九年級(jí)中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題壓軸題專題訓(xùn)練(含答案)

九年級(jí)中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題壓軸題專題訓(xùn)練1.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0，0)，A(3，3eq\r(3))，B(9，5eq\r(3))，C(14，0)．動(dòng)點(diǎn)P與Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P沿OC方向以1單位長度/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線OA－AB－BC運(yùn)動(dòng)，在OA，AB，BC上運(yùn)動(dòng)的速度分別為3，eq\r(3)，eq\f(5,2)(單位長度/秒)．當(dāng)P，Q中的一點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．(1)求AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△CPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式及S的最大值．(3)在P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，若線段PQ的垂直平分線經(jīng)過四邊形OABC的頂點(diǎn)，求相應(yīng)的t值．圖1圖2

2.如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)N，過A點(diǎn)的直線l:y=kx+n與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線y=-x2+bx+c的另一個(gè)交點(diǎn)為D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P點(diǎn)為拋物線y=-x2+bx+c上一動(dòng)點(diǎn)(不與A，D重合).(1)求拋物線和直線l的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上方的拋物線上時(shí)，過P點(diǎn)作PE∥x軸交直線l于點(diǎn)E，作PF∥y軸交直線l于點(diǎn)F，求PE+PF的最大值;(3)設(shè)M為直線l上的點(diǎn)，探究是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)N，C，M，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－2,－4)、O(0,0)、B(2,0)三點(diǎn)．（1）求拋物線y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM＋OM的最小值．4.設(shè)直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點(diǎn)H的直角線．（1）已知直線①；②；③；④和點(diǎn)C(0，2)，則直線_______和_______是點(diǎn)C的直角線（填序號(hào)即可）；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點(diǎn)，設(shè)過B、P兩點(diǎn)的直線為l1，過A、P兩點(diǎn)的直線為l2，若l1與l2是點(diǎn)P的直角線，求直線l1與l2的解析式．5.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2-2ax-8a與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0，-4).(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，線段AC的長為，拋物線的解析式為.

(2)點(diǎn)P是線段BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).如果在x軸上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).①

6.如圖，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．7.如圖，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，，，．以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)．（1）求x的取值范圍；（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面積？8.如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(0,1)、B(4,3)兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，在對(duì)稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．9.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)y＝k(x2＋x－1)的圖象交于點(diǎn)A(1,k)和點(diǎn)B(－1,－k)．（1）當(dāng)k＝－2時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值．10.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝3，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為(8，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M為線段BC上方拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BC上的一點(diǎn)，若MN∥y軸，求MN的最大值；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．11.如圖，直線y＝2x＋6與反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞0)的圖象交于點(diǎn)A(m，8)，與x軸交于點(diǎn)B，平行于x軸的直線y＝n(0＜n＜6)交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，連接BM.(1)求m的值和反比例函數(shù)的解析式；(2)觀察圖象，直接寫出當(dāng)x＞0時(shí)不等式2x＋6－eq\f(k,x)＞0的解集；(3)直線y＝n沿y軸方向平移，當(dāng)n為何值時(shí)，△BMN的面積最大？最大值是多少？12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y＝ax2＋bx（a＞0）經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）連結(jié)OM，求∠AOM的大??；（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．13.在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD＝5，OE＝2EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F．求直線DE的解析式；（3）點(diǎn)M是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點(diǎn)N，使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．14.如圖，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l//y軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．15.如圖，二次函數(shù)y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖像與x軸分別交于A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0,－3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖像上，CD//AB，聯(lián)結(jié)AD．過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．16.如圖，二次函數(shù)y=-x2+4x+5的圖象的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸是直線l，一次函數(shù)y=25x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，且與直線DA關(guān)于l的對(duì)稱直線交于點(diǎn)(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)是.

(2)直線l與直線AB交于點(diǎn)C，N是線段DC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)D，C重合)，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為n.過點(diǎn)N作直線與線段DA，DB分別交于點(diǎn)P，Q，使得△DPQ與△DAB相似.①當(dāng)n=275時(shí)，求DP②若對(duì)于每一個(gè)確定的n的值，有且只有一個(gè)△DPQ與△DAB相似，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍.

17.已知直線y＝3x－3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線y＝ax2＋2x＋c經(jīng)過點(diǎn)A，B．（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）記該拋物線的對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C，若點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為P，其對(duì)稱軸與直線y＝3x－3交于點(diǎn)E，若，求四邊形BDEP的面積．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋8的圖象與一次函數(shù)y＝－x＋b的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為－7.點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上A、B兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作x軸的垂線交AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D.(1)求b及sin∠ACP的值；(2)用含m的代數(shù)式表示線段PD的長；(3)連接PB，線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m值，使這兩個(gè)三角形的面積之比為1∶2？如果存在，直接寫出m的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．19.如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過點(diǎn)E(4,0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．20.已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A(－1,0)、B(4,0)，拋物線y＝ax2＋bx－2（a≠0）過點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P(m,n)（n＜0）為拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)∠APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍；（3）若m＞，當(dāng)∠APB為直角時(shí)，將該拋物線向左或向右平移t（0＜t＜）個(gè)單位，點(diǎn)C、P平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為C′、P′，是否存在t，使得順次首尾連接A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長最短？若存在，求t的值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請(qǐng)說明理由．2021中考數(shù)學(xué)壓軸專題訓(xùn)練之動(dòng)點(diǎn)問題-答案一、解答題（本大題共20道小題）1.【答案】【思維教練】(1)設(shè)一次函數(shù)解析式，將已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)值代入求解即可；(2)S△CPQ＝eq\f(1,2)·CP·Qy，CP＝14－t，點(diǎn)Q在AB上，Qy即為當(dāng)x＝t時(shí)的y值，代入化簡得出S與t的函數(shù)關(guān)系式，化為頂點(diǎn)式得出最值；(3)垂直平分線過頂點(diǎn)需以時(shí)間為臨界點(diǎn)分情況討論，當(dāng)Q在OA上時(shí)，過點(diǎn)C；當(dāng)Q在AB上時(shí)，過點(diǎn)A；當(dāng)Q在BC上時(shí)，過點(diǎn)C和點(diǎn)B，再列方程并求解．解圖1解：(1)把A(3，3eq\r(3))，B(9，5eq\r(3))代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝3\r(3)，,9k＋b＝5\r(3)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(3),3)，,b＝2\r(3)))，∴y＝eq\f(\r(3),3)x＋2eq\r(3)；(3分)(2)在△PQC中，PC＝14－t，∵OA＝eq\r(32＋（3\r(3)）2)＝6且Q在OA上速度為3單位長度/s，AB＝eq\r(62＋（2\r(3)）2)＝4eq\r(3)且Q點(diǎn)在AB上的速度為eq\r(3)單位長度/s，

∴Q在OA上時(shí)的橫坐標(biāo)為t，Q在AB上時(shí)的橫坐標(biāo)為eq\f(3,2)t，PC邊上的高線長為eq\f(\r(3),3)t＋2eq\r(3).(6分)所以S＝eq\f(1,2)(14－t)(eq\f(\r(3),2)t＋2eq\r(3))＝－eq\f(\r(3),4)t2＋eq\f(5\r(3),2)t＋14eq\r(3)(2≤t≤6)．當(dāng)t＝5時(shí)，S有最大值為eq\f(81\r(3),4).(7分)解圖2(3)①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，線段PQ的中垂線經(jīng)過點(diǎn)C(如解圖1)．可得方程(eq\f(3\r(3),2)t)2＋(14－eq\f(3,2)t)2＝(14－t)2.解得t1＝eq\f(7,4)，t2＝0(舍去)，此時(shí)t＝eq\f(7,4).(8分)解圖3②當(dāng)2＜t≤6時(shí)，線段PQ的中垂線經(jīng)過點(diǎn)A(如解圖2)．可得方程(3eq\r(3))2＋(t－3)2＝[eq\r(3)(t－2)]2.解得t1＝eq\f(3＋\r(57),2)，∵t2＝eq\f(3－\r(57),2)(舍去)，此時(shí)t＝eq\f(3＋\r(57),2).③當(dāng)6＜t≤10時(shí)，(1)線段PQ的中垂線經(jīng)過點(diǎn)C(如解圖3)．可得方程14－t＝25－eq\f(5,2)t，解得t＝eq\f(22,3).(10分)解圖4(2)線段PQ的中垂線經(jīng)過點(diǎn)B(如解圖4)．可得方程(5eq\r(3))2＋(t－9)2＝[eq\f(5,2)(t－6)]2.解得t1＝eq\f(38＋20\r(2),7)，t2＝eq\f(38－20\r(2),7)(舍去)．此時(shí)t＝eq\f(38＋20\r(2),7).(11分)綜上所述，t的值為eq\f(7,4)，eq\f(3＋\r(57),2)，eq\f(22,3)，eq\f(38＋20\r(2),7).(12分)【難點(diǎn)突破】解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)PQ的垂直平分線過四邊形頂點(diǎn)的情況進(jìn)行分類討論，在不同階段列方程求解．2.【答案】[分析](1)將點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別代入直線表達(dá)式、拋物線的表達(dá)式，即可求解;(2)設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，用參數(shù)表示PE，PF的長，利用二次函數(shù)求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四邊形的一條邊或NC是平行四邊形的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可.解:(1)將點(diǎn)A，D的坐標(biāo)代入y=kx+n得:解得:故直線l的表達(dá)式為y=-x-1.將點(diǎn)A，D的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，得解得故拋物線的表達(dá)式為:y=-x2+3x+4.(2)∵直線l的表達(dá)式為y=-x-1，∴C(0，-1)，則直線l與x軸的夾角為45°，即∠OAC=45°，∵PE∥x軸，∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y軸，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.則PE=PF.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，-x2+3x+4)，則點(diǎn)F(x，-x-1)，∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18，∵-2<0，∴當(dāng)x=2時(shí)，PE+PF有最大值，其最大值為18.(3)由題意知N(0，4)，C(0，-1)，∴NC=5，①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時(shí)，有NC∥PM，NC=PM.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，-x2+3x+4)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，-x-1)，∴|yM-yP|=5，即|-x2+3x+4+x+1|=5，解得x=2±14或x=0或x=4(舍去x=0)，則點(diǎn)M坐標(biāo)為(2+14，-3-14)或(2-14，-3+14)或(4，-5);②當(dāng)NC是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，線段NC與PM互相平分.由題意，NC的中點(diǎn)坐標(biāo)為0，32，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，-m2+3m+4)，則點(diǎn)M(n'，-n'-1)，∴0==-m2解得:n'=0或-4(舍去n'=0)，故點(diǎn)M(-4，3).綜上所述，存在點(diǎn)M，使得以N，C，M，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為:(2+14，-3-14)，(2-14，-3+14)，(4，-5)，(-4，3).3.【答案】（1）。（2）AM＋OM的最小值為．圖2圖34.【答案】（1）直線①和③是點(diǎn)C的直角線．（2）當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．如圖2，當(dāng)OP＝6時(shí)，l1：，l2：y＝－2x＋6．如圖3，當(dāng)OP＝1時(shí)，l1：y＝3x＋1，l2：．圖2圖35.【答案】[解析](1)令y=0求得點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再由點(diǎn)C坐標(biāo)求得拋物線的解析式及線段AC的長;(2)過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P，通過分類討論確定點(diǎn)Q坐標(biāo).解:(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0);線段AC的長為25，拋物線的解析式為:y=12x2-x-4(2)過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P.∵點(diǎn)C(0，-4)，∴-4=12x2-x-4，解得x1=2，x2=0，∴P(2，-4)∴PC=2，若四邊形BCPQ為平行四邊形，則BQ=CP=2，∴OQ=OB+BQ=6，∴Q(6，0).若四邊形BPCQ為平行四邊形，則BQ=CP=2，∴OQ=OB-BQ=2，∴Q(2，0).故以點(diǎn)B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，0)，(2，0).6.【答案】（1）B的坐標(biāo)為(b,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,)．（2）如圖2，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x)．如圖3，聯(lián)結(jié)OP．所以S四邊形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為()．圖2圖3（3）由，得A(1,0)，OA＝1．①如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．當(dāng)，即時(shí)，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合題意的點(diǎn)Q為()．②如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x＝1交于點(diǎn)Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．當(dāng)時(shí)，△BQA∽△QOA．此時(shí)∠OQB＝90°．所以C、Q、B三點(diǎn)共線．因此，即．解得．此時(shí)Q(1,4)．圖4圖57.【答案】（1）在△ABC中，，，，所以解得．（2）①若AC為斜邊，則，即，此方程無實(shí)根．②若AB為斜邊，則，解得，滿足．③若BC為斜邊，則，解得，滿足．因此當(dāng)或時(shí)，△ABC是直角三角形．（3）在△ABC中，作于D，設(shè)，△ABC的面積為S，則．①如圖2，若點(diǎn)D在線段AB上，則．移項(xiàng)，得．兩邊平方，得．整理，得．兩邊平方，得．整理，得所以（）．當(dāng)時(shí)（滿足），取最大值，從而S取最大值．圖2圖3②如圖3，若點(diǎn)D在線段MA上，則．同理可得，（）．易知此時(shí)．綜合①②得，△ABC的最大面積為．考點(diǎn)伸展第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運(yùn)算：設(shè)，例如在圖2中，由列方程．整理，得．所以．因此．8.【答案】（1）將A(0,1)、B(4,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以拋物線的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以O(shè)B＝5．如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥OB，垂足為H．在Rt△AOH中，OA＝1，，所以．圖2所以，．在Rt△ABH中，．（3）直線AB的解析式為．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，那么．當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時(shí)，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因?yàn)閤＝3在對(duì)稱軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（如圖3）．圖3圖4考點(diǎn)伸展第（3）題如果改為：點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．那么求點(diǎn)M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MN＝y(tǒng)M－yN或MN＝y(tǒng)N－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如圖5）．所以符合題意的點(diǎn)M有4個(gè)：，，，．圖59.【答案】（1）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象過點(diǎn)A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是．當(dāng)k＝－2時(shí)，反比例函數(shù)的解析式是．（2）如圖1，在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k＜0．當(dāng)k＜0時(shí)，拋物線的開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大．圖1拋物線y＝k(x2＋x＋1)＝的對(duì)稱軸是直線．所以當(dāng)k＜0且時(shí)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大．（3）拋物線的頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，A、B關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱，當(dāng)OQ＝OA＝OB時(shí)，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．由OQ2＝OA2，得．解得（如圖2），（如圖3）．圖2圖3考點(diǎn)伸展如圖4，已知經(jīng)過原點(diǎn)O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當(dāng)A、C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱時(shí)，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形．因?yàn)锳、C可以無限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上，所以O(shè)A與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形．圖4圖510.【答案】(1)根據(jù)題意得，＝3，即b＝－6a，則拋物線的解析式為y＝ax2－6ax＋4，將B(8，0)代入得，0＝64a－48a＋4，解得a＝－eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,2)，∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4；(2)設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋d，由拋物線解析式可知：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，即點(diǎn)C(0，4)，將B(8，0)，C(0，4)代入得：解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2),d＝4))，∴直線BC的解析式為y＝－eq\f(1,2)x＋4，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x(0＜x＜8)，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為－eq\f(1,2)x＋4，∵點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在線段BC上，MN∥y軸，∴MN＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4－(－eq\f(1,2)x＋4)＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4＋eq\f(1,2)x－4＝－eq\f(1,4)x2＋2x＝－eq\f(1,4)(x－4)2＋4，∴當(dāng)x＝4時(shí)，MN的值最大，最大值為4；(3)存在．理由如下：令－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴A(－2，0)，又∵C(0，4)，由勾股定理得，AC＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，如解圖，過點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)D，連接AC.解圖∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝3，則CD＝3，D(3，4)．①當(dāng)AC＝CQ時(shí)，DQ＝eq\r(CQ2－CD2)＝eq\r(（2\r(5)）2－32)＝eq\r(11)，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4＋eq\r(11)，此時(shí)，點(diǎn)Q1(3，4＋eq\r(11))，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的下方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4－eq\r(11)，此時(shí)點(diǎn)Q2(3，4－eq\r(11))；②當(dāng)AQ＝CQ時(shí)，點(diǎn)Q為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，AQ＝5，CQ＝eq\r(32＋42)＝5，此時(shí)，點(diǎn)Q3(3，0)；③當(dāng)AC＝AQ時(shí)，∵AC＝2eq\r(5)，點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離為5，2eq\r(5)<5，∴不可能在對(duì)稱軸上存在Q點(diǎn)使AC＝AQ，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，4＋eq\r(11))或(3，4－eq\r(11))或(3，0)時(shí)，△ACQ為等腰三角形．11.【答案】(1)∵直線y＝2x＋6經(jīng)過點(diǎn)A(m，8)，∴2×m＋6＝8，解得m＝1，∴A(1，8)，∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A(1，8)，∴k＝8，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(8,x)；(2)不等式2x＋6－eq\f(k,x)＞0的解集為x＞1；(3)由題意，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)為M(eq\f(8,n)，n)，N(eq\f(n－6,2)，n)，∵0＜n＜6，∴eq\f(n－6,2)＜0，∴eq\f(8,n)－eq\f(n－6,2)＞0，∴S△BMN＝eq\f(1,2)|MN|×|yM|＝eq\f(1,2)×(eq\f(8,n)－eq\f(n－6,2))×n＝－eq\f(1,4)(n－3)2＋eq\f(25,4)，∴n＝3時(shí)，△BMN的面積最大，最大值為eq\f(25,4).12.【答案】（1）如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥y軸，垂足為H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝．所以A．圖2因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、B(2,0)兩點(diǎn)，設(shè)y＝ax(x－2)，代入點(diǎn)A，可得．所以拋物線的表達(dá)式為．（2）由，得拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．所以．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A、B(2,0)、M，得，，．所以∠ABO＝30°，．因此當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC與△AOM相似，存在兩種情況：①如圖3，當(dāng)時(shí)，．此時(shí)C(4,0)．②如圖4，當(dāng)時(shí)，．此時(shí)C(8,0)．圖3圖413.【答案】(1)如圖2，作BH⊥x軸，垂足為H，那么四邊形BCOH為矩形，OH＝CB＝3．如圖2在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,6)．(2)因?yàn)镺E＝2EB，所以，，E(2,4)．設(shè)直線DE的解析式為y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得解得，．所以直線DE的解析式為．(3)由，知直線DE與x軸交于點(diǎn)F(10,0)，OF＝10，DF＝．①如圖3，當(dāng)DO為菱形的對(duì)角線時(shí)，MN與DO互相垂直平分，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－5,)．②如圖4，當(dāng)DO、DN為菱形的鄰邊時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,8)．③如圖5，當(dāng)DO、DM為菱形的鄰邊時(shí)，NO＝5，延長MN交x軸于P．由△NPO∽△DOF，得，即．解得，．此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．圖3圖4考點(diǎn)伸展如果第（3）題沒有限定點(diǎn)N在x軸上方的平面內(nèi)，那么菱形還有如圖6的情形．圖5圖614.【答案】（1）解方程組得所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4)．令，得．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(7，0)．（2）①如圖2，當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如圖3，當(dāng)P在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APR的最大面積為6．因此，當(dāng)t＝2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8．圖2圖3圖4②我們先討論P(yáng)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0≤t＜4．如圖1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以O(shè)B＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如圖4，點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)的過程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x軸．因此∠AQP＝45°保持不變，∠PAQ越來越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．此時(shí)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我們?cè)賮碛懻揚(yáng)在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，4≤t＜7．在△APQ中，為定值，，．如圖5，當(dāng)AP＝AQ時(shí)，解方程，得．如圖6，當(dāng)QP＝QA時(shí)，點(diǎn)Q在PA的垂直平分線上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．如7，當(dāng)PA＝PQ時(shí)，那么．因此．解方程，得．綜上所述，t＝1或或5或時(shí)，△APQ是等腰三角形．圖5圖6圖7考點(diǎn)伸展當(dāng)P在CA上，QP＝QA時(shí)，也可以用來求解．15.【答案】（1）將C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此．（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，得A(－m,0)，B(3m,0)，F(xiàn)(m,－4)，對(duì)稱軸為直線x＝m．所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m,－3)．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,a(x＋m)(x－3m))．如圖2，過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D′、E′．由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．所以am(x－3m)＝1．結(jié)合，于是得到x＝4m．當(dāng)x＝4m時(shí)，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4m,5)．所以．圖2圖3（3）如圖3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，可知點(diǎn)E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3．那么過點(diǎn)F作AD的平行線與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，就是符合條件的點(diǎn)G．證明如下：作FF′⊥x軸于F′，那么．因此．所以線段GF、AD、AE的長圍成一個(gè)直角三角形．此時(shí)GF′＝4m．所以GO＝3m，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(－3m,0)．考點(diǎn)伸展第（3）題中的點(diǎn)G的另一種情況，就是GF為直角三角形的斜邊．此時(shí)．因此．所以．此時(shí)．16.【答案】[解析](1)直接用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可;(2)由題意可知點(diǎn)C2，95，A-52，0，點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為132，0，借助直線AD的解析式求得B(5，3);①當(dāng)n=275時(shí)，N2，275，可求DA=952，DB=35，DN=185，CD=365.當(dāng)PQ∥AB時(shí)，△DPQ∽△DAB，DP=954;當(dāng)PQ與AB不平行時(shí)，DP=352;②DB=DP時(shí)，DB=35，DN=245，所以N2，215，則有且只有一個(gè)△DPQ與△DAB相似時(shí)，95<n<21解:(1)(2，9)(2)∵對(duì)稱軸為直線x=2，∴y=25×2+1=9∴C2，95.由已知可求得A-52，0，點(diǎn)A關(guān)于直線x=2對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為132，0，則直線AD關(guān)于直線x=2對(duì)稱的直線的解析式為y=-2x+13，令-2x+13=25x+1，得x=5，25×5+1∴B(5，3).①當(dāng)n=275時(shí)，N2，275，由D(2，9)，A-52，0，B(5，3)，C2，95，可得DA=952，DB=35，DN=185，CD=36當(dāng)PQ∥AB時(shí)，△DPQ∽△DAB，∵PQ∥AB，∴△DAC∽△DPN，∴DPDA=DN∴DP=95當(dāng)PQ與AB不平行時(shí)，△DPQ∽△DBA，易得△DNP∽△DCB，∴DPDB=DN∴DP=35綜上所述，DP=954或②95<n<215[解析]當(dāng)PQ∥AB，DB=DP時(shí)，△DPN∽△∴DPDA=DNDC，即35∴DN=245∴N2，215，易知在N2，215與C2，95之間時(shí)，有且只有一個(gè)△DPQ與△DAB相似.∴有且只有一個(gè)△DPQ與△DAB相似時(shí)，95<n<21故答案為95<n<21517.【答案】（1）直線y＝3x－3與x軸的交點(diǎn)為A(1，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0,－3)．將A(1，0)、B(0,－3)分別代入y＝ax2＋2x＋c，得解得所以拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋2x－3．對(duì)稱軸為直線x＝－1，頂點(diǎn)為(－1,－4)．（2）①如圖2，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2,－3)．因?yàn)镃D//AB，設(shè)直線CD的解析式為y＝3x＋b，代入點(diǎn)C(－2,－3)，可得b＝3．所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．②過點(diǎn)P作PH⊥y軸，垂足為H，那么∠PDH＝∠DPE．由，得．而DH＝7，所以PH＝3．因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，6）．所以．圖2圖3考點(diǎn)伸展第（2）①用幾何法求點(diǎn)D的坐標(biāo)更簡便：因?yàn)镃D//AB，所以∠CDB＝∠ABO．因此．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．18.【答案】(1)∵當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋2x＋8＝0，解得∴x1＝－2，x2＝4.∵點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，∴A(－2，0)，OA＝2，∵點(diǎn)A在一次函數(shù)y＝－x＋b的圖象上，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴一次函數(shù)表達(dá)式為y＝－x－2，如解圖，設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)E，則E(0，－2)，OE＝OA＝2，∴△AOE為等腰直角三角形，∠AEO＝45°，∵PC⊥x軸交AB于點(diǎn)C，∴PC∥y軸，∴∠AEO＝∠ACP＝45°，∴sin∠ACP＝sin45°＝；(2)∵點(diǎn)P在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋8圖象上且橫坐標(biāo)為m，∴P(m，－m2＋2m＋8)，∵PC⊥x軸且點(diǎn)C在一次函數(shù)y＝－x－2的圖象上，∴C(m，－m－2)，∴PC＝－m2＋3m＋10，∵PD⊥AB于點(diǎn)D，∴在Rt△CDP中，sin∠ACP＝eq\f(PD,PC)＝，∴PD＝－m2＋m＋；(3)存在，m的值為－1或2.【解法提示】如解圖，分別過點(diǎn)D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分別為F、G.∵sin∠ACP＝，∴cos∠ACP＝，又∵∠FDP＝∠ACP，∴cos∠FDP＝，在Rt△PDF中，DF＝PD＝－m2＋m＋5，∵點(diǎn)B縱坐標(biāo)為－7，且點(diǎn)B在直線AB：y＝－x－2上，∴點(diǎn)B(5，－7)，∴BG＝5－m，∵P不與A、B兩點(diǎn)重合，∴－2<m<5，∴