專題01第一章 勾股定理（中等類型10大類型）（解析版）

專題01第一章勾股定理【專題過關(guān)】類型一、用勾股定理解三角形【解惑】如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)．若，則的長為（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)，求出，在中，由勾股定理列出方程即可求解．【詳解】解：由題意知：，，∵，，∴，設(shè)，在中，由勾股定理得，即，解得，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出，進(jìn)而表示出的長．【融會(huì)貫通】1．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）直角三角形兩直角邊的長度分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．10 B．4.8 C．9.6 D．5【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理先求出斜邊長，然后再根據(jù)等積法求出斜邊上的高即可．【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊的長度分別為6和8，∴斜邊長度為：，∵直角三角形的面積為：，∴斜邊上的高為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．2．（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別是和，則斜邊上的高為多少（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)斜邊上的高為，利用勾股定理可求出斜邊的長，利用面積法即可求出的值，可得答案．【詳解】∵直角三角形的兩條直角邊分別為，，斜邊長為，直角三角形的面積為，解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，直角三角形兩直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方；靈活運(yùn)用三角形的面積的兩種不同的表示方法得到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，直線，正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在直線上，點(diǎn)A到直線的距離是3，點(diǎn)C到直線的距離是6，則正方形的面積為．

【答案】45【分析】如圖，作，垂足分別為E、F，通過證明，得出，再根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，作，垂足分別為E、F，則，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)A到直線的距離是3，點(diǎn)C到直線的距離是6，∴，∴，∴正方形的面積為45；故答案為：45

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離、勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確理解題意、證明是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·黑龍江黑河·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，，，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，且，求的長．

【答案】【分析】設(shè)，則，分別在和中，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，∵∴、都為直角三角形，在中，由勾股定理可得：在中，由勾股定理可得：∵∴解得即【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在直角三角形中，兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方．5．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，，連接，，過C作，垂足為E．

(1)求證：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，得出，根據(jù)，得出，即可根據(jù)求證；（2）根據(jù)，得出，．則，根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)三角形面積公式求解即看．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴．∵在和中，∴；（2）解：由（1）知，，則，．∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；全等三角形那個(gè)對(duì)應(yīng)邊相等；直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．類型二、勾股樹（數(shù)）問題【解惑】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、5、7，則最大正方形E的面積是（

）

A．14 B．108 C．58 D．72【答案】B【分析】由勾股定理可得，直角三角形中，以斜邊為邊的正方形的面積等于分別以兩個(gè)直角邊為邊的正方形的面積的和，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，由勾股定理，得，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股樹，掌握勾股樹的特征是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．（2023春·重慶忠縣·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，設(shè)正方形A、B、C、D、E、F的邊長分別為a、b、c、d、e、f，根據(jù)勾股定理可得，，，即可得出正方形A、B、C、D的面積之和等于最大正方形G的面積，根據(jù)正方形面積公式即可得答案．【詳解】如圖，設(shè)正方形A、B、C、D、E、F的邊長分別為a、b、c、d、e、f，

∵所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，∴，，∴正方形E、F的面積和為正方形A、B、C、D面積的和，∵最大的正方形的邊長為7，∴，∴最大正方形G的面積等于正方形E、F的面積和，∴正方形A、B、C、D的面積之和等于最大正方形G的面積，∴正方形A、B、C、D的面積之和為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的幾何意義，勾股定理包含幾何與數(shù)論兩個(gè)方面，幾何方面，一個(gè)直角三角形的斜邊的平方等于另外兩邊的平方和．這里邊的平方的幾何意義就是以該邊為邊的正方形的面積．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為，則正方形的面積之和為．【答案】25【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義可直接解答．【詳解】解：如圖，由勾股定理可得：正方形的面積之和等于正方形E的面積，正方形的面積之和等于正方形F的面積，正方形的面積之和等于正方形G的面積，因此正方形的面積之和，故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個(gè)正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．3．（2023春·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面積分別足、、、，則正方形的邊長是．【答案】【分析】標(biāo)記正方形、，分別設(shè)正方形、、的邊長為、、，由勾股定理得出，，，代入計(jì)算出，即最大正方形的面積為．【詳解】解：如下圖，標(biāo)記正方形、，分別設(shè)正方形、、的邊長為、、，則由勾股定理得：，，，即最大正方形的面積為：，則最大正方形E的邊長為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·福建龍巖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為5，4，4，9，則最大的正方形G的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蔚拿娣e和即為最大正方形G的面積．【詳解】設(shè)正方形A，B，C，D，E，F(xiàn)，G的邊長分別為，正方形A，B，C，D的面積分別為，根據(jù)正方形的面積公式得：，正方形A，B的邊長正好是直角三角形的兩條直角邊，由勾股定理可得：，正方形E的面積為：，同理可得正方形F的面積為：，同理可得正方形G的面積為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能夠發(fā)現(xiàn)正方形的邊長正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形的面積和即為最大正方形面積．5．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個(gè)正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為．

【答案】2024【分析】根據(jù)勾股定理可得第一代勾股樹中所有正方形的面積為，再一次求出第二代、第三代勾股樹中所有三角形的面積，總結(jié)出一般規(guī)律，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：設(shè)第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為a和b，斜邊長為c，根據(jù)勾股定理可得：，∵,∴第一代勾股樹中所有正方形的面積為；同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為；第三代勾股樹中所有正方形的面積為；第n代勾股樹中所有正方形的面積為；∴第2023代勾股樹中所有正方形的面積為2024．故答案為：2024．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)勾股定理總結(jié)出變化的一般規(guī)律．類型三、以直角三角形向外作正方形【解惑】如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積依次為，，，，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理，分別得出同一直角三角形的兩直角邊上的兩個(gè)正方形面積和都是，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，

根據(jù)勾股定理，得，∴，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直角三角形的斜邊是公共邊．【融會(huì)貫通】1.（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為，且，則(

)

A．21 B．3 C．9 D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出，則可得出答案．【詳解】解：由勾股定理得，，則，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．2.（2022秋·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了下圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是，推而廣之即可求出“生長”2023次后形成圖形中所有正方形的面積之和．【詳解】解：設(shè)的是三條邊分別是a，b，c（斜邊）．根據(jù)勾股定理，得，即．∵“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是，“生長”3次后，所有的正方形的面積和是，…“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是．故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理在幾何圖形中的應(yīng)用，能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到新正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為、、，且，，則另一個(gè)的面積為的正方形的邊長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】利用勾股定理易得，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為、、，，，，，面積為的正方形的邊長為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解答的關(guān)鍵理解題意，并了解勾股定理的幾何意義．4．（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，分別以的三邊長，，為邊長向外作正方形，正方形中標(biāo)注的數(shù)字代表所在正方形的面積，則x所在的正方形的面積為．

【答案】14【分析】根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：，由圖可知：，∴x所在的正方形的面積為，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方．5．（2023春·新疆伊犁·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，陰影部分是兩個(gè)正方形，圖中還有兩個(gè)直角三角形和一個(gè)空白的正方形，陰影部分的總面積為，直角三角形①的斜邊為，則直角三角形①的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理得出空白正方形的面積，進(jìn)而得出其邊長，再根據(jù)勾股定理求出①的長直角邊的長度，最后根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】解：∵②為直角三角形，陰影部分是兩個(gè)正方形，∴，∴，∵①為直角三角形，，∴，∴直角三角形①的面積故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．類型四、勾股定理與折疊問題【解惑】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿折疊，使它落在斜邊上，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，最后利用勾股定理解即可．【詳解】解：中，，，，將直角邊沿折疊，使它落在斜邊上，，，設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)，可得，，在中，，，解得，等于．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．【融會(huì)貫通】1．（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長是．【答案】或/5或2【分析】當(dāng)時(shí)，先求出及的長，再在中利用勾股定理求出；當(dāng)時(shí)，作，證明出為等腰直角三角形即可求出即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，

，，，，，由折疊得，，，設(shè)，，在中，，，即；當(dāng)時(shí)，如圖，作，

，，，，，．故答案為：5或2．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用及等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·福建福州·七年級(jí)福州華倫中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，，已知D是上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A沿翻折，若A落到內(nèi)（不包括邊），則的取值范圍為．

【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求得，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，此時(shí)最短，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，此時(shí)最長，利用三角形等面積法及勾股定理即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，此時(shí)最短，如圖2，則，

，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，此時(shí)最長，如圖3，則，

作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，則，，，，，，，，，的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、勾股定理，借助輔助線，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．3.（2023春·新疆巴音郭楞·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D是一張直角三角形的紙片，兩直角邊，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的長為．

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，則，設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理，即可．【詳解】由題意得，，設(shè)，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，折疊的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的運(yùn)用，折疊的性質(zhì)．4．（2022秋·甘肅白銀·八年級(jí)校考期中）如圖，四邊形是長方形，，，將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上處，求的長．

【答案】【分析】由四邊形為長方形，得到為直角，由折疊得到，，，利用勾股定理求出的長，由求出的長，在中，設(shè)，表示出，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，即可確定出的長．【詳解】解：四邊形是長方形，，，，，，將沿折疊可得，，，，在中，，，，則由勾股定理得，即，設(shè)，則有，在中，，則由勾股定理得，即，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，解方程等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·河南南陽·八年級(jí)?？计谀┌岩婚L方形紙片按圖所示折疊，使頂點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為，若，，重疊部分的面積為多少？

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，設(shè)，根據(jù)勾股定理解，求出，再利用三角形面積公式求解．【詳解】解：四邊形是長方形，，，，，由折疊可知，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，，解得，，，即重疊部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查折疊問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，即折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．類型五、利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）【解惑】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】D【分析】根據(jù)，利用勾股定理可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖示，∴在中，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的性質(zhì)，掌握直角三角形中，三角形的三邊長，，滿足是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)A在的斜邊上，則的值為．

【答案】8【分析】根據(jù)常見的“手拉手全等模型”，結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

因?yàn)楹投际堑妊苯侨切?，，即故故答案為?【點(diǎn)睛】本題綜合考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．掌握相關(guān)幾何知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，斜邊，則．【答案】2【分析】根據(jù)勾股定理，可知兩直角邊的平方和等于斜邊平方，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵在中，斜邊∴∴故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理，發(fā)現(xiàn)題干中．3．（2019秋·廣東梅州·八年級(jí)廣東梅縣東山中學(xué)?？计谥校┰谥?，斜邊長，的值為【答案】【分析】結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵中，斜邊長，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的應(yīng)用，從而完成求解．4．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于．【答案】69【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2），＝132?102，＝69．故答案為：69．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB2．6．（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，中，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：(2)若，，，直接寫出線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）延長至使，連接，證明，從而得，，由得為中垂線，故，在中根據(jù)勾股定理即可的結(jié)論；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論可得，，在中利用勾股定理即可解決．【詳解】（1）證明：作，交延長線于，連接

，，，，，在和中，，，，，，，，，，（2）解：設(shè)，，，，則，，，，即：，由（1）知：，，，，，，，即：，解得：，即：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂線的性質(zhì)，其中倍長中線是解決問題的關(guān)鍵．類型六、趙爽弦圖【解惑】如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”，它由個(gè)全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為，小正方形面積為，若用，表示直角三角形的兩直角邊（），表示斜邊，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的面積得出，，根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而根據(jù)完全平方公式變形求得的值，即可求解．【詳解】解：∵大正方形面積為，∴，故A選項(xiàng)正確，不合題意；∴∵小正方形面積為，∴，故B選項(xiàng)正確，不合題意；∴∴，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；∴∴（負(fù)值舍去），故D選項(xiàng)正確，不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式的變形求值，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．（2023春·安徽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為625，則小正方形的邊長為（

）

A．7 B．24 C．17 D．25【答案】C【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的邊長為17．【詳解】解：由題意知小正方形的邊長是，由勾股定理得：，，，小正方形的邊長為17．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·北京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，如果圖中勾，弦，則小正方形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先根據(jù)勾股定理求出，然后利用正方形的面積公式求解即可．【詳解】∵勾，弦，∴∴小正方形的面積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關(guān)鍵在于正確找出勾股關(guān)系．3．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一副“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”），它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形無縫拼成的大正方形．若，，則的長是．

【答案】【分析】根據(jù)含角的直角三角形的三邊關(guān)系設(shè)未知數(shù)解方程即可．【詳解】在中，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了含角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023春·江西贛州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就如圖，小穎同學(xué)把圖中長和寬分別和的兩個(gè)全等矩形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”，則圖中小正方形的面積為．

【答案】【分析】由圖可知，圖中正方形的邊長為直角三角形長和寬的差，即可求解．【詳解】解：由圖可知，圖中正方形的邊長為，∴圖中小正方形的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正方形的面積．正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，成為中國古代數(shù)學(xué)成就的標(biāo)志之一，如圖，若弦圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長分別為和，則中間小正方形的對(duì)角線長為．

【答案】【分析】根據(jù)邊長求出中間小正方形的邊長，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，，連接，

根據(jù)題意可得，，∵四邊形是正方形，∴，∴在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定理的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．類型七、勾股定理構(gòu)造圖形【解惑】為預(yù)防新冠疫情，民生大院入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離米，測溫儀就會(huì)自動(dòng)測溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高為米的市民正對(duì)門緩慢走到離門0.8米的地方時(shí)（即米），測溫儀自動(dòng)顯示體溫（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，構(gòu)造，利用勾股定理求得的長度即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，

∵米，米，∴（米），在中，由勾股定理得到：（米），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段的長度．【融會(huì)貫通】1．（2023秋·廣東揭陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)有一塊長方形花圃，為了方便居民不用再走拐角，打算用瓷磚鋪上一條新路，居民走新路比走拐角近（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理求得，計(jì)算的值即可．【詳解】根據(jù)勾股定理求得，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開門去間一尺，不合二寸，向門廣幾何．”大意是說：如圖，推開兩扇門（和），門邊緣兩點(diǎn)到門檻的距離為1尺（1尺10寸）兩扇門間的縫隙為2寸，那么門的寬度（兩扇門寬度）的和為寸．

【答案】101【分析】過作于，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算求解即可．【詳解】解：過作于，

設(shè)，則，，，在中，可有，即，解得，所以門的寬度的和為101寸．故答案為：101．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題，構(gòu)建直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023春·陜西商洛·八年級(jí)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)著作，其中記載了一道有趣的題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)．問甲乙行各幾何?”其大意如下：已知甲、乙兩人同時(shí)從一地出發(fā)，甲的速度為7步/秒（步為古代長度計(jì)量單位，與現(xiàn)在的米類似），乙的速度為3步/秒．乙一直向東行走，甲向南行走10步后，偏離原方向，朝北偏東的方向直行一段后與乙相遇，問甲、乙各行走了多少步?設(shè)乙經(jīng)過秒后兩人相遇，則根據(jù)題意，可列方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出三角形ABC，用含x的代數(shù)式表示三邊長，利用勾股定理可得方程．【詳解】解：如圖，兩人同時(shí)從A地出發(fā)，甲向南行走10步后到達(dá)C地后，偏離原方向．設(shè)x秒兩人在B處相遇，這時(shí)乙行駛，甲共行駛，

∵，∴，∵，由勾股定理得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形，利用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）暑假中，小明到某海島探寶，如圖，他到達(dá)海島登陸點(diǎn)后先往東走8，又往北走2，遇到障礙后又往西走3，再折向北走6處往東一拐，僅1就找到寶藏，問登陸點(diǎn)到埋寶藏點(diǎn)的直線距離是多少？

【答案】登陸點(diǎn)到寶藏處的距離為10千米【分析】通過行走的方向和距離得出對(duì)應(yīng)的線段的長度，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可知，千米，千米，在中，由勾股定理得千米，答：登陸點(diǎn)到寶藏處的距離為10千米．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題的根據(jù)是結(jié)合圖形，讀懂題意，根據(jù)題意找到需要的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用勾股定理求線段的長度．5．（2022秋·七年級(jí)單元測試）如圖，小麗蕩秋千，秋千架高2.4米，秋千座位離地0.4米，小紅蕩起最高時(shí)，坐位離地0.8米．此時(shí)小紅蕩出的水平距離是多少？（蕩到秋千架兩邊的最高點(diǎn)之間的距離）

【答案】2.4米【分析】畫出秋千的側(cè)面圖，根據(jù)勾股定理即可求出的值．【詳解】解：如圖為秋千側(cè)面圖，座位最低點(diǎn)為A，最高點(diǎn)為B，

則，過B點(diǎn)作的垂線，垂足為C，則，，由勾股定理得：，∴，故小紅蕩出的水平距離是.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是正確理解題意．類型八、小鳥飛行問題【解惑】如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的處，當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時(shí)間至少是(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】過作于，如圖所示，由勾股定理求出最短路徑長即可得到答案．【詳解】解：過作于，如圖所示：

由題意可知，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則它要飛回巢中所飛的最短路徑為，由勾股定理可得，它要飛回巢中所需的時(shí)間至少是（），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解實(shí)際問題，讀懂題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出最短路徑長度是解決問題的關(guān)鍵．【融會(huì)貫通】1．（2023春·重慶云陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹稍飛到另一棵樹的樹稍，問小鳥至少要飛行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米【答案】C【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】解：如圖，設(shè)大樹高為，小樹高為，過點(diǎn)作于，則是矩形，連接，，，，在中，，故小鳥至少飛行，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】如圖：由題意可得AB=10-4=6米，BC=6米，AC==10米．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．3．（2023春·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在公園內(nèi)有兩棵樹相距8米，一棵樹高15米．另一棵樹高9米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米．

【答案】10【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】如圖所示，為樹，且米，米，為兩樹距離8米，過作于E，則，在直角三角形中，．答：小鳥至少要飛10米．故答案為：10．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的的實(shí)際運(yùn)用和兩點(diǎn)之間，線段最短等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行米．【答案】10【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】解：如圖，設(shè)大樹高為，小樹高為，過點(diǎn)作于，連接，，，，在中，，故小鳥至少飛行，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹相距4米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？【答案】一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行5米．【分析】根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形，如圖，過點(diǎn)D作，則四邊形是矩形，故可得的長度，在中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形如下：其中米，米，米，過點(diǎn)D作，則四邊形是矩形，∴米，米，∴米，在中，米，答：一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行5米．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容，根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形是解題的關(guān)鍵．類型九、勾股定理的證明方法【解惑】意大利著名畫家達(dá)·芬奇用如圖所示（四邊形，四邊形，四邊形都為正方形，設(shè)圖①中空白部分的面積為，圖③中空白部分的面積為）的方法驗(yàn)證了勾股定理，步驟如下所示，則下列判斷不正確的是（

）第一步：由圖①可得；第二步：由圖③可得第三步：由，可驗(yàn)證

A．★表示 B．●表示C．◆表示= D．▲表示【答案】B【分析】根據(jù)圖形表示出，即可求解．【詳解】解：由圖①可得，∴★表示，故A正確；由圖③可得，故B錯(cuò)誤；∴，，∴，故C、D正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【融會(huì)貫通】1．（2023春·河南周口·八年級(jí)校考期中）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)用火柴盒研究證明勾股定理的新方法．如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面倒下到的位置，連接，此時(shí)，，，．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)請(qǐng)利用直角梯形的面積證明勾股定理：．【答案】(1)是等腰直角三角形，理由見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意判斷，再由全等三角形的性質(zhì)得到，即可判斷的形狀；（2）利用直角梯形的面積的兩種表示，列式化簡即可得證．【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：由圖可知，，，，在長方形中，，，是等腰直角三角形；（2）證明：如圖所示：

，，，；，，即，．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形相關(guān)性質(zhì)，涉及全等的性質(zhì)、直角三角形的判定、勾股定理的證明等，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，對(duì)任意符合條件的直角三角形，繞其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，所以，且四邊形是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形面積相等，而四邊形面積等于和的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．【答案】證明見解析．【分析】利用四邊形面積等于和的面積之和，化簡整理得到勾股定理．【詳解】解：由圖可得：，即：，∴，整理得：．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給圖形，找到相應(yīng)的等量關(guān)系．3．（2023春·北京密云·八年級(jí)?？计谀┙獯?1)請(qǐng)你根據(jù)圖甲中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語言敘述）．

(2)以圖甲中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以，為底，以為高的直角梯形，如圖乙所示，請(qǐng)你利用圖乙驗(yàn)證勾股定理．

【答案】(1)在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(2)驗(yàn)證見解析【分析】（1）根據(jù)題意分別用文字和符號(hào)描述出勾股定理即可；（2）根據(jù)題意可知，可得，進(jìn)而求得，利用整理可得驗(yàn)證出勾股定理．【詳解】（1）文字語言敘述：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，符號(hào)語言敘述：；（2），，又，，，，，整理，得．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的計(jì)算與證明，理解題意，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察，思考與驗(yàn)證

(1)如圖1是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式____________；(2)如圖2所示，，且，，在同一直線上，試說明，；(3)伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的《新英格蘭教育日志》上），請(qǐng)你寫出驗(yàn)證過程．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）用面積分割法證明：大正方形的面積等于小正方形和兩個(gè)長方形的面積之和，從而推出平方和公式；（2）先證明，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，推出直角；（3）用面積分割法法證明勾股定理：梯形的面積三角形的面積三角形的面積三角形的面積．【詳解】（1）解：這個(gè)公式是完全平方公式：；理由如下：∵大正方形的邊長為，∴大正方形的面積，又∵大正方形的面積＝兩個(gè)小正方形的面積＋兩個(gè)矩形的面積，，∴．故答案為：．（2）證明：∵在和中，，∴，∴，∵∴，∴，∴．（3）證明；∵，∴，∴，即四邊形是梯形，∴四邊形的面積，整理得：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和用面積法證明代數(shù)恒等式，用面積法證明代數(shù)恒等式是常用的代數(shù)式變形，采用了數(shù)