機(jī)械工程及自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)之機(jī)械制圖全部課件黃金珍藏-(3)

第三章直線(xiàn)與平面的相對(duì)位置

兩平面的相對(duì)位置§3-1直線(xiàn)與平面平行?兩平面平行§3-2直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)?兩平面相交§3-3直線(xiàn)與平面垂直?兩平面垂直3.1直線(xiàn)與平面平行及兩平面平行平行問(wèn)題

直線(xiàn)與平面平行平面與平面平行包括⒈直線(xiàn)與平面平行定理：若一直線(xiàn)平行于平面上的某一直線(xiàn)，則該直線(xiàn)與此平面必相互平行。n

●●a

c

b

m

abcmn例1：過(guò)M點(diǎn)作直線(xiàn)MN平行于平面ABC。有無(wú)數(shù)解正平線(xiàn)例2：過(guò)M點(diǎn)作直線(xiàn)MN平行于V面和平面

ABC。c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

⒉兩平面平行①若一平面上的兩相交直線(xiàn)對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線(xiàn)，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

h

abcdefha

b

c

d

e

c

f

b

d

e

a

abcdef[例題3]已知定平面由平行兩直線(xiàn)AB和CD給定。試過(guò)點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k例4平面ABC與DEF相互平行，完成平面DEF的投影。OXa●d

bb

cf

a

e

dc

ef21

2

1★過(guò)a

作a

1∥e

f——作a1★過(guò)1

作1

2∥d

e——作12★過(guò)d作線(xiàn)∥12——求e★過(guò)e作線(xiàn)∥a1——求f★連接de、ef習(xí)題集P30，26f

e

eb

●OXg

gfd

a

c

a例5已知平面P（AB∥CD）平行三角形EFG，試完成平面P的投影。習(xí)題集P30，25●●◆過(guò)e

作c

d

平行線(xiàn)交f

g

于1

◆過(guò)a作1e平行線(xiàn)過(guò)b

作垂線(xiàn)求b◆加粗ab、cdbdc●●1

2

12◆求作1，連接1e

◆連接c

b

過(guò)e

作c

b

平行線(xiàn)交f

g

于2

◆求作2，連接2e

◆過(guò)b作2e平行線(xiàn)過(guò)c

作垂線(xiàn)求c◆過(guò)c作ab平行線(xiàn)過(guò)d

作垂線(xiàn)求d二、相交問(wèn)題⒈直線(xiàn)與平面相交直線(xiàn)與平面相交，其交點(diǎn)是直線(xiàn)與平面的共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：●求直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)。

●判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見(jiàn)性。3.2直線(xiàn)與平面及兩平面相交

直線(xiàn)與平面相交的特殊情況b

ba

acc

m

mnn

由于特殊位置平面的某個(gè)投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。kk

判斷直線(xiàn)的可見(jiàn)性b

ba

acc

m

mn

kk

n特殊位置線(xiàn)面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線(xiàn)的可見(jiàn)性。abcmnc

n

b

a

m

⑴平面為特殊位置例：求直線(xiàn)MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見(jiàn)性?？臻g及投影分析平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線(xiàn)，該直線(xiàn)與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①求交點(diǎn)②判別可見(jiàn)性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見(jiàn)。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●km(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵直線(xiàn)為特殊位置空間及投影分析直線(xiàn)MN為鉛垂線(xiàn)，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見(jiàn)性點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見(jiàn)。1

(2

)k

●2●1●●作圖用面上取點(diǎn)法⒉兩平面相交兩平面相交其交線(xiàn)為直線(xiàn)，交線(xiàn)是兩平面的共有線(xiàn)，同時(shí)交線(xiàn)上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：①求兩平面的交線(xiàn)方法：⑴確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。⑵確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線(xiàn)的方向。②判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見(jiàn)性。一般位置平面與特殊位置平面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

MmnlPBCacbPHAFKNLkf判斷平面的可見(jiàn)性可通過(guò)正面投影直觀(guān)地進(jìn)行判別。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線(xiàn)。交線(xiàn)必為一條正垂線(xiàn)，只要求得交線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線(xiàn)的投影。①求交線(xiàn)②判別可見(jiàn)性作圖從正面投影上可看出，在交線(xiàn)左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。n●m●●如何判別？例：求兩平面的交線(xiàn)MN并判別可見(jiàn)性。⑴b

c

f

h

a

e

abcefh1(2)空間及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

b

與e

f

的交點(diǎn)m

、b

c

與f

h

的交點(diǎn)n

即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故m

n

即MN的正面投影。①求交線(xiàn)②判別可見(jiàn)性點(diǎn)Ⅰ在FH上，點(diǎn)Ⅱ在BC上，點(diǎn)Ⅰ在上，點(diǎn)Ⅱ在下，故fh可見(jiàn)，n2不可見(jiàn)。作圖m●●n

●2

●n●m

●1

●⑵c

d

e

f

a

b

abcdef⑶投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef的外面，說(shuō)明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)。所以ΔABC和ΔDEF的交線(xiàn)應(yīng)為MK。n●n

●m

●k●m●k

●互交ABCQ過(guò)MN作正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線(xiàn)面交點(diǎn)示意圖1

2

以正垂面為輔助平面求線(xiàn)面交點(diǎn)QV21kk

步驟：1．過(guò)EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線(xiàn)ⅠⅡ。3．求交線(xiàn)ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。示意圖CAB過(guò)MN作鉛垂面PNMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線(xiàn)面交點(diǎn)示意圖12以鉛垂面為輔助平面求線(xiàn)面交點(diǎn)。PH1

步驟：1．過(guò)EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線(xiàn)ⅠⅡ。3．求交線(xiàn)ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。k

k2

示意圖直線(xiàn)EF與平面ΔABC相交，判別可見(jiàn)性示意圖ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影點(diǎn)。判別可見(jiàn)性Ⅳf

e

e直線(xiàn)EF與

ABC相交，判別可見(jiàn)性。利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性124

3

（

）kk

34示意圖(

)2

1

兩一般位置平面相交

求兩平面交線(xiàn)的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題,

因而可利用求一般位置線(xiàn)面交點(diǎn)的方法找出交線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線(xiàn)即為兩平面的交線(xiàn)。兩一般位置平面相交求交線(xiàn)

示意圖判別可見(jiàn)性

兩一般位置平面相交求交線(xiàn)的方法示意圖

利用求一般位置線(xiàn)面交點(diǎn)的方法找出交線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線(xiàn)即為兩平面的交線(xiàn)。MBCAFKNL兩一般位置平面相交，求交線(xiàn)步驟：1．用求直線(xiàn)與平面交點(diǎn)的方法，作出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、E。求兩平面的交線(xiàn)ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫(huà)出交線(xiàn)KE。示意圖利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性?xún)善矫嫦嘟?，判別可見(jiàn)性3

4

()3421()1

2

[例題1]試過(guò)K點(diǎn)作一直線(xiàn)平行于已知平面ΔABC，并與直線(xiàn)EF相交。分析過(guò)已知點(diǎn)K作平面P平行于

ABC；直線(xiàn)EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH作圖m

n

h

hnmPV1

12

21．過(guò)點(diǎn)K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線(xiàn)EF與平面KMN的交點(diǎn)H。3．連接KH，KH即為所求。直線(xiàn)與平面垂直、兩平面垂直一、直線(xiàn)與平面垂直二、兩平面垂直

直線(xiàn)與平面垂直的幾何條件：定理1若一直線(xiàn)垂直于一平面、則直線(xiàn)的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線(xiàn)的水平投影；直線(xiàn)的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線(xiàn)的正面投影。knk

n

定理2（逆）若一直線(xiàn)的水平投影垂直于屬于平面的水平線(xiàn)的水平投影；直線(xiàn)的正面投影垂直于屬于平面的正平線(xiàn)的正面投影，則直線(xiàn)必垂直于該平面。h

[例題3]試過(guò)定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線(xiàn)。hhhh

h

（a）（c）（b）[例題4]平面由兩平行線(xiàn)AB、CD給定，試判斷直線(xiàn)MN是否垂直于該平面。e

f

ef[例題2]平面由

BDF給定，試過(guò)定點(diǎn)K作平面的法線(xiàn)。a

cac