2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)熱點(diǎn)專(zhuān)題突破專(zhuān)題八閱讀理解

專(zhuān)題八閱讀理解隨著“中國(guó)學(xué)生核心素養(yǎng)”的提出,各個(gè)學(xué)科都越來(lái)越重視學(xué)生文化底蘊(yùn)、創(chuàng)新能力的培養(yǎng),數(shù)學(xué)學(xué)科也不例外.而閱讀理解就是發(fā)展文化底蘊(yùn)的一個(gè)重要途徑,同時(shí)思維創(chuàng)新又是以閱讀理解為前提的.很多人狹義地認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是計(jì)算、證明,其實(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題一定是以通過(guò)閱讀對(duì)問(wèn)題準(zhǔn)確理解為前提.正所謂“讀題三遍,題意自見(jiàn)”.只有認(rèn)真閱讀,才能真正理解題意,否則就不可能準(zhǔn)確地解答問(wèn)題,更談不上培養(yǎng)創(chuàng)新能力.2017年第16題(“盈不足術(shù)”問(wèn)題)、第19題(合情推理問(wèn)題),2018年第16題(數(shù)學(xué)文化問(wèn)題),2019年第19題(“古代筒車(chē)”問(wèn)題)等都是很好的例證.這里有個(gè)教訓(xùn)告訴大家,2017年第19題得分率很低(合肥市區(qū)考生得分率僅為0.482),這反映出我們平時(shí)在這方面的教習(xí)存在很大問(wèn)題,必須引起足夠的重視.目錄類(lèi)型1古典數(shù)學(xué)文化之閱讀理解(10年3考)類(lèi)型2運(yùn)算創(chuàng)新之閱讀理解(10年1考)類(lèi)型3圖形創(chuàng)新之閱讀理解(10年1考)類(lèi)型4規(guī)律創(chuàng)新之閱讀理解(10年2考)類(lèi)型5函數(shù)創(chuàng)新之閱讀理解(10年1考)典例精析類(lèi)型1古典數(shù)學(xué)文化之閱讀理解典例1《九章算術(shù)》中有這樣一道題,原文:今有甲、乙二人持錢(qián)不知其數(shù),甲得乙半而錢(qián)五十,乙得甲太半而錢(qián)亦五十.問(wèn)甲、乙持錢(qián)各幾何?譯文:今有甲、乙二人,不知其錢(qián)包里有多少錢(qián),若乙把其一半的錢(qián)給甲,則甲的錢(qián)數(shù)為50;若甲把其23的錢(qián)給乙,則乙的錢(qián)數(shù)也能為50,問(wèn)甲、乙各有多少錢(qián)請(qǐng)解答上述問(wèn)題.【解析】設(shè)甲的錢(qián)數(shù)為x,乙的錢(qián)數(shù)為y.根據(jù)題意可得甲的錢(qián)+乙的錢(qián)的一半=50,乙的錢(qián)+甲的錢(qián)的23=50,據(jù)此可列方程組,并求解【答案】設(shè)甲的錢(qián)數(shù)為x,乙的錢(qián)數(shù)為y.由題意得x答:甲的錢(qián)數(shù)為752,乙的錢(qián)數(shù)為25這類(lèi)試題大多取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍和古算題,所用知識(shí)多是列方程(組)解應(yīng)用題,主要目的是傳承中國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)文化,體現(xiàn)文化自信.解決的策略是古文、現(xiàn)代文對(duì)照閱讀,正確理解題意后再解答.這樣的試題安徽中考連續(xù)考查了三年(2017,2018,2019),應(yīng)引起我們高度重視.命題拓展考向數(shù)學(xué)經(jīng)典中的一元二次方程問(wèn)題

1.我國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”名題,原文如下:今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問(wèn)水深,葭長(zhǎng)各幾何?譯文:有一正方形池塘,邊長(zhǎng)為1丈.有一棵蘆葦生在它的正中央,高出水面部分有1尺長(zhǎng).把蘆葦拉向岸邊,恰好碰到岸沿.問(wèn)水深和蘆葦長(zhǎng)各多少?(注:尺和丈是我國(guó)古代的長(zhǎng)度單位,1丈=10尺)請(qǐng)解答上述問(wèn)題.【答案】設(shè)水深為x尺,則蘆葦長(zhǎng)(x+1)尺.由題得(x+1)2=x2+52,解得x=12,∴x+1=13.答:水深為12尺,蘆葦長(zhǎng)為13尺.類(lèi)型2運(yùn)算創(chuàng)新之閱讀理解典例2對(duì)于任意有理數(shù)a,b,定義一種運(yùn)算a※b=b－2a,例如,3※5=5－2×3=－1.根據(jù)上述定義,不等式(3x－4)※1>3的最大整數(shù)解是.

【解析】根據(jù)題意,得1－2(3x－4)>3,解得x<1,則不等式(3x－4)※1>3的最大整數(shù)解是0.【答案】0類(lèi)型3圖形創(chuàng)新之閱讀理解典例3(2013·安徽第23題)我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形兩腰所得的四邊形稱(chēng)為“準(zhǔn)等腰梯形”.如圖1,四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”,其中∠B=∠C.(1)在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中,選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形;(畫(huà)出一種示意圖即可)(2)如圖2,在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中,∠B=∠C,E為邊BC上一點(diǎn).若AB∥DE,AE∥DC,求證:ABDC(3)在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中,∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E,若EB=EC,請(qǐng)問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)(即圖3所示情形),四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”,為什么?若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí),情況又將如何?寫(xiě)出你的結(jié)論.(不必說(shuō)明理由)【解析】先正確理解“準(zhǔn)等腰梯形”這個(gè)新圖形的含義,其實(shí)就是有兩個(gè)角相等的四邊形,接著轉(zhuǎn)化為一般的幾何考題.(1)根據(jù)∠B=∠C和“準(zhǔn)等腰梯形”的定義即可畫(huà)出符合要求的圖形;(2)證明三角形相似,即可得出對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系;(3)根據(jù)對(duì)所給概念的理解,綜合運(yùn)用角平分線、等腰三角形和全等三角形的知識(shí)來(lái)證明.【答案】(1)如圖所示(畫(huà)出其中一種即可).(2)∵AE∥DC,∴∠AEB=∠C.∵AB∥DE,∴∠B=∠DEC,∴△ABE∽△DEC,∴AEDC∵∠B=∠C,∴△ABE為等腰三角形,AB=AE,∴ABDC(3)過(guò)點(diǎn)E分別作EF⊥AB,EG⊥AD,EH⊥CD,垂足分別為F,G,H,如圖4.∵AE平分∠BAD,∴EF=EG.∵ED平分∠ADC,∴EG=EH,∴EF=EH.∵EB=EC,∴Rt△BFE≌Rt△CHE,∴∠3=∠4.∵BE=EC,∴∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠DCB.∵四邊形ABCD為AD截某三角形所得,且AD不平行于BC,∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”.當(dāng)點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí),四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”.提示:有兩種情況:(ⅰ)如圖5,當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的邊BC上時(shí),同理可證,Rt△EFB≌Rt△EHC,∴∠B=∠C,∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”.(ⅱ)如圖6,當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的外部時(shí),同理可證,Rt△EFB≌Rt△EHC,∴∠EBF=∠ECH,∵BE=CE,∴∠3=∠4,∴∠EBF－∠3=∠ECH－∠4,即∠1=∠2,∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”.正確理解新圖形的本質(zhì)特征是解這類(lèi)題目的關(guān)鍵,如本題的所謂“準(zhǔn)等腰梯形”即為有兩個(gè)角相等的四邊形,當(dāng)然,正確理解是建立在認(rèn)真耐心閱讀的基礎(chǔ)上.類(lèi)型4規(guī)律創(chuàng)新之閱讀理解典例4(2017·安徽第19題)【閱讀理解】我們知道,1+2+3+…+n=n(n+1)2,那么12+22+32+…+在圖1所示的三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即12;第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2,即22;……;第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為n+n+…+nn個(gè)n,即n2.這樣,該三角形數(shù)陣中共有n(n+1)2個(gè)圓圈,【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣,觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n－1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n－1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為.由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(12+22+32+…+n2)=.因此,12+22+32+…+n2=.

【解決問(wèn)題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),計(jì)算12+22【解析】【規(guī)律探究】由題意知,每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為n－1+2+n=2n+1,由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(12+22+32+…+n2)=(2n+1)×(1+2+3+…+n)=(2n+1)×n(n+1)216×2017×(2017+1)【答案】【規(guī)律探究】2n+1;n(【解決問(wèn)題】1345.提醒三點(diǎn):(1)耐心閱讀才能正確理解;(2)數(shù)形結(jié)合閱讀并理解;(3)閱讀時(shí)應(yīng)用心思考,總結(jié)規(guī)律.類(lèi)型5函數(shù)創(chuàng)新之閱讀理解這種類(lèi)型最主要的是對(duì)新定義(如針對(duì)訓(xùn)練中第12題的“同系二次函數(shù)”)的理解,同時(shí)注意分類(lèi)討論,其他方面都是常規(guī)考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)、表達(dá)式及增減性等問(wèn)題.針對(duì)訓(xùn)練1.1261年,我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用下圖中的三角形解釋二項(xiàng)和的乘法規(guī)律,比歐洲的相同發(fā)現(xiàn)要早三百多年,我們把這個(gè)三角形稱(chēng)為“楊輝三角”.請(qǐng)觀察圖中的數(shù)字排列規(guī)律,則a,b,c的值分別為(B)A.a=1,b=6,c=15 B.a=6,b=15,c=20C.a=15,b=20,c=15 D.a=20,b=15,c=6【解析】觀察“楊輝三角”中的數(shù)字規(guī)律,容易發(fā)現(xiàn)三角形上的3個(gè)數(shù)的規(guī)律.2.(2020·上海)如果存在一條線把一個(gè)圖形分割成兩個(gè)部分,使其中一個(gè)部分沿某個(gè)方向平移后能與另一個(gè)部分重合,那么我們把這個(gè)圖形叫做平移重合圖形.下列圖形中,平移重合圖形是(A)A.平行四邊形 B.等腰梯形C.正六邊形 D.圓【解析】如圖,在?ABCD中,取BC,AD的中點(diǎn)E,F,連接EF.∵四邊形ABEF向右平移可以與四邊形EFCD重合,∴?ABCD是平移重合圖形.3.算籌是古代用來(lái)進(jìn)行計(jì)算的工具,它是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式(如圖).當(dāng)表示一個(gè)多位數(shù)時(shí),像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣,把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間:個(gè)位、百位、萬(wàn)位數(shù)用縱式表示;十位,千位,十萬(wàn)位數(shù)用橫式表示;“0”用空位來(lái)代替,以此類(lèi)推.例如3306用算籌表示就是,則2022用算籌可表示為(C)【解析】根據(jù)題意,2022的個(gè)位數(shù)“2”用縱式表示,十位數(shù)“2”用橫式表示,百位數(shù)“0”用空位代替,千位數(shù)“2”用橫式表示.4.在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn)P(x,y),我們把點(diǎn)P(－y+1,x+1)叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn).已知點(diǎn)A1的伴隨點(diǎn)為A2,點(diǎn)A2的伴隨點(diǎn)為A3,…,這樣依次得到點(diǎn)A1,A2,A3,A4,….若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(3,1),則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為(B)A.(0,4) B.(－3,1)C.(0,－2) D.(3,1)【解析】∵A1的坐標(biāo)為(3,1),∴點(diǎn)A2(0,4),A3(－3,1),A4(0,－2),A5(3,1),…,依此類(lèi)推,每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán).∵2023÷4=505……3,∴點(diǎn)A2023與A3的坐標(biāo)相同,即為(－3,1).5.一組“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”按下面的程序計(jì)算,如果輸入的數(shù)是36,則輸出的結(jié)果為106,要使輸出的結(jié)果為127,則輸入的最小正整數(shù)是15.

【解析】設(shè)輸出結(jié)果為y.根據(jù)題意得y=3x－2.令y=127,得x=43;令y=43,得x=15;令y=15,得x=173,不符合條件,故輸入的最小正整數(shù)是156.定義a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,則(x－1)※x的結(jié)果為x2－1.

【解析】根據(jù)題意得(x－1)※x=(x－1)(x+1)=x2－1.7.在平面直角坐標(biāo)系中,我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).已知A(0,4),B是x軸正半軸上的整點(diǎn),記△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為m.當(dāng)m=3時(shí),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是3或4;當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n(n為正整數(shù))時(shí),m=6n－3.(用含n的代數(shù)式表示)

【解析】當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3或4時(shí),△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為3:(1,1),(1,2),(2,1).當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n時(shí),△AOB為長(zhǎng)為4n,寬為4的矩形的一半,該矩形內(nèi)部橫向有3行,縱向有(4n－1)列,AB為對(duì)角線,與3條橫線有3個(gè)相交的整點(diǎn),故△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是m=3(4n-1)-32=6n8.(2021·合肥五十中模擬)等腰三角形腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的差的絕對(duì)值稱(chēng)為該三角形的“邊長(zhǎng)正度值”.若等腰三角形腰長(zhǎng)為5,“邊長(zhǎng)正度值”為3,那么這個(gè)等腰三角形底角的余弦值等于

15或4【解析】設(shè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為a.由題意,得|5－a|=3,解得a=2或a=8.當(dāng)a=2時(shí),底角的余弦值是15;當(dāng)a=8時(shí),底角的余弦值是49.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)專(zhuān)著,在數(shù)學(xué)上有其獨(dú)到的成就,不僅最早提到了分?jǐn)?shù)問(wèn)題,也首先記錄了“盈不足”等問(wèn)題.如有一道闡述“盈不足”的問(wèn)題,原文如下:今有共買(mǎi)雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六.問(wèn)人數(shù)、雞價(jià)各幾何?譯文為:現(xiàn)有若干人合伙出錢(qián)買(mǎi)雞,如果每人出9文錢(qián),就會(huì)多11文錢(qián);如果每人出6文錢(qián),又會(huì)缺16文錢(qián).問(wèn)買(mǎi)雞的人數(shù)、雞的價(jià)格各是多少?請(qǐng)解答上述問(wèn)題.解:設(shè)合伙買(mǎi)雞者有x人,雞價(jià)為y文錢(qián).由題意得y=9x答:合伙買(mǎi)雞的有9人,雞價(jià)為70文錢(qián).10.周老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中,設(shè)計(jì)了如下數(shù)表:n2345…a22－132－142－152－1…b46810…c22+132+142+152+1…(1)請(qǐng)你分別觀察a,b,c與n之間的關(guān)系,并用含自然數(shù)n(n>1)的代數(shù)式表示:a=n2－1,b=2n,c=n2+1.

(2)猜想:以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是否是直角三角形?證明你的猜想.(3)顯然,滿足這樣關(guān)系的整數(shù)a,b,c我們把它叫做勾股數(shù),請(qǐng)?jiān)賹?xiě)一組這樣的數(shù)a=35,b=12,c=37(答案不唯一).(不同于表格中已出現(xiàn)的數(shù)組)

解:(2)以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.理由如下:∵a2+b2=(n2－1)2+4n2=n4+2n2+1,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,∴a2+b2=c2,∴以a,b,c為邊的三角形是直角三角形.11.(2020·浙江寧波節(jié)選)定義:三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱(chēng)為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.(1)如圖1,∠E是△ABC中∠A的遙望角,若∠A=α,請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠E;(2)如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AD=BD,四邊形ABCD的外角平分線DF交☉O于點(diǎn)F,連接BF并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:∠BEC是△ABC中∠BAC解:(1)∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=12∠ABC,∠ECD=12∠∴∠E=∠ECD－∠EBD=12(∠ACD－∠ABC)=12∠A=1(2)延長(zhǎng)BC到點(diǎn)T.∵四邊形FBCD內(nèi)接于☉O,∴∠FDC+∠FBC=180°.∵∠FDE+∠FDC=180°,∴∠FDE=∠FBC.∵DF平分∠ADE,∴∠ADF=∠FDE.∵∠ADF=∠ABF,∴∠ABF=∠FBC,∴BE是∠ABC的平分線.∵AD=BD,∴∠ACD=∠∵∠BFD+∠BCD=180°,∠DCT+∠BCD=180°,∴∠DCT=∠BFD,∴∠ACD=∠DCT,∴CE是∠ACT的平分線,∴