數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)bsd版第三章復(fù)習(xí)課

第三章

章末復(fù)習(xí)課一、空間向量的概念及運(yùn)算空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運(yùn)算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加減法的三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)乘運(yùn)算與向量共線的判斷、數(shù)量積運(yùn)算、夾角公式、求模公式等．例1

(1)[多選題]下列命題中不正確的是(

)A．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反B．兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同C．零向量是沒(méi)有方向的D．有向線段就是向量，向量是有向線段答案：(1)ACD

解析：(1)A中，當(dāng)a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的，A不正確；B中，兩個(gè)有共同起點(diǎn)，而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同，B正確；C中，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不確定，C不正確；D中，向量可用有向線段來(lái)表示，但并不是有向線段，故D不正確．故選ACD.

二、利用空間向量證明線、面的位置關(guān)系用空間向量判斷空間中線、面位置關(guān)系的類型與方法總結(jié)：(1)線線平行：證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量．(2)線線垂直：證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的方向向量垂直．(3)線面平行：用向量證明線面平行的方法主要有：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線的方向向量是共線向量．(4)線面垂直：用向量證明線面垂直的方法主要有：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題．(5)面面平行：①證明兩個(gè)平面的法向量平行(即共線向量)；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題．(6)面面垂直：①證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直；②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問(wèn)題．

例4

長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中點(diǎn)，求：(1)M到直線PQ的距離；(2)M到平面AB1P的距離．

跟蹤訓(xùn)練4

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，BC＝2，E是PB上一點(diǎn)，且BE＝2EP，求點(diǎn)E到直線PD的距離．

五、利用空間向量解決探索性問(wèn)題(1)對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解或是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．(2)對(duì)于位置探索型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù)．角度1與線、面位置關(guān)系有關(guān)的探索性問(wèn)題例5

在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn)．(1)求證：BM∥平面PAD；(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO，因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD.因?yàn)镻O?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD，所以PO⊥CO.因?yàn)锳C＝CD，所以CO⊥AD.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，由題意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．

解析：(1)證明設(shè)A1C交AC1于點(diǎn)F，則F為A1C的中點(diǎn)，連接DF.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以在