圖形變換與數(shù)字化顯示

圖形變換與數(shù)字化顯示

1維圖形顯示科學(xué)可視化、計(jì)算機(jī)建模和虛擬現(xiàn)實(shí)是計(jì)算機(jī)繪圖和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的三大熱點(diǎn)。這些技術(shù)的核心是三維圖形表示。三維圖形顯示的基礎(chǔ)是圖形變換,它是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。圖形變換是將幾何對(duì)象的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到屏幕上所需要進(jìn)行的一系列坐標(biāo)變換,包括幾何變換、投影變換、裁減變換和視口變換。2圖形轉(zhuǎn)換的基本概念2.1圖形變換pcr計(jì)算機(jī)本身只能處理數(shù)字,圖形在計(jì)算機(jī)內(nèi)也是以數(shù)字的形式進(jìn)行加工和處理的。而坐標(biāo)建立了圖形和數(shù)字之間的聯(lián)系。為了使被顯示的物體數(shù)字化,要在被顯示的物體所在的空間中定義一個(gè)坐標(biāo)系。這個(gè)坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位和坐標(biāo)軸的方向要適合對(duì)被顯示物體進(jìn)行描述,這個(gè)坐標(biāo)系稱為世界坐標(biāo)系。它是三維直角坐標(biāo)系,遵循右手法則。計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)字化的顯示物體作了加工處理后,要在圖形顯示器上顯示,這就要在圖形顯示器屏幕上定義一個(gè)二維直角坐標(biāo)系,這個(gè)坐標(biāo)系稱為屏幕坐標(biāo)系。這個(gè)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的方向通常取成平行于屏幕的邊緣,坐標(biāo)原點(diǎn)取在左下角,長(zhǎng)度單位常取成一個(gè)像素的長(zhǎng)度。計(jì)算機(jī)顯示的內(nèi)容由觀察者的位置(稱為視點(diǎn))和視線方向確定。先將實(shí)際地面從世界坐標(biāo)系O-XYZ變換到以視點(diǎn)為中心的坐標(biāo)系—視點(diǎn)坐標(biāo)系Oe-XeYeZe,然后再將其投影到顯示屏上,這一系列變換就是圖形變換。它是平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和投影等變換的組合。圖形變換可具體分為四個(gè)步驟:幾何變換、投影變換、裁減變換和視口變換。幾何變換——即平移、旋轉(zhuǎn)和比例變換。投影變換——把三維物體變?yōu)槎S圖形表示的過程。根據(jù)投影類型可分正射投影和透視投影。裁減變換——包括三維視景體裁減和附加平面裁減。視景體裁減已包含在投影變換里,除了視景體定義的六個(gè)裁減平面(左、右、上、下、遠(yuǎn)和近),用戶還可以定義一個(gè)或多個(gè)附加裁減平面,使得用戶可以刪除場(chǎng)景中多余的形體。視口變換——將經(jīng)過以上變換的物體顯示在屏幕窗口的制定區(qū)域內(nèi),即將視圖體最后的投影面映射到屏幕窗口的過程。2.2投影結(jié)構(gòu)的分類投影變換是在世界坐標(biāo)系中建立的,而計(jì)算機(jī)屏幕所顯示的圖形是在給定視點(diǎn)和視線方向下的二維屏幕投影。所以投影變換是整個(gè)圖形變換的關(guān)鍵。根據(jù)投影中心與投影平面之間距離的不同,投影可分為透視投影和正射投影。透視投影類似于人對(duì)客觀世界的觀察方式,它的特點(diǎn)是距離視點(diǎn)近的物體比較大,而距離遠(yuǎn)的物體相對(duì)比較小,這種投影方式的視景空間可以被認(rèn)為是一個(gè)棱臺(tái)。它廣泛應(yīng)用于三維地形模擬、飛行穿越仿真、步行穿越仿真等模擬人眼視覺效果的研究領(lǐng)域。正射投影是物體直接映射到屏幕上。正射投影實(shí)質(zhì)上是透視投影的一種特例,即視點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)或視點(diǎn)由一個(gè)點(diǎn)變?yōu)橐粋€(gè)面。它適用于某地的頂視效果圖、地形暈渲圖或需要觀察模型某一個(gè)側(cè)面不帶有形變的景觀等。3矩陣轉(zhuǎn)換用于反映投影中的矩陣3.1透視投影公式透視投影的視線(投影線)是從視點(diǎn)(觀察點(diǎn))出發(fā),視線是不平行的。透視投影按主滅點(diǎn)個(gè)數(shù)分為一點(diǎn)透視、二點(diǎn)透視和三點(diǎn)透視,任何一束不平行于投影平面的透視投影將匯聚成一點(diǎn),稱之為滅點(diǎn),在坐標(biāo)軸上的滅點(diǎn)稱為主滅點(diǎn)。三維圖形顯示采用的投影一般為一點(diǎn)透視投影,在簡(jiǎn)單一點(diǎn)透視投影變換中,由于投影平面取成坐標(biāo)系中的一個(gè)坐標(biāo)平面,因此用一個(gè)坐標(biāo)系即可表示透視投影變換,如圖2。透視投影的視點(diǎn)(投影中心)為Pc(xc,yc,zc),投影平面為XOY平面,形體上一點(diǎn)P(x,y,z)的投影為(xs,ys),現(xiàn)推導(dǎo)求(xs,ys)的變換公式。由PcP可得到投影線參數(shù)方程(t為參數(shù)):xs=xc+(x-xc)tys=yc+(y-yc)tzs=zc+(z-zc)t(1)xs=xc+(x?xc)tys=yc+(y?yc)tzs=zc+(z?zc)t(1)在透視投影中往往要求物體不動(dòng),讓視點(diǎn)在以形體為中心的球面上變化來觀察形體各個(gè)方向上的形象,解決的辦法是引入一個(gè)過渡坐標(biāo)系,即視點(diǎn)坐標(biāo)系。視點(diǎn)坐標(biāo)系是左手三維直角坐標(biāo)系,與一般物體所在的世界坐標(biāo)系不同,是以人眼為坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸遵循左手法則,即左手大拇指指向Z軸的正方向,與之垂直的4個(gè)手指指向X軸的正方向,四指彎曲成90°的方向是Y軸的正方向。如圖3所示,在視點(diǎn)坐標(biāo)系下,利用簡(jiǎn)單一點(diǎn)透視投影公式,(xc,yc,zc)為(0,0,0),世界坐標(biāo)系下的點(diǎn)(xw,yw,zw)為(xe,ye,ze),即得到形體上的一點(diǎn)(xe,ye,ze)在視平面(投影平面)上的投影(xs,ys)。這樣公式(1)在視點(diǎn)坐標(biāo)系下簡(jiǎn)化為公式(2)?，F(xiàn)將(x,y,z)約束到視平面上,則zs=z,t=zs/zezs為視平面在觀察方面上離視點(diǎn)的距離,所以在觀察坐標(biāo)系下一點(diǎn)透視的變換化式為:xs=xezs/zeys=yezs/zezs=zs(3)xs=xezs/zeys=yezs/zezs=zs(3)3.2矩陣中的具體投影參數(shù)的導(dǎo)出引入了過渡坐標(biāo)系后,透視投影變換可看作是兩個(gè)基本變換,即世界坐標(biāo)系到視點(diǎn)坐標(biāo)系的變換和視點(diǎn)坐標(biāo)系到屏幕坐標(biāo)系的變換。3.2.1建立0.2左、左1.以下討論如何將世界坐標(biāo)系下的點(diǎn)坐標(biāo)(xw,yw,zw)變換為視點(diǎn)坐標(biāo)系下的點(diǎn)坐標(biāo)(xe,ye,ze)。變換矩陣有如下五步(參考圖4):(1)將世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到視點(diǎn),設(shè)視點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b,c)。平移變換的變換矩陣為:(2)令平移后的新坐標(biāo)軸繞X′軸旋轉(zhuǎn)90°,則形體上的點(diǎn)是順轉(zhuǎn)90°。旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣為:(3)將新坐標(biāo)系繞y′順時(shí)針轉(zhuǎn)θ角,此時(shí)θ角大于180°,形體頂點(diǎn)逆轉(zhuǎn)θ角。cosθ=-b√a2+b2,sinθ=a√a2+b2cosθ=?ba2+b2√,sinθ=aa2+b2√令v=√a2+b2v=a2+b2??????√,則:Τ3=[-bv0av00100-av0-bv00001](6)T3=????????bv0?av00100av0?bv00001???????(6)(4)再令新坐標(biāo)系繞x′順時(shí)針轉(zhuǎn)φ角,形體頂點(diǎn)逆轉(zhuǎn)φ,則:cosφ=v/u,sinφ=c/u,u=√a2+b2+c2?Τ4=[10000vucu00-cuvu00001](7)cosφ=v/u,sinφ=c/u,u=a2+b2+c2??????????√?T4=??????10000vu?cu00cuvu00001??????(7)(5)右手坐標(biāo)系變成左手坐標(biāo)系,Z軸反向。Τ5=[1000010000-100001](8)T5=??????1000010000?100001??????(8)于是變換矩陣:Μ=Τ1Τ2Τ3Τ4Τ5=[-bv-acuv-au0av-bcuv-bu00vu-bu000u1](9)3.2.2視平面上的坐標(biāo)系在引入視點(diǎn)坐標(biāo)系后,設(shè)視點(diǎn)(a,b,c),視平面在觀察方向上離視點(diǎn)的距離為zs,設(shè)u=√a2+b2+c2?v=√a2+b2,形體的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(xw,yw,zw),變換到視點(diǎn)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(xe,ye,ze),經(jīng)透視投影到視平面上的坐標(biāo)為(xs,ys),則從視點(diǎn)坐標(biāo)系到屏幕坐標(biāo)系的變換可用一個(gè)透視變換矩陣M來表示:[xe,ye,ze,1]=[xw,yw,zw,1]Μ式中,Μ=[-bv-acuv-au0av-bcuv-bu00vu-bu000u1]xe=-bvxw+avywye=-acuvxw-bcuvyw+vuzwze=-auxw-buyw-cuzw+u則由前面公式(3)可得視平面上的坐標(biāo)為(xs,ys)。xs=xezs/zeys=yezs/ze(10)4變換矩陣的形式投影變換是圖形變換的關(guān)鍵內(nèi)容,是聯(lián)系三維空間物體與二維屏幕圖形的橋梁。在三維圖形顯示中,一般采用透視投