2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓中的定值問題》解答題訓(xùn)練(附答案)

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓中的定值問題》解答題專題訓(xùn)練(附答案)

1.如圖△/8C.

(1)用尺規(guī)作出△/BC的外接圓(不寫作法，但要保留作圖痕跡).

(2)如果NC=30°,AB=AC=3.直接寫出△/8C外接圓的半徑=.

2.如圖，在以為直徑的半圓中，將弧8c沿弦8c折疊交于點(diǎn)。，若/。=5,DB

=7.

(1)求8c的長(zhǎng)；

(2)求圓心到8C的距離.

3.如圖，四邊形N8C。是。。的內(nèi)接四邊形，8。是直徑，AB=AD,過點(diǎn)Z作8c于

點(diǎn)、E,1/UC。于點(diǎn)尸.

(1)求證：BE=DF；

(2)若8c=3,DC=5,求/C的長(zhǎng).

4.如圖，在半徑為3cm的中，A、B、C三點(diǎn)在圓上，點(diǎn)P從點(diǎn)8開始以=CM/S的速

5

度在劣弧8C上運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（單位：s）,若NBO4=90°,ZAOC=\20°,Z

BOP=nQ.

（1）NBOC=°,劣弧8PC的長(zhǎng)為,劣弧8P的長(zhǎng)為（用含f

的代數(shù)式表示）；

（2）〃與f之間的函數(shù)關(guān)系式為，/的取值范圍為；

（3）是探究當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)多少s時(shí)，以P,B,4三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，并

說明其理由.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為尸G,j）的動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)4（m,2加+4）（機(jī)＞-2）,

且與x軸相切于點(diǎn)8,y與x之間存在一種確定的函數(shù)關(guān)系，其圖象是一條常見的曲線,

記作曲線尸.

（2）求曲線廠最低點(diǎn)的坐標(biāo)（用含有機(jī)的式子表示）；

（3）如圖2,若曲線尸最低點(diǎn)總在直線尸#3的下方，點(diǎn)C（-2,乃），D（1,及）

都在曲線尸上，試比較月與火的大小.

6.問題提出

(1)如圖1.已知//C5=//D8=90°,請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出△/8D的外接圓(保留作

圖痕跡，不寫作法)；點(diǎn)C是否在的外接圓上(填“是”或"否”).

問題探究

(2)如圖2.四邊形/O8C是。。的內(nèi)接四邊形，NACB=N4DB=90°,AD=BD.求

證：CA+CB=\T2CD；

(3)如圖3.點(diǎn)P是正方形Z8CC對(duì)角線4C的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面上一點(diǎn)，E8=N5且

EA=^BA.點(diǎn)。是線段/E的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)應(yīng)并求線段PQ與之間的數(shù)

量關(guān)系.

圖①圖②圖③備用圖

7.如圖Rt4/8C中，ZABC=90°,P是斜邊/C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以8。為直徑作。。交8c

于點(diǎn)。，與4C的另一個(gè)交點(diǎn)E,連接。E.

(1)當(dāng)而二而時(shí)，

①若麗=130°,求NC的度數(shù)；

②求證AB=AP；

(2)當(dāng)43=15,BC=20時(shí)

①是否存在點(diǎn)P,使得△8AE是等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的CP的長(zhǎng)；

②以D為端點(diǎn)過P作射線DH,作點(diǎn)0關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)。恰好落在NCPH內(nèi)，則CP

的取值范圍為.(直接寫出結(jié)果)

8.問題提出

(1)如圖1,在RtZUBC中，NACB=90°,AC>BC,/NC8的平分線交48于點(diǎn)￡).過

點(diǎn)D分別作DELAC,DFA.BC.垂足分別為E,F,則圖1中與線段CE相等的線段

是.

問題探究

(2)如圖2,AB是半圓O的直徑，N8=8.尸是菽上一點(diǎn)，且而=2或，連接NP,BP.Z

/P8的平分線交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C分別作CFLBP,垂足分別為E,F,求線

段CF的長(zhǎng).

問題解決

(3)如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖.已知。。的直徑48=70"?,

點(diǎn)C在上，且C/=C8.P為上一點(diǎn)，連接C尸并延長(zhǎng)，交OO于點(diǎn)D.連接

BD.過點(diǎn)P分別作PFLBD,垂足分別為E,F.按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEO尸

內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是戶外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)/P的長(zhǎng)為x(加)，

陰影部分的面積為y(m2).

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長(zhǎng)度為30機(jī)時(shí)，整體布局比較合理.試

求當(dāng)月P=30m時(shí).室內(nèi)活動(dòng)區(qū)(四邊形尸皮不)的面積.

圖1圖2圖3

9.定義：有且僅有一組對(duì)角相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)平行四邊形”.例如：凸四邊形N8CQ

中，若N/=NC,4B豐ND,則稱四邊形488為準(zhǔn)平行四邊形.

(1)如圖①，A,P,B,C是。。上的四個(gè)點(diǎn)，NAPC=NCPB=60°,延長(zhǎng)8P到°,

使求證：四邊形是準(zhǔn)平行四邊形；

(2)如圖②，準(zhǔn)平行四邊形內(nèi)接于。。，AB#AD,BC=DC,若。。的半徑為5,

AB=6,求/C的長(zhǎng)；

(3)如圖③，在中，NC=90°,ZA=30°,BC=2,若四邊形/8C￡)是準(zhǔn)

平行四邊形，且N8COWN8/。，請(qǐng)直接寫出3D長(zhǎng)的最大值.

點(diǎn)尸與點(diǎn)/重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng).以點(diǎn)尸為圓心，PO為半徑作OP,。。與/￡)交于點(diǎn)M

點(diǎn)。在。尸上且在矩形ABCD外，NQPD=120°

(1)當(dāng)戶。=2舊時(shí)PC=,扇形。PO的面積=，點(diǎn)C到OP的最短距

離=;

(2)0P與NC相切時(shí)求PC的長(zhǎng)？

(3)如圖。尸與ZC交于點(diǎn)￡、尸當(dāng)即=6.4時(shí)，求尸。的長(zhǎng)？

(4)請(qǐng)從下面兩問中，任選一道進(jìn)行作答.

①當(dāng)。P與△/8C有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出PD的取值范圍；

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)”(0,4),點(diǎn)8是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接

AB,過點(diǎn)/作ZCL/8,交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。是點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)/的對(duì)稱點(diǎn)，連接3。，以

為直徑作。0交8。于點(diǎn)E,連接并延長(zhǎng)NE交x軸于點(diǎn)尸，連接。F.

(1)求線段/E的長(zhǎng)；

(2)若AB-BO=2,求tan/ZFC的值；

(3)若/與△/E8相似，求M的值.

12.已知四邊形/8CA為。。的內(nèi)接四邊形，直徑ZC與對(duì)角線8。相交于點(diǎn)E,作C”_L

（1）求證：/尸為。。的切線；

（2）若BD平分N4BC,求證：D4=DC；

（3）在（2）的條件下，N為/尸的中點(diǎn)，連接EN,若NAED+NAEN=135°,。。的

半徑為2圾，求EN的長(zhǎng).

13.發(fā)現(xiàn)問題：（1）如圖1,4?為。。的直徑，請(qǐng)?jiān)?。。上求作一點(diǎn)P,使N/8P=45°.（不

必寫作法）

問題探究：（2）如圖2,等腰直角三角形△/BC中，ZJ=90°,AB=AC^3XT2,。是

”上一點(diǎn)，4）=2迎，在8c邊上是否存在點(diǎn)P,使/"。=45°?若存在，求出8P

的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由.

問題解決：（3）如圖3,為矩形足球場(chǎng)的示意圖，其中寬/3=66米、球門EF=8米，且

EB=E4.煎P、。分別為BC、4。上的點(diǎn)，BP=7米,NBPQ=135：一位左前鋒球員

從點(diǎn)P處帶球，沿PQ方向跑動(dòng)，球員在P。上的何處才能使射門角度（NEA//）最大？

求出此時(shí)PM的長(zhǎng)度.

圖1圖2圖3

14.如圖1,。。的弦8C=6,4為3c所對(duì)優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)且sinN84C=W，△N8C的外角

5

平分線/P交。。于點(diǎn)P,直線NP與直線8c交于點(diǎn)￡

(1)求證：點(diǎn)P為彘的中點(diǎn)；

(2)如圖2,求。。的半徑和PC的長(zhǎng)；

(3)若△NBC不是銳角三角形，求的最大值.

15.定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個(gè)三

角形的切圓，相切的邊稱為這個(gè)圓的切邊.

(1)如圖1,/XABC41,AB=CB,//=30°,點(diǎn)。在ZC邊上，以0c為半徑的0。

恰好經(jīng)過點(diǎn)8,求證：是△4BC的切圓.

(2)如圖2,ZX/BC中，AB=AC=5,BC=6,。。是△/8C的切圓，且另外兩條邊都

是。。的切邊，求。。的半徑.

(3)如圖3,△ZBC中，以"3為直徑的。。恰好是△N8C的切圓，力C是0。的切邊，

0。與8c交于點(diǎn)尸，取弧8F的中點(diǎn)Q,連接力。交8c于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作以于

點(diǎn)“，若C~=8,8尸=10,求4C和E”的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

16.如圖1,已知。。的內(nèi)接四邊形/BCD,AB//CD,BC//AD,AB=6,8c=8.

(1)求證：四邊形N8CQ為矩形.

(2)如圖2,E是俞上一點(diǎn)，連接CE交/。于點(diǎn)/，連接NC.

①當(dāng)點(diǎn)O是誦中點(diǎn)時(shí)，求線段。尸的長(zhǎng)度.

②當(dāng)16s△8F=3S四邊影他。時(shí)，試證明點(diǎn)E為薪的中點(diǎn)?

(3)如圖3,點(diǎn)E是。。上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與4、C重合)，連接E/、EC、。￡,點(diǎn)I是

△/EC的內(nèi)心，點(diǎn)用在線段0E上，且ME=2M。，則線段的最小值為.

圖1圖2

17.問題探究

(1)如圖1,C,。是NZO8的邊04上兩點(diǎn)，直線08與。/相切于點(diǎn)尸，點(diǎn)修是直線

08上異于點(diǎn)尸的任意一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出NCPQ,試判斷NCP。與NCP］。的大小

關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,己知矩形488中，點(diǎn)/在邊8c上，點(diǎn)E在邊上，49=8,AE=6,

當(dāng)//ME最大時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)8M的長(zhǎng)；

問題解決

(3)如圖3,四邊形/BCD是某車間的平面示意圖，［8=4?米，49=8炳米，N4

=/。=60°,Z5CZ)=90",工作人員想在線段/。上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來

監(jiān)視邊8C,現(xiàn)只要使得/8MC最大，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳.問在線段

上是否存在點(diǎn)"，使/8MC最大？若存在，請(qǐng)求出?！ǖ拈L(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2圖3

18.己知。。的直徑為10,。為。0上一動(dòng)點(diǎn)(不與力、8重合)，連接40、BD.

(1)如圖1,若“。=8,求8。的值；

(2)如圖2,弦。C平分過點(diǎn)/作NE_LC。于點(diǎn)E,連接BE.

①當(dāng)△80E為直角三角形時(shí)，求BE的值；

②在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，BE的值是否存在最小值？若存在,請(qǐng)直接寫出BE的最小值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目：

如圖①，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，。。的半徑為1，點(diǎn)4(2,0).動(dòng)點(diǎn)8在。。上，連接

作等邊三角形N8C(A,B,C為順時(shí)針順序)，求OC的最大值.

【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接08,以

OB為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE,連接AE.

(1)請(qǐng)你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；

(2)請(qǐng)直接寫出線段OC的最大值.

【遷移拓展】

(3)如圖②，BC=4近，點(diǎn)。是以8C為直徑的半圓上不同于8、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD

為邊作等邊三角形ABD,請(qǐng)直接寫出AC的最大值和最小值.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,8),B(6,8),尸為線段。1上一動(dòng)點(diǎn)，過。，P,

8三點(diǎn)的圓交x軸正半軸于點(diǎn)C,連結(jié)PC,BC,設(shè)OP=機(jī).

(1)求證：當(dāng)P與/重合時(shí)，四邊形P0C8是矩形.

(2)連結(jié)P8,求tan/BPC的值.

(3)記該圓的圓心為"，連結(jié)O”,BM,當(dāng)四邊形POA"中有一組對(duì)邊平行時(shí)，求所

有滿足條件的m的值.

(4)作點(diǎn)。關(guān)于PC的對(duì)稱點(diǎn)。'，在點(diǎn)尸的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)落在△4尸8的

內(nèi)部(含邊界)時(shí)，請(qǐng)寫出，〃的取值范圍.

參考答案

1.解：（1）如圖，。。即為所求.

(2)連接04,0C.

'：AC=AB,

：.ZACB=ZB=30°,

/.ZAOC=2ZB=60°,

'：OA=OC,

：.AAOC是等邊三角形,

.'.0A=AC=3,

故答案為3.

2.解：（1）連接C4、CD；

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得：CB=BDC；

,NC4B=NCBD+NBCD；

?:NCDA=NCBD+NBCD（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）,

：.NC4D=NCDA,即是等腰三角形；

過C作CE_L/8于E,則/E=OE=2.5；

:.BE=BD+DE=95；

在RtZL4C8中，CEVAB,根據(jù)射影定理，得：

80=8尸48=9.5X12=114；

故BC=V114.

（2）設(shè)圓心到BC的距離為h,圓的半徑為r=6,

由（1）知，Rt/XECB中，BE=95,BC=JI逋，

,CE=VBC2-BE2=A/114-9.52

....h-CE

,si加"同’

3.(1)證明：：80是直徑，

:.NBAD=NBCD=90°,

^AEVBC于點(diǎn)E,AFLCD于點(diǎn)F,

:.NE=N4FC=N4FD=90°,

二四邊形4￡C尸是矩形，

AZ￡JF=90",

：.ZEAB=ZE4D,

"：AB^AD,

:.△AEBgAAFD(AAS),

:.BE=DF；

(2)解:,:BC=3,DC=5,

5/)=22

,VBC+CD732+52=信，

：.AB=AD=^^BD=4Y1，

2

/\AEB^/\AFD,

C.AE=AF,

S幅"88=%小/嗚8c十。?肅=16,

：.AE=4f

VZACB=ZADB=45°,

:?AC=MAE=4最.

4.解：（1）'：ZBOA=90°,ZJ（9C=120°,

；./8OC=360°-ZBOA-ZAOC=\SOa-900-120°=150°.

二劣弧8PC的長(zhǎng)為：150義3.=旦二.

1802

??,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始以工。機(jī)/s的速度在劣弧BC上運(yùn)動(dòng)，

5

TT

?,?劣弧8。的長(zhǎng)為：——

5

故答案是：150；?c加;

25

（2）'：ZBOP=n°,—整理得出：〃=12/,

5180

當(dāng)”=150°時(shí)，150°=121,1=12.5,故0WK12.5.

故答案是：n=12t；0W/W12.5；

（3）在△/8P中，以為腰時(shí)（如圖1）,

'：ZBPA=ZBAP=45°,

：.ZBOP=450+45°=90°,

故〃=90=123解得：1=7.5（秒），

以為底邊時(shí)（如圖2）,

'：ZBPA=—ZBOA=45°,

2

；.NBAP=67.5°,

，N8OP=2X67.5°,

故135=12/,

解得：f=11.25（秒）.

綜合上述：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為7511.25秒，△ZB尸為等腰三角形.

.?.OP的半徑為3；

2

②如圖1,連接為，

則PA=PB,

■:m=-1,

：.A(-1,2),

又,：P又y)9

(-1-x)2+(2-y)2=尸,

整理，得y=,

424

當(dāng)x=-2時(shí)，y=旦，

4

???。尸的半徑為?；

4

(2),:P(x,y)9A(m,26+4),且PB=B4,

...y2=-x)2+(2〃?+4-y)2,

整理，得y——-—(x-/w)2+加+2,

4m+8

?,?曲線尸為拋物線，

Vw>-2,

A—^>0,

4m+8

，拋物線y=—(x-w)2+m+2的開口向上，

-4ro+8

曲線廠最低點(diǎn)的坐標(biāo)即頂點(diǎn)坐標(biāo)為(加，加+2)；

(3)由(2)知，曲線尸最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,m+2),對(duì)稱軸為直線x=/n,

且曲線尸最低點(diǎn)總在直線尸子+3的下方，

m+2<—w+3,

2

解得，m<2,

又-2,

工-2<m<2,

??,點(diǎn)。(-2,月)，D(1,乃)都在曲線一上,

則當(dāng)對(duì)軸稱為加=制-=>時(shí)，點(diǎn)c與點(diǎn)。關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則力=%；

當(dāng)對(duì)稱軸-2＜〃?V時(shí)，由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，點(diǎn)C離對(duì)稱軸更近，則力

〈為；

當(dāng)對(duì)稱軸-?〈加＜2時(shí)，由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，點(diǎn)D離對(duì)稱軸更近，則力＞為.

6.解：?jiǎn)栴}提出

(1)作N8的垂直平分線交N8于點(diǎn)0,以。為圓心，N。長(zhǎng)為半徑作圓，即為

的外接圓，

■:NACB=NADB=90°,

點(diǎn)兒點(diǎn)、B,點(diǎn)、D,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓,

點(diǎn)C在4ABD的外接圓上，

故答案為：是；

問題探究

(2)如圖2,將△8CD繞點(diǎn)。，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到處,

c

?四邊形4D8C是圓內(nèi)接四邊形，

.?./O8C+N。4c=180°,

，/￡4￡)+ND4c=180°,

:.E、/、C三點(diǎn)共線，

??.NCE為平角，

由旋轉(zhuǎn)知，AE=BC,DE=CD,ZCDE=90°,

二/XCDE是等腰直角三角形，

:.CE=?CD,

"：CE=AE+AC=BC+AC,

：.CA+CB=42CD；

.....JIS3

?.?以點(diǎn)2為圓心，月8長(zhǎng)為半徑作圓，以點(diǎn)/為圓心，工48長(zhǎng)為半徑作圓，兩圓的交點(diǎn)

3

為E,

，點(diǎn)/的左右各有個(gè)點(diǎn)E,

設(shè)/8=3x,則4E=x,

若點(diǎn)E在點(diǎn)Z的左側(cè)，

,：BE=AB,點(diǎn)。是/E的中點(diǎn)，

J.BQLAE,AQ=EQ=^,

?'-52=VAB2-AQ2=]J9X2--^-=^P"X'

?.?四邊形488是正方形，點(diǎn)P是對(duì)角線NC的中點(diǎn)，

：.AP=BP,APLBP,

由(2)的結(jié)論可得：AQ+BQ=\[2PQ,

二血尸0二返|斗

?4

??尸0----欣------AB，

若點(diǎn)E在點(diǎn)4的右側(cè)，

同理可求：p0=YI卷2%反

7.(1)①解：連接8E,如圖1所示：

???3尸是直徑，

AZBEC=90°,

VBD=130°,

ADP=50°,

VDP=EP,

/.DE=100°,

；?NCBE=50°,

???NC=40°；

②證明：???市=昨，

:?NCBP=/EBP,

VZABE+ZA=90°,ZC+ZA=90°,

；?NC=NABE,?：NAPB=/CBP+/C,/ABP=/EBP+/ABE,

：.NAPB=NABP,

：.AP=AB；

(2)解：①由"8=15,BC=20,

由勾股定理得：^^=VAB2+BC2=A\/152+202=25，

?SC=—JC,BE,

22

即/X15義20=/X25X8E

.?.屆=12,

連接。P,如圖1-1所示：

:BP是直徑,

:.NPDB=9Q°,

VZABC=90°,

:.PD//AB,

二△DCPs^BCA,

.CP_CD

,?而一記

.廣八_AC?CD_25CD_5f

??~~C-Z-zf

BC204

△BAE是等腰三角形，分三種情況：

當(dāng)BD=BE時(shí),BD=BE=\1,

：.CD=BC-BD=20-12=8,

5E

:.CP~CD=±X8=10；

44

當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)。是RtZXCBE斜邊的中線，

：.CD=^-BC=10,

2

RR95

：.CP=—CD=—X10=-；

442

當(dāng)DE=BE時(shí)，作EHLBC,則H是BD中點(diǎn)，EH//AB,如圖1-2所示:

^￡=VAB2-BE2=A/152-122=9，

：.CE=AC-AE=25-9=16,CH=BC-BH=2Q-BH,

,:EH〃AB,

.CH_CE

即20-BH16

BH9

解得：BH=盥,

5

72

：.BD=2BH=—,

5

70op

：.CD=BC-BD=20--=-

559

：.CP=—CD=—X—=1^

445

綜上所述，△8OE是等腰三角形，符合條件的0的長(zhǎng)為10或孕或7；

②當(dāng)點(diǎn)0落在NC777的邊PH上時(shí)，CP最小,如圖2所示：

連接0。、。0、OE、QE、BE,

由對(duì)稱的性質(zhì)得：DE垂直平分O0,

：.OD=QD,OE=QE,

?：OD=OE,

：.OD=OE=QD=QE,

???四邊形OQQE是菱形，

：.PQ//OEf

?；PB為直徑,

:?/PDB=90°,

:?PDLBC,

VZABC=90°,

：.ABLBC,

:?PD〃AB,

：.OE〃AB,

?：OB=OP,

???OE為中位線，

:.PE=AE=9,

：.PC=AC-PE-ZE=25-9-9=7；

當(dāng)點(diǎn)。落在NW"的邊尸C上時(shí)，CP最大,如圖3所示：

連接0。、。0、OE、QD,

同理得：四邊形OD0E是菱形，

J.OD//QE,

連接。R

VZDBA=90Q,

???。夕是直徑，

:?D、。、尸三點(diǎn)共線,

J.DF//AQ,

：?/OFB=/A,

*：OB=OF,

：.ZOFB=ZOBF=NA,

:?PA=PB,

VZOBF+ZCBP=Z^+ZC=90°,

AZC5P=ZC,

:,PB=PC=PA,

：.PC=—AC=12.5,

2

：.7<CP<\2.5,

圖1

8.解：（1）VZACB=90°,DELAC,DFLBC,

...四邊形CEZ）尸是矩形，

；CD平分N4CB,DEA.AC,DFLBC,

：.DE=DF,

二四邊形CEOF是正方形，

:.CE=CF=DE=DF,

故答案為：CF、DE、DF；

（2）連接OP,如圖2所示：

'：AB是半圓。的直徑，PB=2PA,

AZAPB=90°,Z^OP=—X180°=60°,

3

尸=30°,

同（1）得：四邊形尸ECF是正方形，

：.PF=CF,

在RtZ\AP8中，P8=48?cos/Z8P=8Xcos30°=8X返=4通，

2

在RtACF5中，BF=————=-,F=-^~=百CF,

tanZABPtan30<3

r

"：PB=PF+BF,

：.PB=CF+BF,

即：4\f3=CF+VSCF,

解得：CF=6-2次；

（3）①為。。的直徑，

:.NACB=NADB=90°,

\'CA=CB,

：.ZADC=ZBDC,

同（1）得：四邊形DET/是正方形，

：.PE=PF,NAPE+NBPF=9Q°,NPEA=NPFB=9Q°,

...將△在￡繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△/'PF,PA'=PA,如圖3所示:

則H、F、8三點(diǎn)共線，ZAPE=ZA'PF,

：.ZA'PF+NBPF=90°,即NHPB=90°,

???S&PAE+S*BF=S.PA.B=FPA'，PB-X（70r）,

在RtAACB中，AC=BC^^-AB=^~X70=35^2.

22

雙心=%。=/（35揚(yáng)2=1225,

B+S^ACB^X（7°-x）+1225=-yx2+35x+1225；

②當(dāng)/P=30時(shí)，A'尸=30,PB=AB-AP=1Q-30=40,

22

在Rt44'PB中,由勾股定理得：A'B=^<P+PB=^302+402=50,

，：

^A,PB^A'B-PF=^PB-A'P,

A—X50XPF=IX40X30,

22

解得：PF=24,

???S則的產(chǎn)尸產(chǎn)=242=576（加2）,

...當(dāng)NP=30m時(shí).室內(nèi)活動(dòng)區(qū)（四邊形尸EOQ的面積為576m2.

圖3圖2

9.證明：（1）VZAPC^ZCPB=60°,

AZAPQ=60°,H.AQ=AP,

...△/尸0是等邊三角形，

二/。=60°=NQ4P,

???四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZQPA=ZACB=60°,

'：NQ+N4CB+NQ4C+NQBC=360°,

.?.NQ/C+N。8c=240°,且N3c=/0/尸+/加。+/以8=120°+ZPAB>\20a,

：.ZQBC<l20a,

：.NQAC/NQBC,且NQ刈=N/CB=60°=N0,

???四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形;

(2)如圖②，連接3。，

（圖②）

?；4BWAD,BC=DC,

:?/ABD#NADB,/CBD=/CDB,

：.NABC￥/ADC,

四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，

:./BAD=/BCD,

??,四邊形力BC。是圓內(nèi)接四邊形，

；?NBAD+/BCD=180°,ZABC+ZADC=180°,

:?NBAD=NBCD=90°,

:?BD是直徑，

：.BD=10,

AD=JBD?-AB。=7100-36=8,

將△/BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CO”，

:?AB=DH=6,AC=CH,ZACH=90°,NABC=/CDH,

VZABC+ZADC=180Q,

AZADC+ZCDH=\^O°,

???點(diǎn)/，點(diǎn)。，點(diǎn)〃三點(diǎn)共線，

：.AH=AD+DH=\4,

\UAC2+CH^=AH2,

：.2AC2=196

?JC=7\歷；

(3)如圖③，作△ZC￡＞的外接圓過點(diǎn)。作OE_L/C于E,OFLBC于F,

(圖③)

VZC=90°,4=30°,BC=2,

：.ZABC=60°,ZABC=60°,AC=y/^BC=20

,：四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，且NBCDWNB4D,

：.ZABC=ZADC=60°,

.../ZOC=120°,KOELAC,OA=OC,

.?./4CO=/C4O=30°,CE=AE=M，

：.OE=\,CO=2OE=2,

'：OE±AC,OFX.BC,NECF=9Q°,

?，.四邊形CFOE是矩形，

:.CE=OF=M，OE=CF=1,

:.BF=BC+CF=3,

2

50=^B，p+op2—yjg+3—2\[3,

?；當(dāng)點(diǎn)。在80的延長(zhǎng)線時(shí)，BD的長(zhǎng)有最大值，

:.BD長(zhǎng)的最大值=86>+。。=2e+2.

10.解：(1)如圖1,連接PC,QP,PC交G)P于T,?.?矩形/BCD

AZADC=90°,CD=AB=6,ZZ)=8C=8,

在RtZ\CDP中，由勾股定理得：PC=^/CD2+PD2=V62-t-(2>/3)2=4^,

'：ZQPD=120°,PD=2\l3

.。120兀?(2。2一

??□扇ff,QPD_360冗

CT=CP-PT=4\[3-2A/3=2V3

故答案為：4'四，4TT,2M；

(2)如圖2,。尸與NC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)”，

連接PH,則尸C,

?.?四邊形/8CD是矩形，

AZADC=90°,

在RtzXNBC中，AB=6,8c=8,

.XC=10,

Q

在中，sinZ￡)JC=—,

5

設(shè)OP半徑為x,則P”=PD=x,AP=8-xf

pu

在Rtz\4/尸中，sinZPAH=—^v—

AP8-xf

.,?---x----3,

8-x5

.'.x=3,

在RtZ\PZX?中，CD=6,PD=3,

/.PC=7CD2+PD2^Ve2+32=3爬；

(3)如圖3,過點(diǎn)尸作尸HL/C,連接PF；

,：ZPAH=ZDAC,

：./\AHP^/\ADC,

?..—AP—z?PH一,,

ACCD

設(shè)G)P半徑為x,則尸尸=尸。=》，AP=i-x,

Q

：.PH=^~(8-x),

5

在。尸中，F(xiàn)HLAC,EF=6A,

：.HF=3.2,

在RtZ\P4尸中，小(8-X))2+3.22=X2,

5

.*.x=4或x=-13(舍)，

：.PD=4；

(4)①如圖4,作PM_L力C于M,作尸"N_L6C于N,

當(dāng)PM=P'。時(shí)，0P與/C相切，只有1個(gè)公共點(diǎn)，由（2）知，此時(shí)尸。=3,

當(dāng)尸"N=6時(shí)，。尸”與△4BC有3個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)6VPNWP8時(shí)，OP與△N8C有3個(gè)公共點(diǎn)；PB2=AB2+AP2,Ap2=（4D-PD）2

/.62+（8-PD）2=/>。2,解得：/>。=筌

4

綜上所述，尸。的范圍為：3VPOV6或空VP0W8；

4

②如圖5,?.?NQP￡>=120°,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)/重合時(shí)，AQ=AD

...點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑是線段。。，ZDAQ=\20°,ZADQ=ZAQD=30°,8。的最短距

離是點(diǎn)8到直線C。的距離；

過點(diǎn)8作8K_LC0于K,BK交AD于S,過/作4_LC。于L連接80,AQ,

'JALLCQ,

：.ZALD=ZALQ=90°,

A^=AD9AL=AL

：.Rt/\ADL^Rt/\AQL

:?DL=QL,ZDAL=ZQAL=60°,

二巫二Sin/DAL，即：DL=AD-sinZDAL=Ssin60Q=4'/3

AD

:.DQ=2DL=&M

在RtASCD中,BD=VBC2+CD2=VS2+62=10

設(shè)S￡>=m,WOSK=—m,4s'=8-機(jī)

2

■:NASB=NDSK=9Q°-ZADQ=90°-30°=60°,

，ZABS=30°

.,.■^--tanZABS,即8-"?=6tan30°,解得：機(jī)=8-2A/^

AB

:-KS-（8-2?）=4-次，BS=2AS=4\p5

：.BK=KS+BS=4-V3+4A/3=3百+4

故點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是8\/3,BQ的最短距離是3y+4.

11.解：(1)?.?點(diǎn)/(0,4),

."0=4,

'：AD是。。的直徑，

:.NAEB=NAED=90°,

:.NAEB=NAOB=9Q°,

\'BA垂直平分CD,

:.BC=BD

：.N4BO=ZABE

rZAEB=ZA0B

在△Z8E和△/8O中，，NABE=NAB0,

,AB=AB

:.△ABE9/XABO(AAS)

.'.AE—AO—4；

(2)設(shè)8O=x,則Z8=x+2,

在RtZ\Z8O中，由402+082=/*得：42+N=(X+2)2,

解得：x=3,

：.0B=BE=3,AB=5,

VZEAB+ZABE=90°,ZACB+ZABC=90°,

NE4B=NACB,

,：ABFA=AAFC,

:./\BE4s"FC

.BF_BE_3

?覆一而一丁

Q

設(shè)￡/=方貝i」/F=4+x,SF=—(4+x),

4

:在RtA8￡尸中，B屋+E尸=8尸，

2

/.32+x2=[—(4+x)]2,

解得：x=^~,即EF=^,

77

7

(3)①當(dāng)△DE/s△/E8時(shí)，ZBAE=ZFDE,

二ZADE=ZFDE,

.?.8。垂直平分/R

：.EF=AE=4；

②當(dāng)時(shí)，NABE=NFDE,

：.AB//DF,

：.ZADF=ZCAB=90°,

.?.￡)尸相切0。，

二NDAE=NFDE,

設(shè)。。交夕軸于點(diǎn)G,連接OG,作F”_LZ)G于〃，如圖所示:

則NFDH=ZDAG,四邊形OGHF是矩形，

：.OG=FH,

'：LABE妥△ABO,

：.NOAB=NEAB,

,：ABA.AD,

???/DAE=/C4O,

*：NCAO=/DAE,

：.NDAE=/DAE,

：.ZDAE=ZDAG=NFDE=/FDH,

：.AG=AE=4,

：.EF=FH=OG=AO+AG=4+4=8,

綜上所述，若△。跖與△4E8相似，跖的值為4或8.

12.(1)證明：如圖1,??NC為OO的直徑，

AZADC=9O0,

：.ZDAC^ZDCA=90°.

?.?益=益，

???ZABD=ZDCA,

,/NE4D=/ABD,

：./E4D=/DCA,

：.ZE4D+ZDCA=90°,

：.CALAFf

，力?為OO的切線.

(2)證明：如圖2,連接OQ,???而=標(biāo),

JZABD=—ZAOD,

2

VDC=DC,

???ZDBC=—ZDOC

29

???瓦)平分NZ8C,

?\ZABD=ZDBC,

???/DOA=/DOC,

：.DA=DC.

(3)如圖3,連接0。交C尸于M,作于P,

,?ZC為O。的直徑，

AZADC=90°.

?；DA=DC,

：.DOLAC,

:?NE4C=NDOC=90。,

：.AF//0M,

\'AO=OCf

???0M=—AF.

2

*：NODE+/DEO=90°,ZOCM+ZDEO=90Q.

：.ZODE=ZOCM.

?：4DOE=4COM,OD=OC,

：./\ODE^/\OCMf

：.OE=OM,

設(shè)OM=m,

???力￡=2近-m,AP=PE=2-亞加，。尸=2+返?機(jī)，

22

■:NAED+NAEN=135°,N4ED+N4DE=135°,

：.NAEN=NADE,

'：ZEAN=ZDPE,

：.AEANSADPE,

.AE_AN

??1—"..，

DPPE

.2北一mm

.2A/2

?.m=------,

3

..r4V2

33

.??勾股定理得NE=2715

3

圖3圖2圖1

13.解：(1)如圖所不:作的垂直平分線交。。于點(diǎn)P、P,則點(diǎn)P或P'即為所求；'

\y\p/

圖1

(2)存在.

如圖2和圖2'所不:

在ZUBC中

VZ5JC=90°,AB=AC=3\P1,AD=26

：.ZB=ZC=45°,BD=?,BC=\[2AB=6

：.ZBDP+ZBPD=135Q

,:ZAPD=45°

：.ZAPC+ZBPD=U5°

：.ZBDP=ZAPC

:.△BPDsACAP

.BD_BP

*'PCAC

設(shè)8P=x,則PC=6-x

6-x3V2

解得看=3+6，X2=3-

.?.8P=3+J§或5尸=3-V3；

(3)如圖3,過點(diǎn)E、尸作圓，與P。相切于點(diǎn)A/',圓心為點(diǎn)O,連接月0',EM',

此時(shí)/尸M'E的度數(shù)最大.

圖3

理由：在。。上取一點(diǎn)G,連接FG并延長(zhǎng)交尸0于點(diǎn)“，連接/G,AM,

'：NFGE=4FM'E,ZFGE>ZFME,

：.ZFM'E>NFME,

：.ZFM1E的度數(shù)最大.

作線段"的中垂線/,/經(jīng)過圓心。，且交EF于點(diǎn)N,交P。于點(diǎn)K,過點(diǎn)K作

BC于H.

設(shè)。。的半徑為r,

則。E=O"=廠，

VZBPQ=\35°,

:.NKPH=45°,

二/\PHK是等腰直角三角形，

：.PH=KH.

"：AB=6(>,EF=8,

：.BN=33,EN=4,

:.PH=KH=33,

.?.8〃=33+7=40,

：.KN=40.

在等腰RtZ\OK/W'中，

0長(zhǎng)=也2=血廠，

：.ON=NK-0K=40-\[2r.

在RtdONE中，

42+(40-J^r)2=2,

解得勺=40\歷-12J1L七=4隊(duì)歷+12萬(舍去)，

：.PM'=尸長(zhǎng)-'=3如-40貝+12\/I1=12Vli-7亞

.,.當(dāng)射門角度最大時(shí)，的長(zhǎng)度為(12匠-7遮)米.

14.(1)證明：①如圖1,連接PC,AB,

平分N8/E,

?.ZBAP=ZR4F,

"：ZPAF+ZPAC^\SO°,

N弘C+NPBC=180°,

二NR1F=NPBC,

又NBAP=NPCB,

二ZPBC=ZPCB,

:.PB=PC,

.??屈=而，

二點(diǎn)尸為砒的中點(diǎn)；

(2)解：連接OB,OC,過。作OMLBC于M,

二。四垂直平分8C,

/BOMJ/BOC=/BAC,

22

2

VsinZS^C=—,

5

：.smABOM=—=—,

OB5

.?.08=5,

...O。的半徑是5,

在RtZ\OMC中，0M=｛虱2_。H2=4,

在RtZXPA/C中，PM=OM+OP=9,

,PC=JP『+MC2=3^10；

(3)VZACE+ZBCA=ZBPE+ZBCA=180°,

，/4CE=NBPE,

同理，NCAE=NPBC=NB4B,

：.LACEs/\APB,

.AC_AE

"A?AB"

：.PA-AE=AC'AB,

如圖4,過C作C0L/8于。，

,.?sin/8/C=世，

AC

：.CQ=AC'smZBAC,

：.SABC^^AB'CQ^^AB'AC,

.-.PA-AE=^-S&ABC,

?->

?..△ZBC非銳角三角形，且8c=6,

二當(dāng)/運(yùn)動(dòng)到使N4CB=90°時(shí)，

△力8。面積最大，

在RtzX/BC中，BC=6,48=10,

.,./1C=7AB2-BC2=8,

，S△,十C%C=24，

，此時(shí)，E4此E=80,

即RP/E的最大值為80.

p

圖2

圖1

.../Z=NC=30°.

AZCJS=180°-/N-/C=120°.

?：OB=OC,

：.ZOBC=ZC=30°.

：.ZOBA=ZCBA-ZO5C=90".

即OBVBA.

是圓的半徑，

.../8與。。相切.

?.?圓心。在ZC邊上，

二。。是△N8C的切圓；

(2)解：①當(dāng)圓心。在8C邊上，。0與AB,/C邊相切于點(diǎn)例，N時(shí),

連接04,OM,ON,如圖，

A

9：AB,4。是。。的切線，

：.OM±AB,ONIAC,40平分N84C

*：AB=AC,

：.A01BC,OB=OC^—BC^3.

2

'：AOVBO,0M±AB,

:ABOMs/\BAO.

.OBBM

"AB-0B,

.3_BB

"'~5~3'

9

5

OM=4OB2-BM=普；

□

②當(dāng)圓心。在/C邊上，。。與力8,8c邊相切于點(diǎn)“，N時(shí),

連接0/W,ON,BO,過點(diǎn)/作/“_L8C于點(diǎn)"，如圖，

設(shè)OM=ON=r,

'：AB,8c是。。的切線,

：.OM±AB,0N1BC.

"：AB=AC,AHLBC,

：.BH=CH=—BC=3,

2

=4.

'SAABC2B^AH2X6X4=12.

*,*S&ABC=S&AB臚&CB(T

A—X/15T+—XfiCT=12.

22

x5z■4x6==12.

._24

11

綜上，。。的半徑釁或普；

'：AB為。。的直徑，

：.AFA.BC.

「。。是△Z8C的切圓，NC是。。的切邊,

：.AB±AC.

：.△ACFsABAF.

AFBF

CFAF-

AF10

8一

AF

.,.AF=4\I'5.

.”=如2+/=12,

^S=VAF2+-BF2=6^-

?.?。是弧8尸的中點(diǎn)，

：.ZFAD=ZBAD.

.FE_AF_4V5_2

?應(yīng)海一胞T

設(shè)FE