2022版高中數(shù)學(xué)理人教A版一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)：五十五 橢圓

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課時作業(yè)梯級練

五十五橢圓

基礎(chǔ)落實練—?（30分鐘60分）

一'選擇題（每小題5分，共25分）

1.過橢圓4x2+y2=l的一個焦點Fi的直線與橢圓交于A,B兩點，則

A與B和橢圓的另一個焦點F2構(gòu)成的^ABF?的周長為（）

42B.4C.8D.2啦

y2X2

【解析】選8.因為橢圓方程可以變形為彳+-=1,所以橢圓長軸長

4

2a=2,所以aABF2的周長為4a=4.

2.在aABC中，A（-4,0）,B（4,0）,AABC的周長是18,則頂點C

的軌跡方程是（）

x2y2y2x2

425+§=1（叱。）B.元+§=l（yW0）

x2y2y2x2

c.五十不=MyW0）D.五+不=l（yW0）

【解析】選A由|AC|+|BC|=18—8=10>8知，頂點C的軌跡是以A,

B為焦點的橢圓（A,B,C不共線）.

x2y2

設(shè)其方程為工=l（a>b>0）,則a=5,c=4,從而b=3.由A,B,

a+RD

C不共線知yWO.故頂點C的軌跡方程是言+今=l（yWO）.

3.橢圓ax2+by2=l(a>0,b>0)與直線y=l-x交于A,B兩點，過

原點與線段AB中點的直線的斜率為號,則。的值為（

)

2.a

壁蟠2^3

a30-3227

【解析】選8.設(shè)A%,yj,B%,丫2），

22

ax+by=l,,—匹

由題意知：＜^>(a+b)x2—2bx+b—1=0,x1+x2—a+b?

[y=l-x

b

設(shè)線段AB中點為C,則xc=a+b.

ba

將改=不代入y=l—x得到北二不.

a+ba\[3b2r-

==

因為koc=—2'故]3百■

a+b

【秒殺絕招】

1

,,,A/3baa乖”力2

因為（一I）.2=_,=_g，所以E=2~'所以5=-------

a小

4.設(shè)橢圓C的左、右焦點為F?F2,過點Fi的直線與橢圓C交于點P,Q,

若△PFE是以PB為底的等腰三角形，且|PFJ=2|QB|,則橢圓C的離心

3

率為（）

【解析】選C.根據(jù)題意，作圖如圖所示,

由|PF21=2c,得|PF』二2a-2c,|QF』二=|PQ|,|QF2|=—,

222

由cosNF2PQ-COSNF2PF1,

222

|PF2『+|PQ|2-醫(yī)Q|2|PF2|+|PF1|.|F1F2|

即--------------=---------------,

2|PF2||P(?|2\PF2\\PFX\

整理得7c2-12ac+5a2=o,則(5a-7c)(a-c)=0,得e=-.

7

5.(2019?全國I卷)已知橢圓C的焦點為B(-1,0),F?(1,0),過F2的直

線與C交于A,B兩點.若交F2|=2|F2BUAB|=|BFI|,則C的方程為

()

A.E+y2=iB.E+匕1

232

2222

C.L+JD.L+UI

4354

【解析】選B.如圖，由已知可設(shè)得3臼,則MBI=2n,舊FJ=|AB|=3n,

由橢圓的定義有2a=舊居|+|B6|=4n,所以片|=2a-|ABl=2n.在4

4n2+9九2.9九21

AEB中，由余弦定理推論得cosNEAB=----------------

2-2n-3n3

在△AFE中，由余弦定理得4n2+4n2-2?2n?2n?工4,解得n=—.

32

所以2a=4n=28，所以a=V3,所以b2=a-c2=3-1=2,

22

所以所求橢圓方程為L+匚1,故選B.

32

二、填空題（每小題5分，共15分）

22

6.設(shè)點FbF2分別是橢圓上+二=1的左、右焦點，點P為橢圓上一點，點M

2516

是F,P的中點,0M=3,則點P到橢圓左焦點的距離為.

【解析】由題意知0M二-PFz=3,

2

所以PF2=6,所以PFF2X5-6=4.

答案:4

x2y2

7.（2019?全國III卷）設(shè)Fi，F(xiàn)2為橢圓C：豆+為=1的兩個焦點，M

為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為

【解析】已知橢圓C:泰+會

=1可知，a=6,c=4,由M為C上一

點且在第一象限，故等腰△MFFZ中，MF1=F1F2=8,MF2=2a-MF1

=4,

相_22V15

s/nZFiFM=

284，

yM=MF2s/nZF1F2M=^/15，

x2y2

代入C：宏+卞=1可付XM=3.

30ZU

故M的坐標(biāo)為(3,\[15).

答案：(3,A/15)

22

8.點P是橢圓L+匕=1上一點,Fi,F2是橢圓的兩個焦點，且△PFFz的內(nèi)切

2516

圓半徑為1,當(dāng)P在第一象限時,P點的縱坐標(biāo)為.

11

【解析】PF^PFFW,FF2=6,SAPRB=3(PF|+PF2+FF2)-1=8=-F,F2-yp^yp,

所以y=-.

P3

答案二

3

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.已知橢圓的長軸長為10,兩焦點Fi，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(3,0)和(一3,

0).

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若P為短軸的一個端點，求△F1PF2的面積.

【解析】⑴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$=l(a>b>0),

2a=10,

依題意得

c=3,

因此a=5,b=4,

x2y2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為寶+77=1.

2516

(2)易知|yp|=4,又c=3,

11

所以SZkF1PF2=5|yP|X2C=2X4X6=12.

10.已知焦點在x軸上的橢圓源+*=1的離心率e=2,F,A分別

是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，

⑴求|PF|的取值范圍.

⑵求而?港的最大值和最小值.

【解析】⑴由題意知a=2,

c1

因為e=—=彳，所以c=l,

a2

所以b2=a2—C2=3,

x2y2

所以橢圓方程為了十:=1.

所以左焦點F(-l,0).設(shè)P點坐標(biāo)為(xo，y0).

則一2Wx°W2.

PF2

II=A/(XO+1)+YO=(Xo+iy+3｝言'=^y+2x0+4

|x0+4I

=2，

因為2〈Xo+4W6,

|x+4|

所以」02￡口，3］，

所以|PF|的取值范圍為[1,3].

(2)因為F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-Xo,-y0),PA=(2-x0,-y0),

所以m.PA=%2_Xo-2+y2

三*x0+今（x「2）；

當(dāng)x0=2時，正?還取得最小值0,

當(dāng)Xo=-2時，PF?市取得最大值4.

素養(yǎng)提升練一?（20分鐘35分）

x2V2、

1.已知橢圓C：/+p=l（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離

心率為叩，過F2的直線I交C于A,B兩點.若^AFiB的周長為4小，

則橢圓C的方程為（）

222

xyx2

A.—+~=1B.-+y=1

x2y2x2y2

c一+—=iD—+—=1

128124

【解析】選A由題意及橢圓的定義知4a=4市,

,rccA/3

則a=^3,又］=痘=3，

所以c=l,所以b?=2,

x2y2

所以橢圓c的方程為§+2=1.

X2y2

2.已知Fi，F(xiàn)2分別是橢圓C：1+p=l（a>b>0）的左、右焦點，若

橢圓C上存在點P,使得線段PF1的中垂線恰好經(jīng)過焦點Fz，則橢圓C

離心率的取值范圍是（）

C.俘,1)D.(o,I

【解析】選c.如圖所示，

因為線段PF］的中垂線經(jīng)過F2，

所以|PF2|=|FIF2|=2C,

即橢圓上存在一點P使得|PF2|=2C.

所以a—cW2cWa+c.

“cl

所以e=—G1.

a13J

3.(5分)已知橢圓C:-+y2=l的右焦點為F,點P在橢圓C上,0是坐標(biāo)

4

原點，若IOPI=IOFI,則△OPF的面積是.

2

［解析】由橢圓C的方程LY+y2=1,

4

可得：c2=a2-b2=4-1=3,F(V3,0),

如圖所示，設(shè)P(x,y),

因為P在橢圓C上，并且|OP|=|OF|,

x2

所以點p的坐標(biāo)滿足=i,

x2+y2=3

消去x得y2--,

3

所以|y|=q,

所以aOPF的面積S」|OF||y|」X百叉是士

2232

答案N

2

X2

4.設(shè)0為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：-2+y2=l(a>l,a￡R)上，

d

過。的直線交橢圓C于A,8兩點，F(xiàn)為橢圓C的左焦點.

⑴若△08的面積的最大值為1,求a的值；

1

(2)若直線ZVM,M8的斜率乘積等于一§,求橢圓C的離心率.

【解析】⑴S3AB=5|?！覆穦以一幾1w|OF|=/匚1=1,所以。=啦.

(2)由題意可設(shè)A(xo，"),8(一X。，一")，M(x,y),

2

xXQ2

則/+v=L『+/o=L

x2(

221—2-~12"

,,y-/oy+y°y~y0a(aJ

k/VM?kMB—?-22=22=

x—x0x+x0x—x0x—Xo

4(X-；)

x2-Xo_

_1___1

-7a=-73，

所以。2=3,所以a=4,

所以c=^a2~b2=啦,

所以橢圓的離心率e=~=^3

5.已知橢圓M：5+p=l(a>b>0)的離心率為坐，焦距為2啦.

斜率為k的直線/與橢圓M有兩個不同的交點4B.

⑴求橢圓例的方程；⑵若k=l,求MB|的最大值.

<a2=b2+c2,

【解析】(1)由題意得<合乎，

、2c=2啦，

解得。=小，b=l.

所以橢圓A4的方程為§+y=1.

(2)設(shè)直線/的方程為y=x+m,4(xi，%)，8%,y2)-

[y=x+m,

得4x2+6mx+3m2—3=0,

3m3m2—3

所以Xi+X2=一7-，XiX2=4-

2-2

所以1=\l(x2—Xi)+(y2Vi)

=、2(X2—X1)2=、2[(X1+X2)2—4X1X2〕

當(dāng)m=0,即直線/過原點時，|48|最大，最大值為加.

【加練備選?拔高】

順次連接橢圓C:-X+卷V=l(a>b>0)的四個頂點恰好構(gòu)成了一個邊長

cib

為小且面積為2小的菱形.

⑴求橢圓C的方程；

(2)過點Q(0,-2)的直線/與橢圓C交于A,B兩點,koA?k0B=-l,其中0為

坐標(biāo)原點,求|AB|.

【解析】⑴由題可知2ab=2g,/+/=3,

且a>b>0,解得。=啦，b=l.

X2

所以橢圓C的方程為I+y2=l.

⑵設(shè)4X1，yj8(X2,力)，當(dāng)直線/斜率不存在時，明顯不符合題意,

V2

故設(shè)/的方程為y=kx—2,將其代入方程5+/=1

整理得(l+2k2)x2—8kx+6=0.

3

由4=64k2—24(2k2+l)>0,解得k?〉？，

“8k6

所以Xi+X2=不衛(wèi)而，XIX2=1_|_2^2?

k2x1X2—2k（X1+X2）+4

YW2

k°A*koB==-1,解得k?=5.

X1X2—x/2

4VH

所以I=^/l+P7（X1+X2）2—4X62=