一元函數(shù)微分學總結(jié)

二、典型例題分析與解答第二、三章機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一元函數(shù)微分學總結(jié)一、知識點與考點2021/5/91機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、知識點與考點(一)導數(shù)與微分①若令②③1.導數(shù)定義:則2.左右導數(shù):左導數(shù):右導數(shù):2021/5/92機動目錄上頁下頁返回結(jié)束導函數(shù)簡稱導數(shù),且有函數(shù)y=f(x)在點4.導數(shù)的幾何意義:處的導數(shù)表示曲線y=f(x)在點處的切線斜率.即有曲線的切線方程為3.導函數(shù)的定義:曲線的法線方程為2021/5/93

是

x→0時比

x高階的無窮小量,并稱Ax為f(x)在其中A是與

x無關的量,若函數(shù)的增量可表示為

y=Ax+

,則稱y=f(x)在點x處可微

,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束記為dy,即dy=Ax.5.微分的定義:由于

x=dx,所以6.微分的幾何意義:點x處的微分,當

y是曲線y=f(x)上點的縱坐標的增量時,dy表示曲線的切線縱坐標的增量.2021/5/947.基本定理定理1(導數(shù)存在的判定定理)定理2(函數(shù)可導與連續(xù)的關系)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束可導函數(shù)必連續(xù),但連續(xù)函數(shù)未必可導.可導定理4.(函數(shù)與其反函數(shù)的導數(shù)的關系)可微反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).定理3.(函數(shù)一階可導與可微的關系)2021/5/95機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(5)(6)(7)設

及(4)

均為可導函數(shù),則復合函數(shù)

可導,

且或

(微分形式不變性)8.運算法則(1)(3)(2)2021/5/969.基本初等函數(shù)的導數(shù)與微分公式(3)(1)(2)(4)(8)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(5)(6)(7)(9)2021/5/97機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(10)(11)(14)(15)(12)(13)(16)(17)2021/5/9810.高階導數(shù)2021/5/99例1.

設求使存在的最高分析:但是不存在.2又2021/5/910機動目錄上頁下頁返回結(jié)束11.方程確定的隱函數(shù)的導數(shù)例2.設函數(shù)y=y(x)由方程確定,求解法1:方程兩邊對x求導數(shù)得:解得方程兩邊微分得:解法2:解得:2021/5/911

12.參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)例3.設求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:13.對數(shù)求導法:求“冪指函數(shù)”及多個因子相乘除函數(shù)的導數(shù)時用對數(shù)求導法.2021/5/912解法1:取對數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束等式兩邊對x求導數(shù):則有:例4.設解法2:作指數(shù)對數(shù)恒等變形:2021/5/913機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.設則有解取對數(shù)等式兩邊對x求導數(shù):2021/5/914(二)中值定理機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.羅爾定理(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(3)且f(a)=f(b);成立.(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;若函數(shù)f(x)

滿足條件:則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點

使2.拉格朗日中值定理若函數(shù)f(x)

滿足條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點

使等式2021/5/9153.柯西中值定理機動目錄上頁下頁返回結(jié)束成立.若函數(shù)f(x),F(x)滿足條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導且則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點

使等式(三)導數(shù)的應用定理1設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導,1.函數(shù)的單調(diào)性若對都有則稱f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增(減).2021/5/9162.函數(shù)的極值設函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義,x為該鄰域內(nèi)異于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的任意一點,若恒有(或則稱為f(x)在該鄰域的極大(小)值.極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,方程使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.定理2.(函數(shù)取得極值的必要條件)的根稱為函數(shù)f(x)的駐點.則有設函數(shù)f(x)在點處可導,(可導函數(shù)的極值點必為駐點)且在該點處取得極值,2021/5/917定理3.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(函數(shù)取得極值的第一充分條件)設函數(shù)f(x)在內(nèi)可導,(或f(x)在點處連續(xù)但不可導).(1)若當x由左至右經(jīng)過時由“+”變“–”,則為函數(shù)的極大值.(2)若當x由左至右經(jīng)過時由“-”變“+”,(3)若當x由左至右經(jīng)過為函數(shù)的極小值.則則不變號,不是時函數(shù)的極值.2021/5/918定理4機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(函數(shù)取得極值的第二充分條件)設函數(shù)f(x)在處(1)若則為函數(shù)f(x)的極大值.(2)若則為函數(shù)f(x)的極小值.3.函數(shù)的最值求連續(xù)函數(shù)

f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1).求f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點及導數(shù)不存在的點;(2).求出這些點的函數(shù)值及區(qū)間端點的函數(shù)值;(3).比較上述函數(shù)值,其中最大者為最大值,最小者為最大值.2021/5/919機動目錄上頁下頁返回結(jié)束恒有(弧在弦的下方)(或則稱曲線f(x)在(a,b)內(nèi)為凹(凸)弧.曲線上凹弧與凸弧的分界點4.函數(shù)曲線的凹凸性和拐點設函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),若對于(a,b)內(nèi)任意兩點(弧在弦的上方))稱為曲線的拐點.2021/5/920定理1.(曲線凹凸性的判定定理)若在(a,b)上機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則曲線y=f(x)在當x自左至右經(jīng)過定理2.(曲線拐點的判定定理)若在處時變號,則是曲線y=f(x)的拐點.(a,b)上為凹(凸)弧.2021/5/921二﹑典型例題分析與解答應填?1.已知則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:注釋:本題考查導數(shù)的定義.例6.2021/5/922設例7.在處可導,求解:

在處連續(xù)且可導,即由由再代入(1)得2021/5/923例8.設f(x)可導,則是F(x)在x=0可導的().(A)充分必要條件;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(B)充分條件但非必要條件;(C)必要條件但非充分條件;解:直接計算解此題.由于A(D)既非充分條件又非必要條件.而f(x)可導,所以F(x)的可導性與的可導性相同.2021/5/924故選項(A)正確.

(x)在x=0處可導的充分必要條件是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注釋:即f(0)=0.本題考查函數(shù)在一點處可導的充要條件.令由導數(shù)的定義知解題過程中化簡題目的解題技巧應注意掌握.2021/5/925例9曲線在點(0,1)處的切線方程是___________.曲線在點(0,1)的切線方程為解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注釋:①

兩邊對x求導得:即為將x=0,y=1

代入①式得:本題考查隱函數(shù)求導數(shù)及導數(shù)的幾何意義.2021/5/926例10設函數(shù)由方程確定,求解由由原方程得代入(1)得再將代入(2)得注釋本題考查求隱函數(shù)在一點處的一階、二階導數(shù).注意求導數(shù)時,不必寫出導函數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/927例11

證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一實根[分析]如令則的符號不易判別不便使用介值定理用Rolle定理來證證令則且故由Rolle定理知即在(0,1)內(nèi)有一實根2021/5/928例12.處().設y=f(x)是方程則函數(shù)f(x)在點且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(B)取得極小值;的一個解,(A)取得極大值;解:(D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.由于y=f(x)是方程的一個解,所以有即有將代入上式得所以函數(shù)f(x)在點處取得極大值.A選項(A)正確.2021/5/929機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例13.且設f(x)有二階連續(xù)導數(shù),則().(A)f(0)是f(x)的極大值;(B)f(0)是f(x)的極小值;(C)(0,f(0))是曲線y=

f(x)的拐點;(D)f(0)不是f(x)的極值點,(0,f(0))也不是曲線y=

f(x)的拐點.解:由于由極限的保號性知存在x=0的某去心鄰域,在此鄰域內(nèi)有即有B2021/5/930即有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由于當x<0時,

函數(shù)f(x)單調(diào)減.當x>0時,

由極值的第一充分條件知

f(x)在x=0處取得極小值.即有

又由極限的保號性有注釋:本題考查極限的保號性和極值的判定法則.函數(shù)f(x)單調(diào)增.故選項(B)正確.2021/5/931例14.由于x=1

是

(x)在(0,+∞)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則

(x)在x=1處取得極小值.又

(1)=0,即則當x>0時,則

(x)在x=1處取得區(qū)間(0,+∞)試證:當x>0時,證:

令易知

(1)=0.內(nèi)的唯一的極小值點,上的最小值.證畢.2021/5/932例15.求機動目錄上頁下頁返回