2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)熱點專題突破專題八閱讀理解

專題八閱讀理解隨著“中國學(xué)生核心素養(yǎng)”的提出,各個學(xué)科都越來越重視學(xué)生文化底蘊、創(chuàng)新能力的培養(yǎng),數(shù)學(xué)學(xué)科也不例外.而閱讀理解就是發(fā)展文化底蘊的一個重要途徑,同時思維創(chuàng)新又是以閱讀理解為前提的.很多人狹義地認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是計算、證明,其實解決數(shù)學(xué)問題一定是以通過閱讀對問題準(zhǔn)確理解為前提.正所謂“讀題三遍,題意自見”.只有認(rèn)真閱讀,才能真正理解題意,否則就不可能準(zhǔn)確地解答問題,更談不上培養(yǎng)創(chuàng)新能力.2017年第16題(“盈不足術(shù)”問題)、第19題(合情推理問題),2018年第16題(數(shù)學(xué)文化問題),2019年第19題(“古代筒車”問題)等都是很好的例證.這里有個教訓(xùn)告訴大家,2017年第19題得分率很低(合肥市區(qū)考生得分率僅為0.482),這反映出我們平時在這方面的教習(xí)存在很大問題,必須引起足夠的重視.目錄類型1古典數(shù)學(xué)文化之閱讀理解(10年3考)類型2運算創(chuàng)新之閱讀理解(10年1考)類型3圖形創(chuàng)新之閱讀理解(10年1考)類型4規(guī)律創(chuàng)新之閱讀理解(10年2考)類型5函數(shù)創(chuàng)新之閱讀理解(10年1考)典例精析類型1古典數(shù)學(xué)文化之閱讀理解典例1《九章算術(shù)》中有這樣一道題,原文:今有甲、乙二人持錢不知其數(shù),甲得乙半而錢五十,乙得甲太半而錢亦五十.問甲、乙持錢各幾何?譯文:今有甲、乙二人,不知其錢包里有多少錢,若乙把其一半的錢給甲,則甲的錢數(shù)為50;若甲把其23的錢給乙,則乙的錢數(shù)也能為50,問甲、乙各有多少錢請解答上述問題.【解析】設(shè)甲的錢數(shù)為x,乙的錢數(shù)為y.根據(jù)題意可得甲的錢+乙的錢的一半=50,乙的錢+甲的錢的23=50,據(jù)此可列方程組,并求解【答案】設(shè)甲的錢數(shù)為x,乙的錢數(shù)為y.由題意得x答:甲的錢數(shù)為752,乙的錢數(shù)為25這類試題大多取材于我國古代數(shù)學(xué)典籍和古算題,所用知識多是列方程(組)解應(yīng)用題,主要目的是傳承中國經(jīng)典數(shù)學(xué)文化,體現(xiàn)文化自信.解決的策略是古文、現(xiàn)代文對照閱讀,正確理解題意后再解答.這樣的試題安徽中考連續(xù)考查了三年(2017,2018,2019),應(yīng)引起我們高度重視.命題拓展考向數(shù)學(xué)經(jīng)典中的一元二次方程問題

1.我國數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”名題,原文如下:今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問水深,葭長各幾何?譯文:有一正方形池塘,邊長為1丈.有一棵蘆葦生在它的正中央,高出水面部分有1尺長.把蘆葦拉向岸邊,恰好碰到岸沿.問水深和蘆葦長各多少?(注:尺和丈是我國古代的長度單位,1丈=10尺)請解答上述問題.【答案】設(shè)水深為x尺,則蘆葦長(x+1)尺.由題得(x+1)2=x2+52,解得x=12,∴x+1=13.答:水深為12尺,蘆葦長為13尺.類型2運算創(chuàng)新之閱讀理解典例2對于任意有理數(shù)a,b,定義一種運算a※b=b－2a,例如,3※5=5－2×3=－1.根據(jù)上述定義,不等式(3x－4)※1>3的最大整數(shù)解是.

【解析】根據(jù)題意,得1－2(3x－4)>3,解得x<1,則不等式(3x－4)※1>3的最大整數(shù)解是0.【答案】0類型3圖形創(chuàng)新之閱讀理解典例3(2013·安徽第23題)我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”.如圖1,四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”,其中∠B=∠C.(1)在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中,選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形;(畫出一種示意圖即可)(2)如圖2,在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中,∠B=∠C,E為邊BC上一點.若AB∥DE,AE∥DC,求證:ABDC(3)在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中,∠BAD與∠ADC的平分線交于點E,若EB=EC,請問當(dāng)點E在四邊形ABCD內(nèi)部時(即圖3所示情形),四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”,為什么?若點E不在四邊形ABCD內(nèi)部時,情況又將如何?寫出你的結(jié)論.(不必說明理由)【解析】先正確理解“準(zhǔn)等腰梯形”這個新圖形的含義,其實就是有兩個角相等的四邊形,接著轉(zhuǎn)化為一般的幾何考題.(1)根據(jù)∠B=∠C和“準(zhǔn)等腰梯形”的定義即可畫出符合要求的圖形;(2)證明三角形相似,即可得出對應(yīng)邊的比例關(guān)系;(3)根據(jù)對所給概念的理解,綜合運用角平分線、等腰三角形和全等三角形的知識來證明.【答案】(1)如圖所示(畫出其中一種即可).(2)∵AE∥DC,∴∠AEB=∠C.∵AB∥DE,∴∠B=∠DEC,∴△ABE∽△DEC,∴AEDC∵∠B=∠C,∴△ABE為等腰三角形,AB=AE,∴ABDC(3)過點E分別作EF⊥AB,EG⊥AD,EH⊥CD,垂足分別為F,G,H,如圖4.∵AE平分∠BAD,∴EF=EG.∵ED平分∠ADC,∴EG=EH,∴EF=EH.∵EB=EC,∴Rt△BFE≌Rt△CHE,∴∠3=∠4.∵BE=EC,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠DCB.∵四邊形ABCD為AD截某三角形所得,且AD不平行于BC,∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”.當(dāng)點E不在四邊形ABCD內(nèi)部時,四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”.提示:有兩種情況:(ⅰ)如圖5,當(dāng)點E在四邊形ABCD的邊BC上時,同理可證,Rt△EFB≌Rt△EHC,∴∠B=∠C,∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”.(ⅱ)如圖6,當(dāng)點E在四邊形ABCD的外部時,同理可證,Rt△EFB≌Rt△EHC,∴∠EBF=∠ECH,∵BE=CE,∴∠3=∠4,∴∠EBF－∠3=∠ECH－∠4,即∠1=∠2,∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”.正確理解新圖形的本質(zhì)特征是解這類題目的關(guān)鍵,如本題的所謂“準(zhǔn)等腰梯形”即為有兩個角相等的四邊形,當(dāng)然,正確理解是建立在認(rèn)真耐心閱讀的基礎(chǔ)上.類型4規(guī)律創(chuàng)新之閱讀理解典例4(2017·安徽第19題)【閱讀理解】我們知道,1+2+3+…+n=n(n+1)2,那么12+22+32+…+在圖1所示的三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即12;第2行兩個圓圈中數(shù)的和為2+2,即22;……;第n行n個圓圈中數(shù)的和為n+n+…+nn個n,即n2.這樣,該三角形數(shù)陣中共有n(n+1)2個圓圈,【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣,觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n－1行的第一個圓圈中的數(shù)分別為n－1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為.由此可得,這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(12+22+32+…+n2)=.因此,12+22+32+…+n2=.

【解決問題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),計算12+22【解析】【規(guī)律探究】由題意知,每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為n－1+2+n=2n+1,由此可得,這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(12+22+32+…+n2)=(2n+1)×(1+2+3+…+n)=(2n+1)×n(n+1)216×2017×(2017+1)【答案】【規(guī)律探究】2n+1;n(【解決問題】1345.提醒三點:(1)耐心閱讀才能正確理解;(2)數(shù)形結(jié)合閱讀并理解;(3)閱讀時應(yīng)用心思考,總結(jié)規(guī)律.類型5函數(shù)創(chuàng)新之閱讀理解這種類型最主要的是對新定義(如針對訓(xùn)練中第12題的“同系二次函數(shù)”)的理解,同時注意分類討論,其他方面都是常規(guī)考查二次函數(shù)的頂點、表達式及增減性等問題.針對訓(xùn)練1.1261年,我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用下圖中的三角形解釋二項和的乘法規(guī)律,比歐洲的相同發(fā)現(xiàn)要早三百多年,我們把這個三角形稱為“楊輝三角”.請觀察圖中的數(shù)字排列規(guī)律,則a,b,c的值分別為(B)A.a=1,b=6,c=15 B.a=6,b=15,c=20C.a=15,b=20,c=15 D.a=20,b=15,c=6【解析】觀察“楊輝三角”中的數(shù)字規(guī)律,容易發(fā)現(xiàn)三角形上的3個數(shù)的規(guī)律.2.(2020·上海)如果存在一條線把一個圖形分割成兩個部分,使其中一個部分沿某個方向平移后能與另一個部分重合,那么我們把這個圖形叫做平移重合圖形.下列圖形中,平移重合圖形是(A)A.平行四邊形 B.等腰梯形C.正六邊形 D.圓【解析】如圖,在?ABCD中,取BC,AD的中點E,F,連接EF.∵四邊形ABEF向右平移可以與四邊形EFCD重合,∴?ABCD是平移重合圖形.3.算籌是古代用來進行計算的工具,它是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式(如圖).當(dāng)表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯計數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間:個位、百位、萬位數(shù)用縱式表示;十位,千位,十萬位數(shù)用橫式表示;“0”用空位來代替,以此類推.例如3306用算籌表示就是,則2022用算籌可表示為(C)【解析】根據(jù)題意,2022的個位數(shù)“2”用縱式表示,十位數(shù)“2”用橫式表示,百位數(shù)“0”用空位代替,千位數(shù)“2”用橫式表示.4.在平面直角坐標(biāo)系中,對于點P(x,y),我們把點P(－y+1,x+1)叫做點P的伴隨點.已知點A1的伴隨點為A2,點A2的伴隨點為A3,…,這樣依次得到點A1,A2,A3,A4,….若點A1的坐標(biāo)為(3,1),則點A2023的坐標(biāo)為(B)A.(0,4) B.(－3,1)C.(0,－2) D.(3,1)【解析】∵A1的坐標(biāo)為(3,1),∴點A2(0,4),A3(－3,1),A4(0,－2),A5(3,1),…,依此類推,每4個點為一個循環(huán).∵2023÷4=505……3,∴點A2023與A3的坐標(biāo)相同,即為(－3,1).5.一組“數(shù)值轉(zhuǎn)換機”按下面的程序計算,如果輸入的數(shù)是36,則輸出的結(jié)果為106,要使輸出的結(jié)果為127,則輸入的最小正整數(shù)是15.

【解析】設(shè)輸出結(jié)果為y.根據(jù)題意得y=3x－2.令y=127,得x=43;令y=43,得x=15;令y=15,得x=173,不符合條件,故輸入的最小正整數(shù)是156.定義a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,則(x－1)※x的結(jié)果為x2－1.

【解析】根據(jù)題意得(x－1)※x=(x－1)(x+1)=x2－1.7.在平面直角坐標(biāo)系中,我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.已知A(0,4),B是x軸正半軸上的整點,記△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點個數(shù)為m.當(dāng)m=3時,點B的橫坐標(biāo)的所有可能值是3或4;當(dāng)點B的橫坐標(biāo)為4n(n為正整數(shù))時,m=6n－3.(用含n的代數(shù)式表示)

【解析】當(dāng)點B的橫坐標(biāo)為3或4時,△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點個數(shù)為3:(1,1),(1,2),(2,1).當(dāng)點B的橫坐標(biāo)為4n時,△AOB為長為4n,寬為4的矩形的一半,該矩形內(nèi)部橫向有3行,縱向有(4n－1)列,AB為對角線,與3條橫線有3個相交的整點,故△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點個數(shù)是m=3(4n-1)-32=6n8.(2021·合肥五十中模擬)等腰三角形腰長與底邊長的差的絕對值稱為該三角形的“邊長正度值”.若等腰三角形腰長為5,“邊長正度值”為3,那么這個等腰三角形底角的余弦值等于

15或4【解析】設(shè)等腰三角形的底邊長為a.由題意,得|5－a|=3,解得a=2或a=8.當(dāng)a=2時,底角的余弦值是15;當(dāng)a=8時,底角的余弦值是49.《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著,在數(shù)學(xué)上有其獨到的成就,不僅最早提到了分?jǐn)?shù)問題,也首先記錄了“盈不足”等問題.如有一道闡述“盈不足”的問題,原文如下:今有共買雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六.問人數(shù)、雞價各幾何?譯文為:現(xiàn)有若干人合伙出錢買雞,如果每人出9文錢,就會多11文錢;如果每人出6文錢,又會缺16文錢.問買雞的人數(shù)、雞的價格各是多少?請解答上述問題.解:設(shè)合伙買雞者有x人,雞價為y文錢.由題意得y=9x答:合伙買雞的有9人,雞價為70文錢.10.周老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中,設(shè)計了如下數(shù)表:n2345…a22－132－142－152－1…b46810…c22+132+142+152+1…(1)請你分別觀察a,b,c與n之間的關(guān)系,并用含自然數(shù)n(n>1)的代數(shù)式表示:a=n2－1,b=2n,c=n2+1.

(2)猜想:以a,b,c為邊長的三角形是否是直角三角形?證明你的猜想.(3)顯然,滿足這樣關(guān)系的整數(shù)a,b,c我們把它叫做勾股數(shù),請再寫一組這樣的數(shù)a=35,b=12,c=37(答案不唯一).(不同于表格中已出現(xiàn)的數(shù)組)

解:(2)以a,b,c為邊長的三角形是直角三角形.理由如下:∵a2+b2=(n2－1)2+4n2=n4+2n2+1,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,∴a2+b2=c2,∴以a,b,c為邊的三角形是直角三角形.11.(2020·浙江寧波節(jié)選)定義:三角形一個內(nèi)角的平分線與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角.(1)如圖1,∠E是△ABC中∠A的遙望角,若∠A=α,請用含α的代數(shù)式表示∠E;(2)如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AD=BD,四邊形ABCD的外角平分線DF交☉O于點F,連接BF并延長交CD的延長線于點E.求證:∠BEC是△ABC中∠BAC解:(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=12∠ABC,∠ECD=12∠∴∠E=∠ECD－∠EBD=12(∠ACD－∠ABC)=12∠A=1(2)延長BC到點T.∵四邊形FBCD內(nèi)接于☉O,∴∠FDC+∠FBC=180°.∵∠FDE+∠FDC=180°,∴∠FDE=∠FBC.∵DF平分∠ADE,∴∠ADF=∠FDE.∵∠ADF=∠ABF,∴∠ABF=∠FBC,∴BE是∠ABC的平分線.∵AD=BD,∴∠ACD=∠∵∠BFD+∠BCD=180°,∠DCT+∠BCD=180°,∴∠DCT=∠BFD,∴∠ACD=∠DCT,∴CE是∠ACT的平分線,∴