2021屆數(shù)學(xué)新高考小題 (十八)

2021屆新高考“8+4+4”小題狂練(18)

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求

1.已知集合A=,B^^X|X2-X-2<0^,則AC|8=()

A.B.{x[l<x〈2}C.{x[l<x<2}D.1x|x>2}

【答案】B

【解析】

【分析】

分別求出集合A,8,根據(jù)交集定義即可得出結(jié)果.

【詳解】；A={Xx>l},5={x|-l<x<2},二Ac8={x[l<x?2}.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

6

()

A1V3.RG,1.r1V3.nV31.

22222222

【答案】A

【解析】

分析】

由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo)，得到向量02的坐標(biāo)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2,得到向量礪的坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.

【詳解】解：?.?復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),

OZ=(0,1),將場(chǎng)繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?得到而，

設(shè)麗=3，b),?<(),/?>(),

則%礪=6=]詞詞cos^=*，

HU,道

即b=」一，

2

又"2+/=],

解得：a=一?-,/?=>

22

對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

3.已知向量￡是單位向量，B=（3,4）,且力/）,則歸―2囚=（）

A.11B.9C.11或9D.121或81

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，由;〃%,可知兩向量的夾角為0或%利用向量數(shù)量積求模長(zhǎng)，計(jì)算可求解.

【詳解】由題意，因?yàn)椋骸?，則兩向量的夾角為0或H,

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積以及向量模長(zhǎng)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.“仁義禮智信”為儒家"五常”由孔子提出“仁、義、禮”,孟子延伸為“仁、義、禮、智”,董仲舒擴(kuò)充為“仁、義、

禮、智、信”.將“仁義禮智信”排成一排，“仁”排在第一-位，且“智信”相鄰的概率為（）

1132

A.—B.-C.—D.一

105105

【答案】A

【解析】

【分析】

利用特殊元素及捆綁法得“仁”排在第一位，且“智信”相鄰的排法有用用種排法，利用古典概型求解即可

【詳解】“仁義禮智信”排成一排任意排有反種排法，其中“仁”排在第一位，且“智信”相鄰的排法有否闋種排

法,故概率P=4冷=-4

A10

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查排列問(wèn)題及古典概型，特殊元素優(yōu)先考慮，捆綁插空是常見(jiàn)方法，是基礎(chǔ)題

5.已知直線。力與平面a,尸，且a〃b,b工a,則a_L/?是a///()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)充分必要條件定義說(shuō)明兩個(gè)命題的真假.

【詳解】在?！?,。，。時(shí)，則“_1_￡,

若。，則有。//尸或au￡,不充分，

若。//4，設(shè)過(guò)。作一平面與僅相交于直線c,則a//c,從而cla,所以，，a,必要性成立，

因此就在是必要不充分條件.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，考查線面平行與面面垂直的關(guān)系，掌握線面間的位置關(guān)系和面面

垂直的判定定理是解題關(guān)鍵.

6.若函數(shù)/(x)=；sinx+*cosx在［2肛a］上單調(diào)遞增，則a的最大值為()

_5兀7乃13乃

A.3兀B.---C.---D.----

236

【答案】D

【解析】

【分析】

由三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，求出正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可得出a的最大值.

\7T\7T7171

【詳解】由題意可得/(x)=sin工+；,令2攵7——<x+—<2k7r+—,k^Z

〈”232

134

得2k兀一5二乃WxW2k兀+7巴1,k&Z,令k=T,得1匕7TWxK1二3?T所以a的最大值為亨.

66666

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍,屬于中檔題.

7.已知。為等腰直角三角形PO。的直角頂點(diǎn)，以O(shè)P為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體T,8是底面圓。上

的弦，△COO為等邊三角形，則異面直線與尸。所成角的余弦值為()

A.1B.也C.3D.克

4442

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)OP=r,過(guò)點(diǎn)。作0C的平行線，與CO平行的半徑交于點(diǎn)￡，找出異面直線0C與所成角，然后

通過(guò)解三角形可得出所求角的余弦值.

【詳解】設(shè)OP=r,過(guò)點(diǎn)。作0C的平行線，與CO平行的半徑交于點(diǎn)E，

則OE=OC=CD=OD=r，PC=PD=>/2r>

所以“DE為異面直線OC與尸。所成的角，

r

在三角形POE中，PE=PD=E，DE=r，所以cosNPDE=2=夜.

V2r4

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計(jì)算，一般通過(guò)平移直線的方法找到異面直線所成的角，考查

計(jì)算能力，屬于中等題.

8.已知函數(shù)g(x),〃(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且g(x)+/z(x)=，+sinx-x,若函數(shù)

/(力=32°2憶而(兀—2020)—2矛有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的值為()

A.-1或工B.1或一工C.一1或2D.-2或1

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性，求出g(x)=e；展,結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性得出3k＜網(wǎng)和g(x—2020)都關(guān)

于x=2020對(duì)稱，由“X)有唯一零點(diǎn)，可知/(2020)=0,即可求;I.

【詳解】解:已知g(x)+〃(x)=e*+sinx-x,①

且g(x),/z(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，

則g(-x)+//(-%)=e~x+sin(-%)+x,

得：g(x)-%(%)=-sinx+x,②

①+②得：g(x)=ej,

由于|x—2020|關(guān)于x=2020對(duì)稱，

則3限2網(wǎng)關(guān)于X=2020對(duì)稱，

g(x)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，

則g(X—2020)關(guān)于x=2020對(duì)稱，

由于/(X)=3『202Q-Xg(x-2020)-2萬(wàn)有唯一零點(diǎn)，

則必有7(2020)=0,g(O)=l,

即：/(2020)=3°-/lg(0)-222=l-/l-2/l2=0,

解得：幾=—1或

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的奇偶函數(shù)，對(duì)稱性和零點(diǎn)，考查函數(shù)思想和分析能力.

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求的，全選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分.)

9.隨著2022年北京冬奧會(huì)的臨近，中國(guó)冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)快速上升，冰雪運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)需求得

到釋放.如圖是2012-2018年中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)(單位：萬(wàn)人)與同比增長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)圖則下面結(jié)論中正確的

是().

2012-2018年中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)與同比增長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)圖

A.2012-2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)逐年增加；

B.2013-2015年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)和同比增長(zhǎng)率均逐年增加；

C.中國(guó)雪場(chǎng)2015年比2014年增加的滑雪人數(shù)和2018年比2017年增加的滑雪人數(shù)均為220萬(wàn)人，因此這

兩年的同比增長(zhǎng)率均有提高；

D.2016-2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)的增長(zhǎng)率約為23.4%.

【答案】AB

【解析】

【分析】

根據(jù)條形圖判斷人數(shù)增減性，即可判斷A；根據(jù)折線圖判斷同比增長(zhǎng)率增減性，即可判斷B；根據(jù)折線圖

判斷同比增長(zhǎng)率,即可判斷C；計(jì)算2016-2018年滑雪人數(shù)的增長(zhǎng)率可判斷D.

【詳解】根據(jù)條形圖知，2012-2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)逐年增加，所以A正確；

根據(jù)條形圖知，2013-2015年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)逐年增加，

根據(jù)折線圖知，2013-2015年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)同比增長(zhǎng)率逐年增加，所以B正確；

根據(jù)條形圖知，中國(guó)雪場(chǎng)2015年比2014年增加的滑雪人數(shù)為1250—1030=220萬(wàn)人，2018年比2017年

增加的滑雪人數(shù)為1970—175()=220萬(wàn)人，根據(jù)折線圖知，2015年比2014年同比增長(zhǎng)率上升，但2018

年比2017年同比增長(zhǎng)率有下降，故C錯(cuò)誤；

2016-2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)的增長(zhǎng)率約為1970—“IO萬(wàn)3().5%,故D錯(cuò)誤；

1510

故選：AB

【點(diǎn)睛】本題考查條形圖與折線圖、增長(zhǎng)率，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬基礎(chǔ)題.

10.將函數(shù)/(x)=2si“2x+V的圖象向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)的

圖象，若g(%)g(^)=9,且％,工2€1一24,2萬(wàn)］,則sin(玉+W)的可能取值為()

A.—B.-1C.1D.0

2

【答案】BC

【解析】

【分析】

由三角函數(shù)圖象變換得出g(x)的解析式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求出占的可能值，再判斷各選項(xiàng).

【詳解】由題意g(x)=2sin2x+l,g(x)的最大值為3,最小值為一1,因此8(%總(當(dāng))=9,則

JIJI

g(xJ=g(X2)=3,由g(x)=2sin2x+l=3得2x=2左乃+5，x=k/i+—,左eZ,又西,々6[-2%,21],

737r57t7t

9

所以％%■匹—[肛%"，]7}設(shè)％=4乃+7，工2=k/+—,k、,k?eZ,則

%1+x2=(4+&2)兀+,，則當(dāng)&偶數(shù)(例如&]=-1,玉=——,k)—1,x2=))時(shí)，sin(%+%2)=

1,當(dāng)仁+大2奇數(shù)(例如K=0,%&2=1,工2=乎))時(shí)，sin(%+%2)=-1,

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查正弦函數(shù)的性質(zhì).解題關(guān)鍵是利用正弦函數(shù)性質(zhì)得出.馬的

所有可能取值.

11.設(shè)雙曲線C：=1(。>0/>0)的左，右焦點(diǎn)分別為《，工，過(guò)目的直線/分別與雙曲線左右兩支交

a2b2

于”,N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓過(guò)B，且麗?鋼=；麗/，則以下結(jié)論正確的是()

A./耳用居=120°；B.雙曲線C的離心率為百；

C.雙曲線C的漸近線方程為丁=±衣:;I).直線/的斜率為1.

【答案】BC

【解析】

【分析】

12

由距?麗=5面『推導(dǎo)出16Ml=|6叫，然后根據(jù)雙曲線的定義推理判斷各選項(xiàng).

【詳解】如圖，作F.DVMN于D，則

22

MF\-MN=\MF^-IW|cosZF2MN=|M/V||MD|=|MN=||^|-所以|礪卜麗所以O(shè)是

MN中點(diǎn)，從而怛M卜HM，

根據(jù)雙曲線定義|幽|一|5|=2。,|嶼|—加周=2。，所以加制—口用=|MN|=4a,

又以"N為直徑的圓過(guò)工，所以用鳥(niǎo)，Ng,ZMNF2=ZNMF2=45°,

于是/用0鳥(niǎo)=135。，A錯(cuò)；

又得|“用=|可用=2&a,|N4|=（2五+2）a,

由余弦定理由村2=W用2+|叫「_2閃用|入閭以為45。得

4c2=（2缶了+（2亞+2）2/_2x2缶x（2亞+2）ax也，化簡(jiǎn)得二=3,所以e=￡=6,B正確;

2aa

由:=土挈1=3得4=2,即2=夜，所以漸近線方程為y=±0x,C正確；

aaa~a

易知NN/=；K<NNA%=45。，所以比=tan/Nf；鳥(niǎo)<1,D錯(cuò).

故選：BC.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線相交問(wèn)題，考查雙曲線的離心率、漸近線方程，考查平面向量的數(shù)量積，

解題關(guān)鍵是由數(shù)量積的關(guān)系得出等腰三角形，由雙曲線的定義得出各線段長(zhǎng)（用。表示）.本題屬于中檔題.

12.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E為邊AB的中點(diǎn)，過(guò)E作￡￡>_!_AC于。.把△?!￡>￡沿。E翻

折至△AOE的位置，連結(jié)4c.翻折過(guò)程中，其中正確的結(jié)論是（）

41

A.OE-

B.存在某個(gè)位置，使AEL8E；

C.若雷=2掰，則8尸的長(zhǎng)是定值；

D.若行=2可，則四面體C—EEB的體積最大值為竽

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷A,B；取AC中點(diǎn)”，可證明從而可計(jì)算出6/，判斷C；折疊

過(guò)程中，ABCE不動(dòng),當(dāng)尸到平面ABC的距離最大時(shí)，四面體C-EEB的體積最大，從而計(jì)算出最大體

積后判斷D.

【詳解】由OELDC,DE±A,D,。得小，平面4。。，又ACu平面A。。，所以

DE1A,C,A正確；

若存在某個(gè)位置，使4E_LBE,如圖，連接AAA],因?yàn)锽E=AE，所以

連接CE,正AAHC中，CE±AB,CEcA]E=E,所以AB,平面ACE,而人。＜=平面ACE,所

以AB_L4。，由選項(xiàng)A的判斷有。且。石口43=石，Z)Eu平面48C，ABI平面ABC,

所以A。，平面ABC,又。Cu平面ABC,所以ACJ.OC,則這是不可能的，事實(shí)上

AD=AD=AEcos600=-AE=-AB=-AC=-CD,B錯(cuò);

,2443

"l

F

B

設(shè)A/是AC中點(diǎn)，連接則8M_LAC,所以BM//DE,從而。是AM中點(diǎn),

所以CM=AM=2M。，若加=2可，即CF=2E41,所以RW〃A。，所以8Ml.FM，且由

A“FMCM2

FM//AD得ACFM?ACAD,所以=E=

zi|JL^J

22

^,ABC邊長(zhǎng)為4,則A。=1，F(xiàn)M——x1=—,BM=25/3，

BF=，BM?+FM?=/26丫+[)=±，為定值，C正確；

折疊過(guò)程中，A。不變，ABCE不動(dòng),當(dāng)F到平面ABC距離最大時(shí)，四面體C—EFB的體積最大，由

22

選項(xiàng)。的判斷知當(dāng)A。，平面A8C時(shí)，尸到平面ABC的距離最大且為耳4。=§,又

2

SARCr=—xx4=2\/3，所以此最大值為%尸產(chǎn)#=%=，x2\^x2=生后，D正確.

△6CE24YC-CFDk一BL匕3^39

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊過(guò)程中的線面間的位置關(guān)系，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查棱錐的體積計(jì)算，

本題考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查空間想象能力，屬于中檔題.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.己知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（2,4）,且P?<4）=0.8,則P（0<&<2）=.

【答案】0.3

【解析】

試題分析:正態(tài)分布均值為〃=2,P(2<x<4)=0.8-0.5=03,故尸(0<x<2)=0.3.

考點(diǎn)：正態(tài)分布.

14.若多項(xiàng)式A?'+2x"=a。+a](x+l)+,??+4o(x+l)+41(x+1)，則Go=.

【答案】-22

【解析】

【分析】

由二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式通項(xiàng)公式得2x”=2[(x+l)-lP展開(kāi)式的通項(xiàng)為卻|=23*+1)1'(-1)',令

ll-r=10,解得r=l，則4o=2C\x(—1)=-22,得解.

【詳解】由2婢=2[住+1)-1『展開(kāi)式的通項(xiàng)為加=2C；G+1)'~(T)'，

令11一廠=10,解得r=l，

則4O=2C；X(-1)=-22,

故答案為：一22.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式通項(xiàng)公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

nA

15.AABC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為若acos3+2》cosA=0,則-----=,tanC的

tanB

最大值是.

【答案】⑴.-2(2).J

4

【解析】

【分析】

nA

(1)由近。$3+2兒。5/1=0可得1@114與1@118的關(guān)系，即可求得-----的值；(2)利用誘導(dǎo)公式將tanC

tanB

用tanA、tan8表示，再利用基本不等式，即可得答案；

【詳解】丁acosB+2Z?cosA=0,

「?sinAcosB+2sin3cosA=0=>sinAcosB=-2sin8cosA=tanA=-2tanB,

tanA.

-----=-2；

tan3

「z4tanA+tanB1

.tanC=-tan(A+B)=--------------------~"T~

?1-tanA-tanB2tanB+------

tan3

由于求tanC的最大值，只需考慮tanB>0的情況,

,「一1<1_V2i

所以；一：一~1J2=~<等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)2tan8=」一.