工程流體力學第2章流體靜力學

第二章流體靜力學本章任務(wù)：研究流體處于靜止或相對靜止狀態(tài)下流體內(nèi)部的壓力分布規(guī)律及其應(yīng)用。內(nèi)容包括：一、作用在流體上的力二、流體平衡微分方程三、流體靜力學基本關(guān)系式四、液柱式測壓計五、液體的相對平衡六、靜止流體對壁面的作用力質(zhì)量力(F)（也叫體積力）：與流體質(zhì)量大小有關(guān)并且作用在流體內(nèi)部每一個流體質(zhì)點上的力稱為質(zhì)量力。如：重力、慣性力、電磁力等等。其中，fx、fy、fz為單位質(zhì)量流體受到的質(zhì)量力在x、y、z方向的分量。

單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力（f）：一、作用在流體上的力

1、作用在流體上的力：包括質(zhì)量力和表面力2

Ozyx

dA表面力（接觸力、面積力）:作用在流體中所取某部分流體體積表面上的力

在靜止流體中，切應(yīng)力τ≡0壓強一、作用在流體上的力（續(xù)）

表面力分解：應(yīng)力：單位面積上的表面力a）法向力（與流體表面相垂直）b）切向力（與流體表面相切）a）法向應(yīng)力b）切向應(yīng)力切應(yīng)力（內(nèi)摩擦力/面積）32流體靜壓強特點一：流體靜壓強引起的作用力總是垂直于作用面，且指向該作用面的內(nèi)法線方向。（用反正法來證明）一、作用在流體上的力（續(xù)）

定義：流體處于靜止或相對靜止時的流體壓強流體靜壓強的兩個特性：特點二：在流體內(nèi)部任意點處的流體靜壓強在各方向相等。即靜壓強為標量。ABFFnFτF’流體靜壓力的方向4xyoabG由于流體處于靜止，建立受力平衡方程取面微元、受力如圖一、作用在流體上的力（續(xù)）

證明：（二維）忽略高階小量5yxCzPzPxPyPnBAOdydzdx三維微元體證明：（三維）一、作用在流體上的力（續(xù)）

由于流體處于靜止，建立受力平衡方程取面微元體、受力如圖忽略高階小量同理：6二、流體平衡微分方程1、流體平衡微分方程式在靜止流體中任取一平行六面體的流體微團，邊長為dx，dy，dz，中心點靜壓強為p(x,y,z)z(鉛垂方向)dxdzdyfxfzfyy1/2dxxoabc平行六面體的流體微團

x方向受力分析

質(zhì)量力——

表面力——

只有靜壓強

泰勒級數(shù)7在垂直于x軸的左、右兩個平面中心點上的靜壓強分別為略去二階以上無窮小量后，分別等于二、流體平衡微分方程（續(xù)）1、流體平衡微分方程式（續(xù)）8垂直于x軸的左、右兩微元面上的總壓力分別為

因為流體平衡二、流體平衡微分方程（續(xù)）1、流體平衡微分方程式（續(xù)）z(鉛垂方向)dxdzdyfxfzfyy1/2dxxoabc平行六面體的流體微團9將質(zhì)量力和表面力代入上式，則

整理上式，并把各項都除以ρdxdydz，則得二、流體平衡微分方程（續(xù)）1、流體平衡微分方程式（續(xù)）10

同理得

寫成矢量形式流體平衡微分方程式歐拉平衡方程式（1755）二、流體平衡微分方程（續(xù)）1、流體平衡微分方程式（續(xù)）11

物理意義

在靜止流體中，單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力與表面力相平衡。

靜止或相對靜止狀態(tài)的可壓縮和不可壓縮流體。

適用范圍它是流體靜力學最基本的方程組，流體靜力學的其它計算公式都是從此方程組推導出來的。二、流體平衡微分方程（續(xù)）1、流體平衡微分方程式（續(xù)）12三式相加，整理乘以dx乘以dy乘以dz二、流體平衡微分方程（續(xù)）2、質(zhì)量力勢函數(shù)13所以

流體靜壓強是空間坐標的連續(xù)函數(shù)，它的全微分為壓強差公式在靜止流體中，空間點的坐標增量為dx、dy、dz時，相應(yīng)的流體靜壓強增加dp，壓強的增量取決于質(zhì)量力。二、流體平衡微分方程（續(xù)）2、質(zhì)量力勢函數(shù)（續(xù)）14二、流體平衡微分方程（續(xù)）2、質(zhì)量力勢函數(shù)（續(xù)）

均質(zhì)不可壓ρ=const

上式右邊成為某一個函數(shù)全微分的充要條件是

15對y求導對x求導例：相減二、流體平衡微分方程（續(xù)）2、質(zhì)量力勢函數(shù)（續(xù)）16

理論力學中，上式是fx、fy、fz

具有力的勢函數(shù)的充分必要條件

力的勢函數(shù)與單位質(zhì)量力的關(guān)系二、流體平衡微分方程（續(xù)）2、質(zhì)量力勢函數(shù)（續(xù)）有勢函數(shù)存在的力稱為有勢的力17

代入壓強差公式，得二、流體平衡微分方程（續(xù)）2、質(zhì)量力勢函數(shù)（續(xù)）

流體平衡條件：

只有在有勢的質(zhì)量力作用下，不可壓縮均質(zhì)流體才能處于平衡狀態(tài)，這就是流體平衡的條件。18

定義在流體中，壓強相等的各點所組成的面稱為等壓面

幾點說明對不同的等壓面，其常數(shù)值是不同的流體中任意一點只能有一個等壓面通過。等壓面可以用p(x,y,z)＝常數(shù)來表示。dp=0二、流體平衡微分方程（續(xù)）3、等壓面19

舉例說明

液體與氣體的分界面，即液體的自由液面就是等壓面，其上各點的壓強等于在分界面上各點氣體的壓強。

互不摻混的兩種液體的分界面也是等壓面。等壓面等壓面油水二、流體平衡微分方程（續(xù)）3、等壓面（續(xù)）20等壓面微分方程式

在等壓面上各處的壓強都一樣，即dp=0

由壓差公式

矢量形式平衡流體的等壓面微分方程二、流體平衡微分方程（續(xù)）3、等壓面（續(xù)）

物理含義:單位質(zhì)量流體中的質(zhì)量力沿等壓面移動微小距離所做的功等于021說明：等壓面也是等勢面dp=0二、流體平衡微分方程（續(xù)）3、等壓面（續(xù)）f

數(shù)學含義:等壓面與質(zhì)量力互相垂直22練習題：下圖所示那個斷面是等壓面？自由液面兩種流體互不摻混的分界面二、流體平衡微分方程（續(xù)）23在一盛有靜止液體的容器上建立坐標系，xoy為水平面，z軸垂直向上1、重力場中的流體靜力學基本方程式三、流體靜力學基本方程式均質(zhì)、不可壓流體靜力學基本方程24物理意義※流體靜力學基本公式：重力場作用下靜止不可壓均質(zhì)流體中單位重量流體所具有的總勢能不變—靜止流體中的能量守恒定理。單位重量流體的位勢能（位置能頭）單位重量流體的壓強勢能（壓強能頭）之和為總勢能對圖中a點和b點列靜力學方程或1、重力場中的流體靜力學基本方程式（續(xù)）三、流體靜力學基本方程式（續(xù)）25幾何意義※均質(zhì)不可壓縮的重力流體處于平衡狀態(tài)時，靜水頭線平行于基準平面位置水頭壓強水頭之和為靜水頭1、重力場中的流體靜力學基本方程式（續(xù)）三、流體靜力學基本方程式（續(xù)）A-A靜水頭線

A′－A′靜水頭線26

2、帕斯卡原理Pascal原理：液體可以將液面壓強等值地傳遞到液體各處結(jié)論：1）靜止、均質(zhì)、不可壓的重力流體，靜壓強與液面下的淹沒深度h按線性規(guī)律變化三、流體靜力學基本方程式（續(xù)）2）位于同一深度的各點的靜壓強相等，即任一水平面都是等壓面3）任一點的靜壓強由兩部分組成，一部分是自由液面上的壓強，另一部分是該點到自由液面的單位面積上的液柱重量基準面封閉容器p0

zH1zhx273、可壓縮流體中壓強的變化等溫過程（11000m-25000m）,氣體的密度重力場中單位質(zhì)量力分量為代入壓差公式,得積分當時得,積分常數(shù)代入上式得或者三、流體靜力學基本方程式（續(xù)）去掉對數(shù)符號28從海平面到11000m的空間,為標準大氣的對流層,該層內(nèi)溫度隨高度的變化規(guī)律為將重力場中單位質(zhì)量力分量及溫度表達式,代入壓強差公式積分得去掉對數(shù)得海平面上代入得3、可壓縮流體中壓強的變化（續(xù)）三、流體靜力學基本方程式（續(xù)）29

4、絕對壓強和相對壓強三、流體靜力學基本方程式（續(xù)）絕對壓強：以完全真空為基準計量的壓強相對壓強：以當?shù)卮髿鈮簭姙榛鶞视嬃康膲簭娬婵眨寒敱粶y流體的絕對壓強低于大氣壓強時，測得的計示壓強為負值，稱為真空?；鶞拭娉谌萜鱬a

zH1zhx30

絕對壓強、相對壓強和真空之間的關(guān)系

4、絕對壓強和相對壓強（續(xù)）三、流體靜力學基本方程式（續(xù)）真空度pv=pa-p絕對壓強相對壓強pg=p-pa絕對壓強311Kg/cm2=9.8104N/m2Kg/cm21公斤力壓強工程大氣壓法1mmHg=13.6mmH2O=133.3PammHg毫米汞柱液柱高度法1mH2O=9.8103PamH2O

米水柱液柱高度法1Pa=1N/m2

Pa

帕應(yīng)力單位法單位換算關(guān)系單位符號單位名稱

壓強度量：三、流體靜力學基本方程式（續(xù)）32四、液柱式測壓計大氣壓pah1Mh2ρ1paρ2A12U型管

單管壓力計

U形管壓力計

微壓計

大氣壓力計單管壓力計大氣壓力計原理水銀h331、U型液壓計

測點壓強大于大氣壓四、液柱式測壓計h1Mh2ρ1paρ2A12U型管pM說明：若，即被測介質(zhì)為氣體，U型管內(nèi)工作介質(zhì)為液體時，可以忽略氣體介質(zhì)自重引起的壓強。那么：等壓面341、U型液壓計（續(xù)）測點壓強小于大氣壓四、液柱式測壓計（續(xù)）說明：若，h1Mh2ρ1paρ2A12U型管pM等壓面關(guān)鍵：找到正確的等壓面；自一側(cè)開始，每次在同種流體里利用水平等壓面向另一側(cè)推進。35

U型管串聯(lián)1、U型液壓計（續(xù)）四、液柱式測壓計（續(xù)）絕對壓強相對壓強36可見：θ減小，K增加，l加長，讀數(shù)誤差下降。2、傾斜式微壓計四、液柱式測壓計（續(xù)）pa0ph1h2θalA110絕對壓強相對壓強37四、液柱式測壓計（續(xù)）【例2-1】

判斷1-1，2-2，3-3，4-4四個水平面，哪個是等壓面重力場中同種液體連通的靜止液體中38解活塞重量使其底面產(chǎn)生的壓強為列等壓面方程四、液柱式測壓計（續(xù)）【例2-2】如圖2-13所示測量裝置，活塞直徑d=35㎜，油的相對密度S油=0.92，水銀的相對密度SHg=13.6，活塞與缸壁無泄漏和摩擦。當活塞重為15Ｎ時，h=700㎜，試計算Ｕ形管測壓計的液面高差Δh值。圖2-1339【例2-3】如圖所示，已知求AB兩點的壓強差？四、液柱式測壓計（續(xù)）1）找等壓面2）在等壓面上列靜壓強公式求解步驟：40解將上式逐個代入下一個式子整理后得A,B兩點的壓強差四、液柱式測壓計（續(xù)）圖中1-1,2-2和3-3均為等壓面41【例2-4】某壓差計如圖所示，已知hA=hB=1m

，Δh=0.5m。求：pA-pB

。（學生做）四、液柱式測壓計（續(xù)）112233解１－１面為等壓面由于水銀柱和水柱之間為空氣，密度可忽略不計，則p2=p3，得42將已知數(shù)代入公式，得

四、液柱式測壓計（續(xù)）43zax五、液體的相對平衡1、等加速度水平直線運動2、等加速度旋轉(zhuǎn)44

由于處于相對平衡的流體中τ＝0，仍滿足流體平衡微分方程及壓力差公式：五、液體的相對平衡1、等加速度水平直線運動在小車上建立坐標系，z軸垂直向上，x軸沿小車的運動方向zaxo45等壓面和x軸的夾角：

等壓面為一簇傾斜平面，斜率-a/g五、液體的相對平衡（續(xù)）1、等加速度水平直線運動（續(xù)）等壓面方程：自由液面：或46得當五、液體的相對平衡（續(xù)）1、等加速度水平直線運動（續(xù)）靜壓強：Aaxzhzsp0z47壓強分布等壓面相對靜止：絕對靜止：絕對靜止：相對靜止：水平面斜面絕對靜止與相對靜止的比較axzhzszhggaf五、液體的相對平衡（續(xù)）48

五、液體的相對平衡2、等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡質(zhì)量力：等壓面方程：等壓面為一簇拋物面49

五、液體的相對平衡（續(xù)）2、等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡（續(xù)）自由液面：或靜壓強：當或50xzH02RhHzb2RrΔh0R’測轉(zhuǎn)速關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)前后液體體積保持不變五、液體的相對平衡（續(xù)）51zRB

p0(b)

o【例2-5】一繞自己中心軸線以ω等角速度旋轉(zhuǎn)的容器內(nèi)充滿了水。a)如容器頂蓋的中心開一小孔通大氣，試確定頂蓋上的壓力分布。b）若容器頂蓋的中心孔開在邊緣處，頂蓋上的壓力分布？zRB

p0(a)

o五、液體的相對平衡（續(xù)）52美國海狼級：最大潛深1200米

俄羅斯鯊魚級：最大600米

俄羅斯奧斯卡級：潛深500米

明級：潛深300米

基洛級:潛深最大300米，工作深度240米

“R”級常規(guī)動力潛艇（033型）:潛深300米

國內(nèi)潛艇的下潛深度國外潛艇的下潛深度六、靜止流體作用在壁面上的力531、靜止流體作用在傾斜平面上的壓力六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）總壓力大?。篽cychyxαyxp0CdAMN靜止流體中的傾斜平板形心平板面積對于x軸的面積矩說明：在靜止液體中，作用在傾斜平面上的合力，等于作用在該平面幾何中心點處的靜壓強與該平面面積的乘積。說明：1、作用在平面上的液體總壓力，相當于以平面面積為底，以平面形心淹深為高的液柱重量。

2、力的大小與平板的傾斜角度無關(guān)。1、靜止流體作用在傾斜平面上的壓力（續(xù)）六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）55方向：與平板和靜止流體的相對位置有關(guān)，流體的作用力總是擠壓被作用面。作用點：總壓力的作用線與平面的交點hcychyxαyxp0CdAMNhdDyD1、靜止流體作用在傾斜平面上的壓力（續(xù)）六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）由合力矩定理總壓力對ox軸的力矩等于各微元總壓力對ox軸的力矩的代數(shù)和

561、靜止流體作用在傾斜平面上的壓力（續(xù)）六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）平面A對于x軸的慣性矩慣性矩平行軸定理57說明：壓力中心的位置與傾角無關(guān)，且壓力中心總是在形心下方，隨著淹沒深度的增加，壓力中心逐漸趨近于形心。恒為正說明：由于大氣壓在大多數(shù)工程問題中的總作用效果為0，因此在計算靜止流體對物體的力時常常不計大氣壓強的影響，而用相對壓強進行計算1、靜止流體作用在傾斜平面上的壓力（續(xù)）六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）58clb矩形圓型cR常見幾何形狀的慣性矩（表2－2）P51cxcyc?圓六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）59解:對于閘門左側(cè)根據(jù)公式[例2-6-1]如圖所示，一矩形閘門寬度為b兩側(cè)均受到密度為r的液體的作用，兩側(cè)液體深度分別為h1、h2。試求作用在閘門上的液體總壓力和壓力中心。六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）60同理對于閘門的右側(cè)兩側(cè)壓力的合力為合力F的方向向右,設(shè)合力F的作用點距左邊液面的距離為yD,根據(jù)合力矩定理,對o點取距,則有六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）61[例2-6-2]如圖所示，水池壁面設(shè)一圓形放水閘門，當閘門關(guān)閉時，求作用在圓形閘門上靜水總壓力和作用點的位置。已知閘門直徑d=0.5m，距離a=1.0m，閘門與自由水面間的傾斜角六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）Fhc62閘門形心點在水下的深度解：

故作用在閘門上的靜水總壓力（1）總壓力大小六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）Fhc63設(shè)總壓力的作用點離水面的傾斜角距離為yD

，則由yD與yc關(guān)系式得

（2）總壓力作用點六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）64[例2—6-3]水深h=0.4m的直立壁上裝有d=0.6m的圓形短管，短管內(nèi)口為450的斜蓋板。假設(shè)蓋板可繞著上面的鉸鏈旋轉(zhuǎn)，如不計蓋板的重量和鉸鏈的摩擦力，求升起此蓋板在圖示位置和方向所需的力T。六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）解：蓋板呈橢圓形，其軸為蓋板上的總壓力橢圓面積yofxF65六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）壓心位置壓心到鉸鏈的距離升力升力對鉸鏈的力矩66六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）[例2-6-4]設(shè)矩形閘門的寬為b=6米，長l=10米，鉸鏈到低水面的距離為4米。按圖式方式打開該閘門，求所需要的力

R。h2=17myDLFLABh1=20m

=60°鉸鏈Ry水水FRyDR

C

h=4myCLyCRFf67解:對于閘門左側(cè)六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）對于閘門右側(cè)合力矩定理合力作用線通過形心68六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）h2=17myDLFLABh1=20m

=60°鉸鏈Ry水水FRyDR

C

h=4myCLyCRFf鉸鏈力矩平衡方程69

F1F2F3h1h2水油AB600Cy[例2-6-5]門AB的傾斜角為600，如圖示。已知油和水的深度分別為h1=1m，h2=2m，油的密度為r1=800Kg/m3。求單位寬度的門受到的流體作用的合力及其作用位置。六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）70

2、靜止流體作用在曲面上的力（續(xù)）六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）大小作用在圓柱體曲面上的總壓力水平分力大小:θABdFxdFZxzdsdFA’hAxB’71

水平力的作用點計算與平板相同

水平力的方向2、靜止流體作用在曲面上的力（續(xù)）六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）結(jié)論：曲面受到的水平分力大小等于該曲面在鉛垂面上的投影面積（平板）受到的力。說明：如果曲面外側(cè)受大氣壓強作用，則曲面器壁上的水平壓分力722、靜止流體作用在曲面上的力（續(xù)）六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）垂直分力大小:θABdFxdFZxzdsdFhAzCDzoxADCBVph如果曲面外側(cè)受大氣壓強作用73

2、靜止流體作用在曲面上的力（續(xù)）六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）

垂直分力的作用線通過Vp的重心

垂直分力的方向合力的大小:θABdFxdFZxzdsdFhAzCD合力的方向角:或或74作用點：總壓力的作用線與曲面的交點?？倝毫Φ淖饔镁€是一條通過水平力作用線和垂直力作用線的交點、且斜率為Fz

/Fx的直線合力的作用點2、靜止流體作用在曲面上的力（續(xù)）六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）1)確定水平分力的作用線；4)將F的作用線延長至受壓面，其交點D為合力的作用點。3)根據(jù)Fx、Fz作用線交點及合力方向求合力作用線；2)確定鉛垂分力的作用線；zbaxF

DM'FxFz75壓力體:由曲面、自由液面和兩個鉛垂面所包圍的體積Vp2、靜止流體作用在曲面上的力（續(xù)）六、靜止流體作用在壁面上的力（續(xù)）zoxADCBVph

壓力體的虛實性實壓力體虛壓力體根據(jù)壓力體是否有液體把壓力體分為實壓力體和虛壓力體兩種。ABCVpACBVp76復雜曲面的壓力體，可以采用分