中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬匯編經(jīng)典及答案

一、中考幾何壓軸題1．如圖（1），已知點(diǎn)在正方形的對角線上，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為__；（2）探究與證明：將正方形繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：若，正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時，則．2．綜合與實(shí)踐（1）問題發(fā)現(xiàn)：正方形ABCD和等腰直角△BEF按如圖①所示的方式放置，點(diǎn)F在AB上，連接AE、CF，則AE、CF的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．（2）類比探究：正方形ABCD保持固定，等腰直角△BEF繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤360°)，請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請就圖②說明你的理由：（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若AB=2BF=4，在等腰直角△BEF旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)CF為最大值時，請直接寫出DE的長．3．點(diǎn)E是矩形ABCD邊AB延長線上的一動點(diǎn)，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，過點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)G，連接DF，交CG于點(diǎn)H．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想線段DH與HF的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究：如圖2，若AB＝nAD，CF＝nCE，則（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展：在（2）的基礎(chǔ)上，若射線FC過AD的三等分點(diǎn)，AD＝3，AB＝4，則直接寫出線段EF的長．4．將拋物線y＝ax2的圖像（如圖1）繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90度后可得新的拋物線圖像（如圖2），記為C：y2＝x．（概念與理解）將拋物線y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的拋物線圖像，記為：C1：_____________；C2：____________．（猜想與證明）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（x，0）在x軸正半軸上，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C1于點(diǎn)A、B，交拋物線C2于點(diǎn)C、D，如圖3所示．（1）填空：當(dāng)x=1時，=______；當(dāng)x=2時，=_______；（2）猜想：對任意x（x＞0）上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明你的猜想；若不成立，請說明理由．（探究與應(yīng)用）①利用上面的結(jié)論，可得△AOB與△COD面積比為；②若△AOB和△COD中有一個是直角三角形時，求△COD與△AOB面積之差；（聯(lián)想與拓展）若拋物線C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x軸正半軸上，如圖所示，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線，分別交拋物線C3于點(diǎn)A、B，交拋物線C4于點(diǎn)C、D．過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線C4于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線C3于點(diǎn)F．對于x軸上任取一點(diǎn)P，均有△PAE與△PDF面積的比值1:3，請直接寫出m和n之間滿足的等量關(guān)系是______．5．（1）問題探究：如圖1，△ABC，△ADE均為等邊三角形，連接BD、CE，試探究線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）類比延伸如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，連接BD，CE，試確定BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）拓展遷移如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝BC，CD＝4，若將線段DA繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DA′，連接BA′，求線段BA′的長．6．綜合與實(shí)踐動手實(shí)踐：一次數(shù)學(xué)興趣活動，張老師將等腰的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合（），按如圖（1）所示重疊在一起，使點(diǎn)在邊上，連接．則可證：______，______三點(diǎn)共線；發(fā)現(xiàn)問題：（1）如圖（2），已知正方形，為邊上一動點(diǎn)，，交的延長線于，連結(jié)交于點(diǎn)．若，則______，______；嘗試探究：（2）如圖（3），在（1）的條件下若，求證：；拓展延伸：（3）如圖（4），在（1）的條件下，當(dāng)______時，為的6倍（直接寫結(jié)果，不要求證明）．7．綜合與實(shí)踐：利用矩形的折疊開展數(shù)學(xué)活動，探究體會圖形在軸對稱，旋轉(zhuǎn)等變換過程中的變化，及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法．動手操作：如圖①，矩形紙片ABCD的邊AB＝2，將矩形紙片ABCD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為EF，然后展開，EF與AC交于點(diǎn)H；如圖②，將矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在對角線AC上，且點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，展開圖形，折痕為AG，連接GH；若在圖①中連接BH，得到如圖③，點(diǎn)M是線段BH上的動點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AH上的動點(diǎn)，連接AM，MN，且∠AMN＝∠ABH；若在圖②中連接BH，交折痕AG于點(diǎn)Q，隱去其它線段，得到如圖④．解決問題：（1）在圖②中，∠ACB＝，BC＝，＝，與△ABG相似的三角形有個；（2）在圖②中，AH2＝AE·（從圖②中選擇一條線段填在空白處），并證明你的結(jié)論；（3）在圖③中，△ABH為三角形，設(shè)BM為x，則NH＝（用含x的式子表示）；拓展延伸：（4）在圖④中，將△ABQ繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，連接DQ′，則DQ′的最小值為，當(dāng)tan∠CBQ′＝時，△DBQ′的面積最大值為．8．如圖1，已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)、分別在線段、上，．（1）觀察猜想：如圖2，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，連接、，的延長線交于點(diǎn)．當(dāng)?shù)难娱L線恰好經(jīng)過點(diǎn)時，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時，①的值為______；②∠BEC的度數(shù)為______度；（2）類比探究：如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)不重合時，上述結(jié)論是否仍然成立，請說明理由；（3）拓展延伸：若．，當(dāng)所在的直線垂直于時，請你直接寫出線段的長．9．綜合與實(shí)踐動手操作利用正方形紙片的折疊開展數(shù)學(xué)活動．探究體會在正方形折疊過程中，圖形與線段的變化及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，點(diǎn)為正方形的邊上的一個動點(diǎn)，，將正方形對折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．思考探索（1）將正方形展平后沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕為，連接，如圖2．①點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，_________的長為半徑的圓上；②_________；③為_______三角形，請證明你的結(jié)論．拓展延伸（2）當(dāng)時，正方形沿過點(diǎn)的直線（不過點(diǎn)）折疊后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在正方形內(nèi)部或邊上．①面積的最大值為____________；②連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，則的最小值為____________．10．（問題情境）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），點(diǎn)P為直線BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，將線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ旋轉(zhuǎn)角為α，連接CQ．（特例分析）（1）當(dāng)α＝90°，點(diǎn)P在線段BC上時，過P作PF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，如圖①，易得圖中與△APF全等的一個三角形是，∠ACQ＝°．（拓展探究）（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上，AB：AC＝m：n時，如圖②，試求線段BP與CQ的比值；（問題解決）（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4時，請直接寫出線段CQ的長．11．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且EF∥AB．①的值為_________；②直線與直線的位置關(guān)系為__________；（2）類比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；（3）拓展運(yùn)用：若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時，請直接寫出此時線段的長．12．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與同為等邊三角形，連接則與的數(shù)量關(guān)系為________；直線與所夾的銳角為_________；類比探究：（2）與同為等腰直角三角形，其他條件同（1），請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；拓展延伸：（3）中，為的中位線，將繞點(diǎn)逆時針自由旋轉(zhuǎn)，已知，在自由旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)在一條直線上時，請直接寫出的值．13．綜合與實(shí)踐問題情境：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AD上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)將線段AE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接CF交線段AB于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H、連接EG．特例分析:(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時，“智敏”小組提出如下問題，請你解答：①求證：AF=CD；②用等式表示線段CG與EG之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；拓展探究:(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線上，且DE=AD時，“博?！毙〗M發(fā)現(xiàn)CF=2EG．請你證明；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線上，且AE=AB時，的值為_______；推廣應(yīng)用:(4)當(dāng)點(diǎn)E在射線AD上運(yùn)動時，，則的值為______用含m.n的式子表示)．14．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，若∠ADE＝60°，則AB，CE，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究如圖2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上．若∠ADE＝α，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）解決問題如圖3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速運(yùn)動，同時點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿B→C方向勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)運(yùn)動至終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，連接PM，在PM右側(cè)作∠PMG＝30°，該角的另一邊交射線CA于點(diǎn)G，連接PC．設(shè)運(yùn)動時間為t（s），當(dāng)△APG為等腰三角形時，直接寫出t的值．15．（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH=GH．（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG=CG．16．問題情境：兩張直角三角形紙片中，．連接，，過點(diǎn)作的垂線，分別交線段，于點(diǎn)，（與在直線異側(cè)）．特例分析：（1）如圖1，當(dāng)時，求證：；拓展探究：（2）當(dāng)，探究下列問題：①如圖2，當(dāng)時，直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系：；②如圖3，當(dāng)時，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；推廣應(yīng)用：（3）若圖3中，，設(shè)的面積為，則的面積為．（用含，的式子表示）17．定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)．已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，若AM＝1，MN＝2，則BN＝．（1）（類比探究）如圖2，DE是△ABC的中位線，M、N是AB邊的勾股點(diǎn)（AM＜MN＜NB），連接CM、CN分別交DE于點(diǎn)G、H．求證：G、H是線段DE的勾股點(diǎn)．（2）（知識遷移）如圖3，C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，以CD為直徑畫⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，連結(jié)PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度數(shù)．（3）（拓展應(yīng)用）如圖4，點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)（x＞0）上的動點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D，且交線段AB于E、F．證明：E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．18．[探索發(fā)現(xiàn)]（1）如圖①，△ABC與△ADE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，連接BD與CE，則△ABD與△ACE的關(guān)系是；[操作探究]（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)80°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接BE，得到△BPE，隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化，點(diǎn)E的位置也在變化，點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè)，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側(cè)．請你探究，當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時，如圖②所示，連接CE，判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．[拓展應(yīng)用]（3）在（2）的應(yīng)用下，請?jiān)趫D③中畫出△BPE，使得點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)，連接CE，試求出點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動時，AE的最小值．19．將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置，其中．（1）操作發(fā)現(xiàn):如圖2，固定使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，設(shè)的面積為的面積為當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時，則與的數(shù)量關(guān)系是；（2）猜想論證:當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想中與的數(shù)量關(guān)系為相等，并嘗試分別作出了和中邊上的高請你證明小明的猜想，即證明:．（3）拓展探究:已知，點(diǎn)是角平分線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)（如圖4)．若射線上存在點(diǎn)，使，請直接寫出相應(yīng)的的長．20．問題發(fā)現(xiàn)：（1）正方形ABCD和正方形AEFG如圖①放置，AB＝4，AE＝2.5，則＝___________．問題探究：（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，∠BPC＝135°，求AP長的最小值．問題拓展：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，連接對角線AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，則對角線BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、中考幾何壓軸題1．（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2解析：（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證即可得；（3）由（2）證出就可得到，再根據(jù)三點(diǎn)在同一直線上分在CD左邊和右邊兩種不同的情況求出AG的長度，即可求出BE的長度．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，四邊形是矩形，四邊形是正方形；解：由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴故答案為：．（2）如下圖所示連接由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知在和中，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）解：當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時，由（2）可知，，∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，當(dāng)正方形在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時：當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時，由（2）可知，，∠CEA=∠ABC=90°，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）相等，垂直；（2）成立，見解析；（3）2．【分析】（1）利用SAS證明△ABE≌△CBF，延長CF交AB于點(diǎn)M，證明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的證明方法求解即可；（3）根據(jù)解析：（1）相等，垂直；（2）成立，見解析；（3）2．【分析】（1）利用SAS證明△ABE≌△CBF，延長CF交AB于點(diǎn)M，證明∠AMC=90°即可；（2）仿照（1）的證明方法求解即可；（3）根據(jù)題意，得點(diǎn)F在以B為圓心，BF為半徑的圓上運(yùn)動，根據(jù)直徑最大原理，知道當(dāng)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)一線時，CF最大，此時點(diǎn)E恰好在AB的延長線上，連接DE，利用勾股定理求值即可.【詳解】（1）如圖①，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBA=∠FBC=90°，BE=BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延長CF交AE于點(diǎn)M，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AFM=∠BFC，∴∠AMF=∠FBC=90°，∴AE⊥CF，故答案為：相等，垂直；（2）結(jié)論還成立．理由如下：如圖②，∵正方形ABCD和等腰直角△BEF,∴BA=BC，∠EBF=∠ABC=90°，BE=BF，∴∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF，∴∠EBA=∠FBC，∴△ABE≌△CBF，∴AE=CF，延長CF交AE于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)G，∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB，∵∠AGN=∠BGC，∴∠ANG=∠GBC=90°，∴AE⊥CF，故結(jié)論成立；（3）如圖③，根據(jù)題意，得點(diǎn)F在以B為圓心，BF為半徑的圓上運(yùn)動，根據(jù)直徑最大原理，知道當(dāng)C，B，F(xiàn)三點(diǎn)一線時，CF最大，此時點(diǎn)E恰好在AB的延長線上，連接DE，∵AB=2BF=4，∴AE=AB+BE=6，在直角三角形ADE中，DE==2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，直徑是圓中的最大的弦，垂直的定義，熟練掌握三角形全等，垂直的證明是解題的關(guān)鍵．3．(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由見解析；(3)或．【分析】(1)證明，得，則，則證，得出即可；(2)證，則，由矩形的性質(zhì)得出，證，即可得出；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得，則解析：(1)DH=HF；(2)DH=HF仍然成立，理由見解析；(3)或．【分析】(1)證明，得，則，則證，得出即可；(2)證，則，由矩形的性質(zhì)得出，證，即可得出；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得，則，分兩種情況，根據(jù)勾股定理和平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：(1)，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，，∴四邊形ABCD是正方形，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，，在和中，，∴，∴，故答案為，(2)仍然成立，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，，，∴∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形ABCD是矩形，，∴，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，(3)如圖所示，延長FC交AD于R，∵四邊形ABCD是矩形，∴，，，，∵，，∴，∴，分兩種情況：①當(dāng)時，∵，∴，，在中，由勾股定理得：，∵，，∴，∴，由勾股定理得：EF＝；②當(dāng)時，同理可得：，，，，由勾股定理得：，綜上所說，若射線FC過AD的三等分點(diǎn)，，，則線段EF的長為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．【概念與理解】，；【猜想與證明】（1），；（2）成立，證明見解析；【探究與應(yīng)用】①；②△COD與△AOB面積之差為或；【聯(lián)想與拓展】n3=9m3．【分析】【概念與理解】：根據(jù)題意信息即可得出答案解析：【概念與理解】，；【猜想與證明】（1），；（2）成立，證明見解析；【探究與應(yīng)用】①；②△COD與△AOB面積之差為或；【聯(lián)想與拓展】n3=9m3．【分析】【概念與理解】：根據(jù)題意信息即可得出答案；【猜想與證明】：（1）當(dāng)x=1時，求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；當(dāng)x=2時，求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；（2）任意x（x＞0），求出A，B，C，D的坐標(biāo)進(jìn)而得出AB,CD即可得出答案；【探究與應(yīng)用】：①根據(jù)已知條件表示出△AOB與△COD面積即可得出答案；②設(shè)M（x，0）（x＞0），根據(jù)已知條件可得出，分兩種情況當(dāng)△AOB是直角三角形時解得，當(dāng)△COD是直角三角形時，解得，把代入即可；【聯(lián)想與拓展】：根據(jù)題意求出AEDF的坐標(biāo)然后表示出面積再利用△PAE與△PDF面積的比值1:3，即可得出關(guān)系式；【詳解】【概念與理解】∵y1=4x2∴由題意可得C1：∵y2=x2∴由題意可得C2：故答案為：C1：，C2：；【猜想與證明】（1）當(dāng)x=1時，∵點(diǎn)A、B在拋物線C1上∴令x=1，則∴A，B∴AB=1∵點(diǎn)C、D在拋物線C2上∴令x=1，則∴C，D∴CD=2∴=當(dāng)x=2時，∵點(diǎn)A、B在拋物線C1上∴令x=2，則∴A，B∴AB=∵點(diǎn)C、D在拋物線C2上∴令x=2，則∴C，D∴CD=∴=（2）對任意x（x＞0）上述結(jié)論仍然成立理由如下：對任意x（x＞0），∴A，B∴AB=對任意x（x＞0），∴C，D∴CD=∴=【探究與應(yīng)用】①連接OA，OB，OC，OD∴故答案為：②設(shè)M（x，0）（x＞0），∵M(jìn)（x，0）∴∴AB=∵M(jìn)（x，0），∴∴CD=∵∴當(dāng)△AOB是直角三角形時，由題意可知OA=OB∴△△AOB為等腰直角三角形∴OM=AM∴解得：∴當(dāng)△COD是直角三角形時，由題意可知OD=OC∴△△COD為等腰直角三角形∴OM=CM∴解得：∴綜上所述：△COD與△AOB面積之差為或【聯(lián)想與拓展】∵M(jìn)（k，0）且點(diǎn)A、B在拋物線C3上∴令x=k，則∴A∵AE∥x軸，且交C4于點(diǎn)E∴E∵M(jìn)（k，0）且點(diǎn)C、D在拋物線C4上∴令x=k，則∴D∵DF∥x軸，且交C3于點(diǎn)F∴F∵AE∥x軸，且交C4于點(diǎn)E∴△PEA的高=∵DF∥x軸，且交C3于點(diǎn)F∴△PDF的高=∴∵△PAE與△PDF面積的比值1:3∴∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考出了拋物線性質(zhì)的綜合運(yùn)用以及旋轉(zhuǎn)等知識，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，在解答本題時運(yùn)用兩個拋物線上的點(diǎn)的特征不變建立方程求解是關(guān)鍵．5．（1）BD＝CE；理由見解析；（2）BD＝2CE，理由見解析；（3）A′B＝．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，則∠EAC=∠DAB，再證△E解析：（1）BD＝CE；理由見解析；（2）BD＝2CE，理由見解析；（3）A′B＝．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB，AE=AD，∠EAD=∠CAB=60°，則∠EAC=∠DAB，再證△EAC≌△DAB（SAS），即可得出結(jié)論；（2）證△EAD∽△CAB，得到，則△EAC∽△DAB，得=2，即可得出結(jié)論；（3）先證明△ABC和△AA′D為等腰直角三角形，得，再證∠A′AB=∠DAC，從而可證明△CAD∽△BAA'，最后利用相似三角形的性質(zhì)可求得A′B的長度．【詳解】解：（1）∵△ABC、△ADE均為等邊三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60°，∴∠EAC＝60°﹣∠CAD，∠DAB＝60°﹣∠CAD，∴∠EAC＝∠DAB，在△EAC與△DAB中，∴△EAC≌△DAB，∴BD＝CE；（2）BD＝2CE，理由：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴∠EAD＝∠CAB＝60°，AD＝2AE，AB＝2AC，∴∠EAC＝∠DAB，△EAD∽△CAB，∴，∴△EAC∽△DAB，∴，∴BD＝2CE；（3）連接A′A，如圖③，∵AC⊥BC，且AC＝BC，∴△ABC為等腰直角三角形．∴，∵將線段DA繞點(diǎn)D按逆時針方形旋轉(zhuǎn)90°得到DA′∴△AA′D為等腰直角三角形．∴△ABC∽△AA′D．∴．∴．又∵∠CAB＝∠A′AD，∴∠A′AB＝∠DAC，∴△CAD∽△BAA′．∴，即，∴A′B＝．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證得相似三角形是解題的關(guān)鍵．6．動手實(shí)踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）【分析】動手實(shí)踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得解析：動手實(shí)踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）【分析】動手實(shí)踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠D=90°，則∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點(diǎn)共線；（1）若n=2，則DC=2DE，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，可證出△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得BG=CE=AB，即可得出，根據(jù)三角形的面積公式分別表示S△AGE和S△BGF，即可得出S△AGE和S△BGF的比值；（2）若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得4BG=CE=AB，可得出BG==AB，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)AG為GB的6倍得AG=6GB，則AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，則，可得出BG?FC=EC?FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設(shè)CD=x，DE=a，由DE=BF，BC=CD可得x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，n=3+或3-．【詳解】解：動手實(shí)踐：∵等腰Rt△AEF與正方形ABCD，∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴∠ABF=∠D=90°，∴∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點(diǎn)共線，故答案為：ABF，F(xiàn)、B、C；（1）若n=2，則DC=2DE，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，：∵等腰Rt△AEF與正方形ABCD，∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△FBG∽△FCE，∴，∴BG=CE=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴，∵S△AGE=AG?BC=×AB×AB=AB2，S△BGF=BG?BF=×AB×AB=AB2，∴，故答案為：5，10；（2）證明：若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，由（1）得△FBG∽△FCE，∴，∴4BG=CE=AB，∴BG=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴AG=5GB；（3）∵AG為GB的6倍，∴AG=6GB，∴AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，∴，∴BG?FC=EC?FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設(shè)CD=x，DE=a，∵DE=BF，BC=CD，∴x（a+x）=（x-a）a，整理得：x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，∴n=3+或3-．故答案為：3+或3-．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．7．（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可解析：（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可得AG=CG，∠GCH=∠GAH，可求∠ACB=30°，利用三角函數(shù)可求BC=，AG=4，BF=FC=，可求，與△ABG相似的三角形由7個；（2）由EF為折痕，可證△AEH∽△AHG，可得即可；（3）由四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對角線AC中點(diǎn)，可證△ABH為等邊三角形，再證△ABM∽△MHN，可得即可；（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時，Q′D最小，先求BC=，AQ′=，可求Q′D最小=，當(dāng)BQ′⊥BD時，△BDQ′面積最大∠CBQ′=60°，S△BDQ′最大=．【詳解】解（1）∵點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，∴AC=2AH，∵折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，∴AB=AH=2，BG=HG，∠BAG=∠HAG=，∠B=∠AHG，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°，∴∠AHG=∠B=90°，∴GH為AC的垂直平分線，∴AG=CG，∠GCH=∠GAH，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH，∵∠BAH+∠BCH=180°-∠B=90°，∴3∠ACB=90°∴∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH=30°，∴tan30°=，AB=2，∴BC=，∵tan∠BAG=tan30°=，∴BG=，∴AG=2BG=4，BF=FC=，∴GF=BF-BG=3-2=1，∴，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GHF=∠HCF=∠GCH=∠EAH=∠DAC=∠BCA=30°，∵∠B=∠AHG=∠HFG=∠HFC=∠AEH=∠D=∠GHC=∠CBA=90°，∴△ABG∽△AHG∽△HFG∽△CFH∽△CHG∽△AEH∽△ADC∽△CBA，∴與△ABG相似的三角形由7個，故答案為：30°；6；4；7；（2）∵EF為折痕，∴EH⊥AD，∵∠EAH=∠HAG=30°∠AHG=∠AEH=90°∴△AEH∽△AHG，∴，∴故答案為AG；（3）∵四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對角線AC中點(diǎn)，∴AH=CH=BH，由圖2知AB=AH，∴AH=BH=AB，∴△ABH為等邊三角形，∴∠ABH=∠AHB=60°，∵∠AMN＝∠ABH；∴∠AMN＝∠ABH=∠AHB=60°，∴∠BAM+∠AMB=180°-∠ABH=120°，∠AMB+∠NMH=180°-∠AMN=120°，即∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠NMH，∴∠BAM=∠NMH，∴△ABM∽△MHN，∴，∵AB=，MH=，∴，∴，故答案為：等邊；，（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時，Q′D最小∵AB=2，AD=BC=6，∴BC=∵AQ′=Q′H=∴Q′D最小=當(dāng)BQ′⊥BD時，△BDQ′面積最大∵tan∠DAC=，∴∠DAC=30°，∴∠CBQ′=90°-∠DBC=90°-30°=60°∴tan∠CBQ'=S△BDQ′最大=；故答案為；；6．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積，掌握查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積求法是解題關(guān)鍵．8．（1）①；②45；（2）成立，理由見解析；（3）或【分析】（1）①如圖，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ABD=∠ACE，②再證明∠BAO=∠CEO=45°，可得結(jié)論．（解析：（1）①；②45；（2）成立，理由見解析；（3）或【分析】（1）①如圖，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ABD=∠ACE，②再證明∠BAO=∠CEO=45°，可得結(jié)論．（2）如圖（3）中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖，當(dāng)CE⊥AD于O時，如圖（4）-2中，當(dāng)EC⊥AD時，延長CE交AD于O．分別求出EC，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖（2）中，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠CAB=45°，AD=AE，AB=AC，∴∠EAC=∠DAB，∴=，∴△DAB∽△EAC，∴=；②由△DAB∽△EAC，∴∠ABD=∠ACE，∵∠AOB=∠EOC，∴∠BAO=∠CEO=45°，∴∠CEB=45°，故答案為：，45；（2）如圖（3）中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠CAB=45°，AD=AE，AB=AC，∴∠EAC=∠DAB，=，∴△DAB∽△EAC，∴=，∠ABD=∠ACE，∵∠AOB=∠FOC，∴∠BAO=∠CFO=45°，∴=，∠BFC=45°；（3）如圖（4）-1中，當(dāng)CE⊥AD于O時，∵AE=DE=，AC=BC=，∠AED=∠ACB=90°，∴AD=AE=2，∵EO⊥AD，∴OD=OA=OE=1，∴OC==3，∴EC=OE+OC=4，∵BD=EC，∴BD=4；如圖（4）-2中，當(dāng)EC⊥AD時，延長CE交AD于O．同法可得OD=OA=OE=1，OC=3，EC=3-1=2，∴BD=EC=2，綜上所述，BD的長為4或2．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．9．（1）①；②；③等邊，證明見解析；（2）①3；②．【分析】（1）①利用圓的基本性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)折疊的性質(zhì)，利用勾股定理，即可求解；③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；（2）①由題解析：（1）①；②；③等邊，證明見解析；（2）①3；②．【分析】（1）①利用圓的基本性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)折疊的性質(zhì)，利用勾股定理，即可求解；③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；（2）①由題意知點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，半徑長為2的圓上，△ABB'的面積要最大，只要以AB為底的高最長即可，此時當(dāng)B'E⊥AB時，△ABB'的面積最大；②當(dāng)E、B′、C三點(diǎn)共線時，B'C+EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值為EC的長，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BE=B′E，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=，∠B=∠EB′C=90，①點(diǎn)B′在以點(diǎn)E為圓心，BE的長為半徑的圓上；②B′M=MN-B′N===；③B′D=，∴△DB'C為等邊三角形；故答案為：①BE，②，③等邊；（2）①∵AB=3=3AE，∴AE=1，BE=2，故點(diǎn)B'在以點(diǎn)E為圓心，半徑長為2的圓上，∴△ABB'的面積要最大，只要以AB為底的高最長即可，∴當(dāng)B'E⊥AB時，△ABB'的面積最大，如圖：△ABB'的面積最大值；②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B'E，∵P為AE的中點(diǎn)，∴Q為AB'的中點(diǎn)，∴PQ為△AEB'的中位線，∴PQ=EB'，即EB'=2PQ，∴B'C+2PQ=B'C+EB'，當(dāng)E、B′、C三點(diǎn)共線時，B'C+EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值為EC的長，∴EC=，∴B'C+2PQ的最小值為．故答案為：①；②．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、圖形的折疊、等腰三角形的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度適中，其中（2）①當(dāng)B'E⊥AB時，△ABB'的面積最大；②當(dāng)E、B′、C三點(diǎn)共線時，B'C+2PQ取得最小值，是解本題的關(guān)鍵．10．（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長為2或8．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF解析：（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長為2或8．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF＝∠QPC，從而可得結(jié)論，（2）過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則，再證明△AFP≌△PCQ，利用△ABC∽△FBP的性質(zhì)可得答案，（3）分情況討論：當(dāng)P在CB的延長線上時，證明△APC≌△QPC，利用等邊三角形的性質(zhì)可得答案，當(dāng)P在BC的延長線上時，連接AQ，利用等邊三角形的性質(zhì)，證明△ACQ≌△PCQ，從而可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∵PF∥AC，∴∠BPF＝∠BFP＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，∴AF＝CP，由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，∴∠QPC＝45°﹣∠APF，又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，∴∠PAF＝∠QPC，∴△APF≌△PQC，∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，又∵∠ACB＝45°，∴∠ACQ＝90°，故答案為：△PQC，90；（2）如圖②，過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則，又∵AB＝BC，∴AF＝CP，又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，∴∠FAP＝∠CPQ，由旋轉(zhuǎn)可得，PA＝PQ，∴△AFP≌△PCQ，∴FP＝CQ，∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，∴，∴（3）如圖，當(dāng)P在CB的延長線上時，∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APC＝∠QPC，又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC，∴CQ＝AC，又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，∴QC＝AC＝BC＝2；如圖，當(dāng)P在BC的延長線上時，連接AQ，由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠APA，∴AC＝PC，∴△ACQ≌△PCQ，∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．綜上所述，線段CQ的長為2或8．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行推算．11．（1）①，②；（2），，證明見解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥B解析：（1）①，②；（2），，證明見解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥BE；（2）由題意可證△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性質(zhì)可證AF⊥BE；（3）分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理可求AF的長．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，故答案為：，；（2），如圖，連接，延長交于，交于點(diǎn)，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）①如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，且三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，且，∴，，∴，∴；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，且，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．12．（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形解析：（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可推出，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出直線與所夾的銳角為45°，與（1）結(jié)論不符．（3）此問需要分兩種情況討論，一種情況是當(dāng)在直線上，該種情況需要先證明，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出；另一種情況是，當(dāng)在直線下，先證明，從而證明四邊形為矩形，最后求出．【詳解】解：（1）；60°解答如下：如圖１，與為等邊三角形，，在與中，，故答案為：；直線與所夾的銳角為60°．（2）不成立理由如下：與為等腰直角三角形，，，，即：，在與中，故（1）中的結(jié)論不成立；（3）的長度為2或4；①點(diǎn)在直線上方時如圖4，，，②點(diǎn)在直線下方時，如圖5，∥根據(jù)題意，易證四邊形為矩形，，故答案為綜上可得的長度為2或4【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的三邊關(guān)系、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定及性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，從而證明三角形全等是解答該小問的關(guān)鍵．（2）根據(jù)等腰直角三角形的三邊關(guān)系，證明兩個三角形相似是解答第二問的關(guān)鍵，重點(diǎn)掌握相似三角形的判定方法．（3）解答本題時，首先要認(rèn)識到旋轉(zhuǎn)過程中滿足題意的兩種情況，其次證明過程可參考上面的證明過程，最后如何判定四邊形為矩形也是解答最后一題第二種情況的關(guān)鍵．13．(1)①見解析；②CG=2EG；(2)見解析；(3)；(4)【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結(jié)論；②根據(jù)①得到BC=2AF，F(xiàn)G=GD，解析：(1)①見解析；②CG=2EG；(2)見解析；(3)；(4)【分析】(1)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得AD=CD，再證明△AFG△ADG，即可證明結(jié)論；②根據(jù)①得到BC=2AF，F(xiàn)G=GD，再證明△AFG△BCG，即可得到CG=2EG；(2)先證得四邊形ABEC為正方形，同理得△AFG△AEG和△AFG△BCG，即可得證；(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，證得△AFG△BCG，即可求解；(4)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=2AD，繼而得到，由△AFG△BCG，即可求解．【詳解】(1)①△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AD=BD=CD=BC，∠BAD=∠CAD=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AD，∠DAF=90°，∴∠GAF=∠GAD=45°，在△AFG和△ADG中，，∴△AFG△ADG，∴AF=AD，∴AF=CD；②CG=2EG，理由如下：由①得：∠GAF=∠B=45°，AF=BC，∴AF∥BC，2AF=BC，∴△AFG△BCG，∴，∴CG=2FG，∵△AFG△ADG，∴FG=DG，即FG=EG，∴CG=2EG；(2)連接EB、EC，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE=AD，∴DE=AD＝BD=CD，且AE⊥BC，∠BAC=90°，∴四邊形ABEC為正方形，∴BC=AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AE，∠EAF=90°，∴∠GAF=∠GAE=45°，在△AFG和△AEG中，，∴△AFG△AEG，∴AF=AE=BC，F(xiàn)G=EG，在△AFG和△BCG中，，∴△AFG△BCG，∴FG=CG，∴FG=CG=EG，∴CF=2EG；(3)同理得：FG=EG，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴，即，同理得：△AFG△BCG，∴，∴，∴，∴；(4)同理可得：FG=EG，BC=2AD，AF=AE，∵，∴，同理可得：△AFG△BCG，∴，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（1）；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）1或2【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：通過角的關(guān)系可證△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得到線段的關(guān)系；（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，解析：（1）；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）1或2【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：通過角的關(guān)系可證△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得到線段的關(guān)系；（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，即可得到結(jié)論；（3）解決問題:可證△PBM∽△MCG，然后得到，用t可表示線段的長，當(dāng)G點(diǎn)在線段AC上時，若△APG為等腰三角形時，則AP＝AG，代入計(jì)算即可；當(dāng)G點(diǎn)在CA延長線上時，若△APG為等腰三角形時，則△APG為等邊三角形，代入計(jì)算得到t．【詳解】解：（1）問題發(fā)現(xiàn)AB，CE，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∠ADE＝60°，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴．故答案為：．（2）拓展探究（1）中的結(jié)論成立，∵AB＝AC，∠B＝α，∴∠B＝∠C＝α，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，∵∠ADE＝α，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴；（3）解決問題∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BPM+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∵∠PMG＝30°，∴∠CMG+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BPM＝∠CMG，又∠B＝∠C＝30°，∴△PBM∽△MCG，∴，由題意可知AP＝t，BM＝t，即BP＝4﹣t，如圖1，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴AH＝2cm，BH＝＝＝2cm，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BC＝2BH＝4cm，∴MC＝（4t）cm，∴，即CG＝3t，當(dāng)G點(diǎn)在線段AC上時，若△APG為等腰三角形時，則AP＝AG，如圖2，此時AG＝AC﹣CG＝4﹣3t，∴4﹣3t＝t，解得：t＝1，當(dāng)G點(diǎn)在CA延長線上時，若△APG為等腰三角形時，如圖3，此時∠PAG＝180°﹣120°＝60°，則△APG為等邊三角形，AP＝AG，此時AG＝CG﹣AC＝3t﹣4，∴3t﹣4＝t，解得：t＝2，∴當(dāng)△APG為等腰三角形時，t的值為1或2．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握分類的思想方法是解題的關(guān)鍵．15．（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）證得∠BEC=∠EAD，證明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，由（解析：（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）證得∠BEC=∠EAD，證明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，由（1）可知，證得BC=GM，證明△BCH≌△GMH（AAS），可得出結(jié)論；（3）在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，證明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明△DEF∽△ECN，則，得出，則BM=CN，證明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD，∴Rt△AED∽Rt△EBC，∴；（2）如圖1，過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）證明：如圖2，在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（1）詳見解析；（2）①；②，證明詳見解析；（3）．【分析】（1）在等腰三角形ABM中三線合一，即AM還為三角形的角平分線與底邊中線，可用AAS證，可得，即可得證；（2）①由題意可知，，，且，解析：（1）詳見解析；（2）①；②，證明詳見解析；（3）．【分析】（1）在等腰三角形ABM中三線合一，即AM還為三角形的角平分線與底邊中線，可用AAS證，可得，即可得證；（2）①由題意可知，，，且，，可證∽，同理可證∽，可得，，即可得出BD與AN的數(shù)量關(guān)系；②過E點(diǎn)作AC的平行線，交AN的延長線于點(diǎn)P，連接PC，可證∽，即，可得，四邊形為平行四邊形，所以，即可得出BD與AN的數(shù)量關(guān)系；（3）由（2）②已證四邊形為平行四邊形，所以，且∽，，所以，即ACE的面積可得．【詳解】（1）證明：∵，于點(diǎn)，∴，，（等腰三角形三線合一）∵，，且，∴，∵，∴，即．∴，∵，∴，在ABM和CAN中，∴（AAS），∴，∴．（2）①．∵由題意可知，，，且，，∴，∴∽，同理，，，且，，∴，∴∽，∴，即，，即，∴．②．證明：過E點(diǎn)作AC的平行線，交AN的延長線于點(diǎn)P，連接PC．∴，∵，∴，∴，∵于點(diǎn)，∴．∴．∴．∴，∴∽，∴，∵，∴，，∴．∵，∴四邊形為平行四邊形．∴，∴．（3）．∵由（2）②已證四邊形為平行四邊形，∴，又∵∽，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考察了等腰三角形三線合一、全等三角形的證明與應(yīng)用、相似三角形的證明與應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出全等三角形，且掌握相似三角形面積之比為邊長之比的平方．17．BN=或；（1）見解析；（2）∠B＝15°；（3）見解析．【分析】定義：根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長；（1）根據(jù)已知條件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝B解析：BN=或；（1）見解析；（2）∠B＝15°；（3）見解析．【分析】定義：根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長；（1）根據(jù)已知條件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，根據(jù)條件求出（BN）2＝（MN）2+（AM）2，即可得到結(jié)果；（2）連接PD，根據(jù)已知條件可得PC2+BD2＝CD2，進(jìn)而求出∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，得到2∠A+∠A＝90°，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)已知條件先求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，），即可求得BF、EF，根據(jù)已知條件可得BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，即可求得結(jié)果；【詳解】定義：∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，∴或，∴BN=．（1）如圖，∵CD＝DA，CE＝EB，∴DE∥AB，∴CG＝GM，CH＝HN，∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，∵BN2＝MN2+AM2，∴BN2＝MN2+AM2，∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，∴EH2＝GH2+DG2，∴G、H是線段DE的勾股點(diǎn)．(2)如圖所示，連接PD，∵AC＝PC，∴∠A＝∠APC，∴∠PCD＝2∠A，∵C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，∴AC2+BD2＝CD2，∴PC2+BD2＝CD2，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CPD＝90°，∴PC2+PD2＝CD2，∴PD＝BD，∴∠PDC＝2∠B，∵∠A＝2∠B，∴∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，∴2∠A+∠A＝90°，解得∠A＝30°，則∠B＝∠A＝15°．（3）∵點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）上的動點(diǎn)，∴b＝．∵直線y＝﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）；當(dāng)x＝a時，y＝﹣x+2＝2﹣a，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，2﹣a）；當(dāng)y＝時，有﹣x+2＝，解得：x＝2﹣，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，）．∴BF＝＝（2﹣），EF＝,＝|2﹣a﹣|，AE＝＝（2﹣a）．∵BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，∴以BF、AE、EF為邊的三角形是一個直角三角形，∴E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的擴(kuò)展應(yīng)用，結(jié)合中位線定理、圓周角定理等知識點(diǎn)解題是關(guān)鍵．18．（1）相似；（2）AB∥EC，理由見解析；（3）3．【分析】（1）結(jié)論：相似．先判斷出△BAC∽△DAE，即可得出結(jié)論．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠解析：（1）相似；（2）AB∥EC，理由見解析；（3）3．【分析】（1）結(jié)論：相似．先判斷出△BAC∽△DAE，即可得出結(jié)論．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明∠ABC＝40°，∠ECB＝40°，推出∠ABC＝∠ECB即可．（3）如圖3中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．利用圓周角定理證明∠BCE＝∠BPE＝40°，推出AB∥CE，因?yàn)辄c(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動，所以當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值＝AB＝3．【詳解】解：（1）如圖①中，∵△ABC與△ACE為等腰三角形，且兩頂角∠ABC＝∠ADE，∴BA＝BC，DA＝DE，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴＝，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．故答案為：相似．（2）如圖2中，結(jié)論：AB∥EC．理由：∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分線段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案為50，AB∥EC．（2）如圖3中，以P為圓心，PB為半徑作⊙P．∵AD垂直平分線段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．如圖4中，作AH⊥CE于H，∵點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動，點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)A重合時，AE的值最小，此時AE的最小值＝AB＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的相似，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到問題答案，關(guān)鍵是要利用圓的基本性質(zhì)求解最值問題．19．（