廣西壯族自治區(qū)百色市貴百聯(lián)考2024屆高三上學期9月月考數(shù)學試題（含答案解析）

2024屆廣西名校開學考試試題數(shù)學（考試時間：150分鐘滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運用集合交集的定義直接求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：D2.若復數(shù)z滿足，則在復平面內(nèi)復數(shù)z所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法與幾何意義求解即可.【詳解】由，對應點坐標為，在第二象限．故選：B．3.函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)列方程求參數(shù)，驗證是否滿足題設.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域為，∴，即，解得，所以，而，故，滿足題設.故選：C4.已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前n項和，，，則（）A.15 B.31 C.63 D.7【答案】A【解析】【分析】設公比為，再利用等比數(shù)列的通項公式及求和公式可求解.【詳解】設等比數(shù)列公比為，由，，得，即，解得，所以，所以，故選：A．5.圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由圓與圓位置關系的判斷可知兩圓外離，得公切線條數(shù)；根據(jù)兩圓半徑相同可確定兩條公切線過，兩條公切線平行于，假設公切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構造方程求得公切線.【詳解】由兩圓方程得：圓心，，半徑，兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經(jīng)過中點，兩條公切線與平行，經(jīng)過中點的公切線斜率顯然存在，可設為：，，解得：或，即公切線方程為：或；，與平行的公切線方程為，即，，解得：，即公切線方程為或；綜上所述：兩圓公切線方程為：或或或.故選：C.6.某中學體育節(jié)中，羽毛球單打12強中有3個種子選手，將這12人任意分成3個組（每組4個人），則3個種子選手恰好被分在同一組的分法種數(shù)為（）A.210 B.105 C.315 D.630【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分組方法，利用排列組合即可得出3個種子選手恰好被分在同一組的分法種數(shù).【詳解】由題意，12人任意分成3個組，3個種子選手分在同一組的方法有：（種），故選：C．7.圓錐的底面圓半徑，側面的平面展開圖的面積為，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓錐側面積公式可求得母線長，進而得到圓錐的高，代入圓錐體積公式即可求得結果.【詳解】設圓錐的母線長為，高為，圓錐的側面展開圖面積，，，圓錐的體積.故選：A.8.設，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數(shù)，，通過其單調(diào)性后可得，整理后可得；作差，則可得.【詳解】構造函數(shù)，，則，得在上單調(diào)遞減，又，則，即.作差：，則，綜上所述，.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題涉及比較指數(shù)式與分數(shù)的大小，難度較大.本題因難以估值及找中間量，故采用構造函數(shù)法比較大小，而構造函數(shù)的關鍵為找到比較式子間的關系.二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分，每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯得0分．9.下列命題中，正確的命題是（）A.數(shù)據(jù)4，5，6，7，8的第80百分位數(shù)為7B.若經(jīng)驗回歸方程為時，則變量x與y負相關C.對于隨機事件A，B，若，則A與B相互獨立D.某學習小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績，其中男生成績的平均數(shù)為9，方差為13；女生成績的平均數(shù)為7，方差為10，則該10人成績的方差為10.5【答案】BC【解析】【分析】A項，根據(jù)5個數(shù)據(jù)即可計算出第80百分位數(shù)；B項，根據(jù)回歸方程的自變量前的系數(shù)即可得出x與y的相關關系；C項，通過給出的條件，即可得出A與B是否相互獨立；D項，根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出10人的平均成績，即可得出該10人成績的方差.【詳解】對于A，由于，則4，5，6，7，8的第50百分位數(shù)為：，故A錯；對于B，若方程為時，則變量x與y負相關，故B正確；對于C，若，則有，可得，則A與B相互獨立，故C正確；對于D，10人的成績平均：，則10人的方差，故D錯；故選：BC．10.已知拋物線的焦點為F，過F的直線與C交于A、B兩點，且A在x軸上方，過A、B分別作C的準線的垂線，垂足分別為、，則（）A.若的縱坐標為，則B.C.準線方程為D.以為直徑的圓與直線相切于F【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義、標準方程和拋物線的幾何性質(zhì)，可判定A錯誤、C正確；設直線的方程為，聯(lián)立方程方程組，結合向量的數(shù)量積的坐標運算和直線與圓的位置關系的判定方法，可判定B錯誤，D正確.【詳解】由拋物線，可得拋物線的焦點，準線，所以C正確；對于A中，由的縱坐標為，可得橫坐標為，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以A錯誤；對于B中，設直線的方程為，且，，則，，聯(lián)立方程，整理得，則，，因為，，可得，所以與不互垂直，所以B錯誤；對于D中，因為，，可得，則，所以的中點到直線的距離，又因為，故以為直徑的圓與直線相切于，所以D正確.故選：CD．11.已知四面體的四個面均為直角三角形，其中平面，，且．若該四面體的體積為，則（）A.平面 B.平面平面C.的最小值為3 D.四面體外接球的表面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】如圖所示，將四面體補全為長方體，證得，，進而證得平面，可判定A正確；根據(jù)題意得到即為二面角的平面角，結合為銳角，可判定B不正確；設，，求得，結合基本不等式，可判定C正確．設四面體外接球的半徑為，結合基本不等式，求得，可判定D正確．【詳解】如圖所示，將四面體補全為長方體，因為平面，平面，所以，又因為，且平面，所以平面，所以A正確；因為平面，所以，又因為平面平面，且平面，，平面，則即為二面角的平面角，因為為銳角，即二面角為銳二面角，所以B不正確；設，，可得，得，又由，當且僅當時等號成立，所以，所以C正確．設四面體外接球的半徑為，則，當且僅當時等號成立，所以，即四面體外接球的表面積的最小值為，所以D正確．故選：ACD．12.函數(shù)的兩個極值點分別是，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)極值點個數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個不等實根，由一元二次方程根的分布可構造不等式組求得A正確；利用韋達定理和的范圍可確定BC正確；構造函數(shù)，通過導數(shù)可求得，由此可確定D正確.【詳解】對于A，的定義域為，，有兩個極值點等價于方程在有兩個不等實根，，解得：，A正確；對于B，，，，又，，即，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，，，D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：本題考查根據(jù)函數(shù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍、利用導數(shù)證明不等式的問題；本題求解參數(shù)范圍的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)變號零點個數(shù)問題的求解，根據(jù)方程根的分布來構造不等關系；本題證明不等式的關鍵是能夠?qū)㈦p變量的問題轉(zhuǎn)化為單一變量的問題，從而構造關于單一變量的函數(shù)來求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數(shù)為________．【答案】90【解析】【分析】根據(jù)二項展開式公式求解中與的項，再求解即可.【詳解】的通項，令，則；令，則，故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：90．14.已知，，則________．【答案】22【解析】【分析】根據(jù)向量模的坐標表示即可得，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律即可.【詳解】，，故答案為：22．15.函數(shù)在上恰有個零點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】化簡得到，求得的范圍后，根據(jù)零點個數(shù)可構造不等式組求得結果.【詳解】，當時，，在上恰有個零點，，解得：，即的取值范圍為.故答案為：.16.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P在C上，若，，則C的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理列方程，化簡求得離心率.【詳解】，，O是的中點，所以，故由得，因為，，所以，在中，，在中，，∴，即，則，離心率為．故答案為：【點睛】求橢圓的離心率，方法有很多，一種是直接求得，進而求得橢圓的離心率；一種是求得的關系式（齊次式），化簡求得橢圓的離心率；一種是求得的關系式（齊次式），化簡求得橢圓的離心率.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式，結合累和法進行求解即可；（2）運用裂項相消法進行求解即可.【小問1詳解】根據(jù)題意可得；當時，，又符合上式，所以；【小問2詳解】，18.在中，角的對邊分別是，且．（1）求的值；（2）若，，是線段上的一點，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式和同角三角函數(shù)平方關系直接求解即可；（2）利用余弦定理可得，利用面積關系可求得所求最小值.【小問1詳解】由得：，整理可得：，或（舍），，.【小問2詳解】由余弦定理得：，，且角B為鈍角，可知當時，取得最小值，此時，即，解得：，的最小值為.19.四邊形為菱形，平面，，，．（1）設中點為，證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，結合線面垂直的性質(zhì)和判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】四邊形為菱形，且，中點為，所以．因為，所以，因為平面，平面，所以．又，，平面，所以平面；【小問2詳解】設交于點，取中點，連接，所以，底面．以為原點，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，因為，所以，所以，，，，，，所以，，設平面的一個法向量為，則，令，得；，，平面一個法向量為，則，令得；所以，所以平面與平面的夾角的大小為．20.某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績好差的關系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調(diào)查，其中有體育鍛煉習慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖．記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．（1）請完成下列列聯(lián)表．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析成績優(yōu)秀與體育鍛煉有沒有關系．經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計合格25優(yōu)秀10合計100（2）現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調(diào)查，記抽到5人中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列．附：，其中．0.0500.0100.001k3.841663510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析；成績優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關聯(lián)（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到列聯(lián)表，求得的值，結合附表，即可得到結論；（2）根據(jù)題意，求得抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，得到服從超幾何分布，得出的可能值，求得相應的概率，列出分布列.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，得到列聯(lián)表經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計合格254570優(yōu)秀201030合計4555100零假設：成績是否優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉無關，可得．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以的把握認為成績優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關聯(lián).【小問2詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖，可得大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，所以由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機抽取5人，優(yōu)秀人數(shù)服從超幾何分布，由題意的可能值為0，1，2，3可得，，，所以隨機變量分布列為X0123P21.已知雙曲線C：一個焦點F到漸近線的距離為．（1）求雙曲線C的方程；（2）過點的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在點N，使得為定值？如果存在，求出點N的坐標及該定值；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在；點，【解析】【分析】（1）根據(jù)點到線的距離公式去接即可；（2）設其方程為，，設，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達定理，化簡可得，從而得到定點與定值.小問1詳解】由雙曲線得漸近線方程為，設，則，∴雙曲線C方程為；【小問2詳解】依題意，直線的斜率不為0，設其方程為，，代入得，設，，，則，，∴若要上式為定值，則必須有，即，∴，故存在點滿足

22.已知函數(shù)．（1）當時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當時，，求a的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】（1）求導分析導函數(shù)的正負區(qū)間即可；（2）設，求導分析單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增