高中數(shù)學(xué)選擇性必修二-精講精煉-5-1-函的單調(diào)性(精講)(含答案)

5.3.1函數(shù)的單調(diào)性(精講)思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性圖像問題【例1】(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若y＝的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x＜0時(shí)，＞0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，＜0，即f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x＞2時(shí)，＞0，即函數(shù)f(x)為增函數(shù).觀察選項(xiàng)易知D正確.故選：D【一隅三反】1(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是()A．B．C． D．【答案】D【解析】∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是減函數(shù)，∴當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0.故選：D2．(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))如果函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，那么導(dǎo)函數(shù)y＝的圖象可能是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況依次是正→負(fù)→正→負(fù)，只有選項(xiàng)A滿足．故選：A．3．(2021·西藏日喀則區(qū)南木林高級(jí)中學(xué))如圖所示是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷中正確的是()A．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)【答案】A【解析】由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像知，A：時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故A正確；B：時(shí)，或，所以函數(shù)先單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；C：時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；D：時(shí)，或，所以函數(shù)先單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，不是單調(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A考點(diǎn)二無參單調(diào)性區(qū)間【例2】(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)f(x)＝x3－3x＋1；(2)y＝x＋.(3)3；(4)y＝ln(2x＋3)＋x2.【答案】(1)增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，減區(qū)間是(－1，1)；(2)增區(qū)間為(－∞，-)和(，＋∞)，減區(qū)間為(－，0)和(0，).(3)單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)；(4)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】(1)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令>0，得x>1，或x<－1.令<0，得－1<x<1.∴f(x)的增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，減區(qū)間是(－1，1).(2)＝1－＝，由>0，解得x<－，或x>.由<0，解得－<x<，(x≠0).∴函數(shù)的增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)，減區(qū)間為(－，0)和(0，).(3)函數(shù)的定義域?yàn)镽.y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，則2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(2，＋∞)．令y′＜0，則2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)．函數(shù)y＝ln(2x＋3)＋x2的定義域?yàn)?y′＝＋2x＝＝.令y′＞0，解得－＜x＜－1或x＞－.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.令y′＜0，解得－1＜x＜－，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【一隅三反】1(2021·全國(guó)高二單元測(cè)試)設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，且是偶函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B．，C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以對(duì)恒成立，即，即，所以，所以，令，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．故選：B．2．(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))函數(shù)f(x)＝cosx－x在(0，π)上的單調(diào)性是()A．先增后減 B．先減后增C．單調(diào)遞增 D．單調(diào)遞減【答案】D【解析】f′(x)＝－sinx－1，x∈(0，π)，∴f′(x)<0，則f(x)＝cosx－x在(0，π)上單調(diào)遞減.選：D3．(2021·綏德中學(xué)高二月考(理))若曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A． B．C． D．，【答案】D【解析】由題意得，所以，且．故函數(shù)在,處的切線為：，將點(diǎn)代入得．則，由得且．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，．故選：D．4．(2021·全國(guó))求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)f(x)＝；(2)y＝x2－lnx．(3)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(4)f(x)＝sinx－x(0<x<π)．(5)；(6)．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1－)和(1＋，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1－，1)和(1，1＋)；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)．(3)增區(qū)間是(－∞，－3)，(2，＋∞)；減區(qū)間是(－3，2)；(4)單調(diào)遞減區(qū)間為(0，π)．(5)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；(6)單調(diào)遞增區(qū)間為()，單調(diào)遞減區(qū)間().【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠1}，f′(x)＝＝＝．令f′(x)>0，解得x>1＋或x<1－；令f′(x)<0，解得1－<x<1或1<x<1＋．所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1－)和(1＋，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1－，1)和(1，1＋)．(2)函數(shù)y＝x2－lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，又y′＝．若y′>0，即解得x>1；若y′<0，即解得0<x<1．故函數(shù)y＝x2－lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)．(3)＝6x2＋6x－36．由>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由<0解得－3<x<2．故f(x)的增區(qū)間是(－∞，－3)，(2，＋∞)；減區(qū)間是(－3，2)．(4)＝cosx－1．因?yàn)?<x<π，所以cosx－1<0恒成立，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，π)，無增區(qū)間．(5)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，令，即，解得；令，即，解得或，故所求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為．(6)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?令，得，即()，令，得，即()，故的單調(diào)遞增區(qū)間為()，單調(diào)遞減區(qū)間()．考點(diǎn)三已知單調(diào)性求參數(shù)【例3-1】(2021·河南高二期末)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，由在上單調(diào)遞減，得在上恒成立，即在上恒成立.令，在上，∴在上單調(diào)遞減，即，∴，故的取值范圍.故選：.【例3-2】(2021·全國(guó)高二單元測(cè)試)已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是()A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，若在上不單調(diào)，則函數(shù)與x軸在上有交點(diǎn)，又，則，解得，故在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是．故選：D．【一隅三反】1．(2021·重慶市廣益中學(xué)校高二月考)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，所以，因此，要想在上恒成立，只需，故選：D2．(2021·山西運(yùn)城·高二期中(理))已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由，①當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極值點(diǎn)為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得.故選：C.3．(2021·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二月考)已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以或恒成立，因?yàn)榈膱D像開口向下，所以恒成立不可能，所以恒成立，所以，解得，故選：B4．(2021·江蘇金湖·高二月考)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)定義域是，由題意，時(shí)，時(shí)，，所以的減區(qū)間是，又，所以，解得．故選：B．5．(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．不存在這樣的實(shí)數(shù)【答案】B【解析】由題意得，在區(qū)間上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，而的根為，區(qū)間的長(zhǎng)度為2，故區(qū)間內(nèi)必含有2或．∴或，∴或，故選：B．考點(diǎn)四利用單調(diào)性比較大小【例4】(1)(2021·全國(guó)高二單元測(cè)試)已知奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)x≠0時(shí)，x+f(x)＞0，若a＝f，b＝﹣ef(﹣e)，c＝f(1)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜a＜b(2)(2021·全國(guó)高二單元測(cè)試)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，下列式子大小關(guān)系正確的是()A． B．C． D．【答案】(1)C(2)C【解析】(1)令g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝f(x)+xf′(x)＞0，所以g(x)為遞增函數(shù)，因?yàn)閑＞1＞，∴g(e)＞g(1)＞g()，∴ef(e)＞f(1)＞f()，又f(x)為奇函數(shù)，所以﹣ef(﹣e)＝ef(e)，∴b＞c＞a，故選：C.(2)，，在上遞減，所以.，所以，所以.故選：C【一隅三反】1．(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)，則()A． B．C． D．以上都不正確【答案】B【解析】由題可知，，又當(dāng)，則，，故是上的增函數(shù)，故.故選：B.2．(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))(多選題)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，且，對(duì)任意的x∈R恒成立，則()A．f(ln2)<2f(0) B．f(2)<e2f(0)C．f(ln2)>2f(0) D．f(2)>e2f(0)【答案】AB【解析】依題意，令，則，于是得在R上單調(diào)遞減，而ln2>0，2>0，則，，即，，所以f(ln2)<2f(0)，f(2)<e2f(0).故選：AB3．(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))(多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是()A．f(b)>f(a) B．f(d)>f(e)C．f(a)>f(d) D．f(c)>f(e)【答案】ABD【解析】由題圖可得，當(dāng)x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(c，e)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上是增函數(shù)，在(c，e)上是減函數(shù)，且，所以f(b)>f(a)，f(d)>f(e)，f(c)>f(e).故選：ABD4．(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))(多選題)已知定義在上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是()A． B．C． D．【答案】CD【解析】令，，因?yàn)?，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋瑒t，所以在上恒成立，結(jié)合選項(xiàng)可知，由于，所以，從而有，即，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，結(jié)合在上單調(diào)遞減，且，可知，從而有，由于，則，可得，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；又因?yàn)?，所以，從而有，即，故C選項(xiàng)正確；又因?yàn)?，所以，從而有，即，故D選項(xiàng)正確．故選：CD．考點(diǎn)五利用單調(diào)性解不等式【例5】(2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是()A． B． C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，，則，所以函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞減．又因?yàn)椋?，所以，解得?舍)．所以不等式的解集是．故選：B【一隅三反】1．(2021·全國(guó)高二單元測(cè)試)定義域?yàn)镽的函數(shù)且，且的導(dǎo)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由可知，設(shè)，，是R上的單調(diào)遞增函數(shù)．由且，可知且，.故選：B．2．(2021·全國(guó)高二單元測(cè)試)已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可設(shè)，因?yàn)?，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，不等式可轉(zhuǎn)化為，∴，所以，解得，所以不等式的解集為．故選：D.3．(2021·廣西蒙山中學(xué)高二月考(理))已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)=20，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)滿足，則不等式f(x)>2x3+2x的解集為()A．{x|x>-2} B．{x|x>2} C．{x|x<2} D．{x|x<-2或x>2}【答案】B【解析】令，因，則，即在R上單調(diào)遞增，因，則不等式f(x)>2x3+2x等價(jià)