上海市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

上海市某中學(xué)2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期中2023.11一、填空題：（本題共有12個小題，1-6每小題3分，7-12每小題4分，滿分42分）1.計算：______.2.若，，且，，則______（填“”、“”、“”、“”）.3.已知空間兩個角、，且的兩邊與的兩邊分別平行，若，則的大小為______.4.已知正方體的棱長為1，則異面直線與之間的距離是______.5.若，與、的夾角都是60°，且，，，則______.6.四面體的所有棱長均為2，則二面角的大小為______.7.有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，，，則這塊菜地的面積為______.8.已知圓錐底面的半徑為10，母線長為60，則底面圓周上一點沿側(cè)面繞兩周回到點的最短距離是______.9.已知四面體，空間的一點滿足，若，，，共面，則實數(shù)的值為______.10.對下列命題：①兩兩相交的三條直線確定一個平面；②已知直線、和平面，若、與所成的角相等，則；③若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面；④三個兩兩垂直的平面的相應(yīng)交線也兩兩垂直，其中真命題的序號是______.（填上所有真命題序號）11.已知圓柱的兩個底面的圓周在體積為的球的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為______.12.如圖，在長方體中，，，，，分別是，，的中點，點在平面內(nèi)，若直線平面，則線段長度的最小值是______.二、選擇題：（本題共有4個小題，每小題4分，滿分16分）13.已知平面上的一條直線和這個平面的一條斜線，則“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件14.給出下列命題，其中是假命題是（）A.存在每個面都是直角三角形的四面體B.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直C.在四棱柱中，若過相對側(cè)棱的兩個截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形15.正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為（）A. B. C. D.16.在中，，，.為所在平面內(nèi)的動點，且，若，則給出下面四個結(jié)論：①的最小值為； ②的最小值為；③的最大值為； ④的最大值為10.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4三、解答題：（本題共有4大題，滿分42分.解題時要有必要的解題步驟）17.（本題共2小題，第1小題4分，第2小題4分，滿分8分）如圖，在直三棱柱中，，、、分別是棱、、的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離.18.（本題共2小題，其中第1小題5分，第2小題5分，滿分10分）已知向量，.（1）若，且，求的值；（2）設(shè)，求函數(shù)在上的最大值和最小值.19.（本題共2小題，其中第1小題5分，第2小題7分，滿分12分）《九章算術(shù)商功》：“斜解立方，得兩斬堵.斜解暫堵，其一為陽馬，一為鱉臑期馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣，”劉徽注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云.中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實據(jù)半，故云六而一即得.”塹堵陽馬鱉臑如圖，在鱉臑中，側(cè)棱底面；（1）若，，，，求異面直線與所成角的余弦值；（2）若，，點在棱上運動.求面積的最小值.20.（本題共2小題，其中第1小題6分，第2小題6分，滿分12分）在數(shù)列中