組，解得x的值即為點D橫坐標．過D作y軸垂線段DG，得等腰直角△CDG，用DG即點D橫坐標，進而可用t表示CD的長．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．【詳解】（1）直線y＝﹣x+4中，當x＝0時，y＝4∴C（0，4）當y＝﹣x+4＝0時，解得：x＝4∴B（4，0）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B，C兩點∴解得：∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+4（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x軸于點E，PB＝t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP中，∴，∴∵點M在拋物線上∴，∴，∵PN⊥y軸于點N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四邊形ONPE是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴∴解得：（點P不與點C重合，故舍去）∴t的值為（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°①若MD＝MP，則∠MDP＝∠MPD＝45°∴∠DMP＝90°，即DM∥x軸，與題意矛盾②若DM＝DP，則∠DMP＝∠MPD＝45°∵∠AEM＝90°∴AE＝ME∵y＝﹣x2+3x+4＝0時，解得：x1＝﹣1，x2＝4∴A（﹣1，0）∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝y(tǒng)M＝﹣t2+5t∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t＝﹣t2+5t解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）③若MP＝DP，則∠PMD＝∠PDM如圖，記AM與y軸交點為F，過點D作DG⊥y軸于點G∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF∴CF＝CD∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），設(shè)直線AM解析式為y＝ax+m∴解得：，∴直線AM：∴F（0，t）∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t∵tx+t＝﹣x+4，解得：，∴，∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°∴，∴解得：綜上所述，當△PDM是等腰三角形時，t＝1或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解二元一次方程組和一元二次方程，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，涉及等腰三角形的分類討論，要充分利用等腰的性質(zhì)作為列方程的依據(jù)．12．在平面直角坐標系xOy中(如圖)，已知拋物線y＝x2－2x，其頂點為A．(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點A的坐標，并說明它的變化情況；(2)我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”①試求拋物線y＝x2－2x的“不動點”的坐標；②平移拋物線y＝x2－2x，使所得新拋物線的頂點B是該拋物線的“不動點”，其對稱軸與x軸交于點C，且四邊形OABC是梯形，求新拋物線的表達式.【答案】(l)拋物線y＝x2－2x的開口向上，頂點A的坐標是(1，－1)，拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，右側(cè)的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)；②新拋物線的表達式是y＝(x＋1)2－1.【解析】【分析】（1），故該拋物線開口向上，頂點的坐標為；（2）①設(shè)拋物線“不動點”坐標為，則，即可求解；②新拋物線頂點為“不動點”，則設(shè)點，則新拋物線的對稱軸為：，與軸的交點，四邊形是梯形，則直線在軸左側(cè)，而點，點，則，即可求解.【詳解】(l)，拋物線y＝x2－2x的開口向上，頂點A的坐標是(1，－1)，拋物線的變化情況是：拋物線在對稱軸左側(cè)的部分是下降的，右側(cè)的部分是上升的.(2)①設(shè)拋物線y＝x2－2x的“不動點”坐標為(t，t).則t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝3.所以，拋物線y＝x2－2x的“不動點”的坐標是(0，0)、(3，3).②∵新拋物線的頂點B是其“不動點”，∴設(shè)點B的坐標為(m，m)∴新拋物線的對稱軸為直線x＝m，與x軸的交點為C(m，0)∵四邊形OABC是梯形，∴直線x＝m在y軸左側(cè).∵BC與OA不平行∴OC∥AB.又∵點A的坐標為(1，一1)，點B的坐標為(m，m)，m＝－1.∴新拋物線是由拋物線y＝x2－2x向左平移2個單位得到的，∴新拋物線的表達式是y＝(x＋1)2－1.【點睛】本題為二次函數(shù)綜合運用題，涉及到二次函數(shù)基本知識、梯形基本性質(zhì)，此類新定義題目，通常按照題設(shè)順序，逐次求解即可.13．如圖1，拋物線經(jīng)過平行四邊形的頂點、、，拋物線與軸的另一交點為.經(jīng)過點的直線將平行四邊形分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點.點為直線上方拋物線上一動點，設(shè)點的橫坐標為.（1）求拋物線的解析式；（2）當何值時，的面積最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在點使為直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）當t=時，△PEF的面積最大，其最大值為×，最大值的立方根為=；（3）存在滿足條件的點P，t的值為1或【解析】試題分析：（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由A、C坐標可求得平行四邊形的中心的坐標，由拋物線的對稱性可求得E點坐標，從而可求得直線EF的解析式，作PH⊥x軸，交直線l于點M，作FN⊥PH，則可用t表示出PM的長，從而可表示出△PEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由題意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°兩種情況，當∠PAE=90°時，作PG⊥y軸，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；當∠APE=90°時，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則可證得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．試題解析：（1）由題意可得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴線段AC的中點為（，），∵直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，∴直線l過平行四邊形的對稱中心，∵A、D關(guān)于對稱軸對稱，∴拋物線對稱軸為x=1，∴E（3，0），設(shè)直線l的解析式為y=kx+m，把E點和對稱中心坐標代入可得，解得，∴直線l的解析式為y=﹣x+，聯(lián)立直線l和拋物線解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如圖1，作PH⊥x軸，交l于點M，作FN⊥PH，∵P點橫坐標為t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM?FN+PM?EH=PM?（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴當t=時，△PEF的面積最大，其最大值為×，∴最大值的立方根為=；（3）由圖可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①當∠PAE=90°時，如圖2，作PG⊥y軸，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②當∠APE=90°時