數(shù)學(xué)七年級(jí)下學(xué)期第03講 平行線的性質(zhì)

第03講平行線的性質(zhì)（核心考點(diǎn)講與練）平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)詮釋：

（1）“同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提“兩直線平行”．(2)從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì)．考點(diǎn)一：平行線的性質(zhì)【例題1】（2021秋?宜賓期末）如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【分析】此題可以構(gòu)造輔助線，利用三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系．【解答】解：延長(zhǎng)DC交AB與G，延長(zhǎng)CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（（2020秋?寧波期末）如圖，已知AB∥CD，則下列結(jié)論中正確的是（）A．∠EAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠DCA C．∠ADB＝∠DBC【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（（2021?浙江模擬）如圖，三根木條相交形成∠1，∠2，∠3，∠4（∠1為銳角）固定木條b，c，轉(zhuǎn)動(dòng)木條a，則可能和∠1相等的角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．不存在【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：轉(zhuǎn)動(dòng)木條，當(dāng)a∥b時(shí)，∠1＝∠2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（（2021秋?鄞州區(qū)月考）如圖，AB∥CD，∠A＝25°，∠E＝80°，則∠C的度數(shù)是55°．【分析】過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEF＝∠A，∠CEF＝∠C，然后根據(jù)∠A＝25°，∠AEC＝80°計(jì)算即可得解．【解答】解：過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠AEF＝∠A＝25°，∠CEF＝∠C，又∵∠AEC＝80°，∴∠C＝∠CEF＝80°﹣25°＝55°．故答案為：55°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，此類題目難點(diǎn)在于過拐點(diǎn)作平行線．【變式訓(xùn)練4】（（2020秋?溫州期末）一副直角三角板，按如圖方式疊放在一起，其中∠A＝45°，∠D＝30°．若DF∥BC，則∠AGE等于75°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEB＝∠D＝30°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得解．【解答】解：根據(jù)題意可得，∠B＝45°，∵DF∥BC，∠D＝30°，∴∠DEB＝∠D＝30°，∴∠AGE＝∠B+∠DEB＝75°，故答案為：75°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5】（（2021秋?溫州月考）已知：如圖，直線m∥n，將Rt△ABC按如圖方式放置，其中點(diǎn)C在直線n上，點(diǎn)A在直線m上，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為40°．【分析】根據(jù)平角的定義得出∠3＝40°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．【解答】解：如圖，∵∠1＝50°，∠ACB＝90°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵m∥n，∴∠2＝∠3＝40°，故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6】（（2021春?上虞區(qū)期末）如圖，將直角三角板ABC與直尺貼在一起，使三角板ABC的直角頂點(diǎn)C在直尺的一邊上，若∠1＝63°，則∠2的度數(shù)為27°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠ACB＝90°，可以計(jì)算出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵直尺的兩邊平行，∠1＝63°，∴∠1＝∠3＝63°，∵∠2+∠3＝90°，∴∠ACB＝∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣63°＝27°，故答案為：27°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)，明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式訓(xùn)練7】（（2021秋?瓊海期末）一副三角板擺放如圖所示，斜邊FD與直角邊AC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D在直角邊BC上，且FD∥AB，∠B＝30°，則∠ADB的度數(shù)是（）A．95° B．105° C．115° D．125°【分析】由題意可知∠ADF＝45°，則由平行線的性質(zhì)可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，從而可求∠ADB的度數(shù)．【解答】解：由題意得∠ADF＝45°，∵FD∥AB，∠B＝30°，∴∠B+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【變式訓(xùn)練8】（（2021?浙江模擬）如圖，將一副直角三角板按如圖所示位置擺放，∠A＝∠FDE＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，點(diǎn)D在邊AC上，若EF∥BC，則∠ADE的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．75° D．80°【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠DGC＝∠E＝30°，則可求∠BGD的度數(shù)，利用四邊形的內(nèi)角和即可求得∠ADE的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵EF∥BC，∠E＝30°，∴∠DGC＝∠E＝30°，∴∠BGD＝180°﹣∠DGC＝150°，∵∠A＝∠FDE＝90°，∠B＝45°，在四邊形ABGD中，∠ADE＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠BGD＝75°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．【變式訓(xùn)練9】（（2021?義烏市模擬）如圖，一輛汽車經(jīng)過兩次轉(zhuǎn)彎后，行駛的方向與原來(lái)保持平行，如果第一次轉(zhuǎn)過的角α為64°，則第二次轉(zhuǎn)過的角β為116°．【分析】由已知條件可先求得∠BAC，再利用平行線的性質(zhì)可得到β的度數(shù)．【解答】解：∵∠α＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠α＝116°，∵AB∥CD，∴∠β＝∠BAC＝116°，故答案為：116．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練10】（（2020秋?柯橋區(qū)期末）如圖，把△ABC剪成三部分，邊AB，BC，AC放在同一直線l上，點(diǎn)O都落在直線MN上，直線MN∥l．在△ABC中，若∠BOC＝125°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【分析】首先利用平行線間的距離處處相等，得到點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)O為三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，從而容易得到∠ABC+∠ACB＝2（180°﹣125°），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)O分別作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，如圖，∵直線MN∥AB，∴OD＝OE＝OF，∴點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)O為三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×（180°﹣125°）＝110°，∴∠BAC＝70°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)心的判定及性質(zhì)，利用平行線間的距離處處相等判定點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練11】（（2021秋?平陽(yáng)縣期中）如圖1是一個(gè)消防云梯，其示意圖如圖2所示，此消防云梯由救援臺(tái)AB，延展臂BC（B在C的左側(cè)），伸展主臂CD，支撐臂EF構(gòu)成，在操作過程中，救援臺(tái)AB，車身GH及地面MN三者始終保持平行．當(dāng)∠EFH＝65°，BC∥EF時(shí)，∠ABC＝115度；如圖3，為了參與另外一項(xiàng)高空救援工作，需要進(jìn)行調(diào)整，使得延展臂BC與支撐臂EF所在直線互相垂直，且∠EFH＝68°，則這時(shí)∠ABC＝158度．【分析】在圖2中，延長(zhǎng)CB，HG，相交于點(diǎn)K，由平行線的性質(zhì)可得∠BKH＝∠EFH＝65°，再利用AB∥GH，可得∠ABK的度數(shù)，從而可求∠ABC的度數(shù)；在圖3中，延長(zhǎng)BC，F(xiàn)E，相交于點(diǎn)P，則可得BP⊥EP，延長(zhǎng)AB交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，利用平行線的性質(zhì)可求得∠Q＝∠EFH＝68°，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，從而求得∠ABC的度數(shù)．【解答】解：在圖2中，延長(zhǎng)CB，HG，相交于點(diǎn)K，如圖所示：∵BC∥EF，∠EFH＝65°，∴∠BKH＝∠EFH＝65°，∵AB∥GH，∴∠ABK＝∠BKH＝65°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABK＝115°；在圖3中，延長(zhǎng)BC，F(xiàn)E，相交于點(diǎn)P，則可得BP⊥EP，延長(zhǎng)AB交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，如圖所示：∵AB平行FH，∠EFH＝68°，∴∠Q＝∠EFH＝68°，∵延展臂BC與支撐臂EF所在直線互相垂直，∴∠BPQ＝90°，∴∠ABC＝∠BPQ+∠Q＝90°+68°＝158°，故答案為：115，158．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是作出正確的輔助線．【變式訓(xùn)練12】（（2021春?嵊州市期末）如圖，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分別平分∠ABO，∠OCD，則∠2﹣∠1＝40°．【分析】延長(zhǎng)BO，交CD于點(diǎn)M，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABM＝∠BMC，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)及平角定義可得∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，再由角平分線定義可得答案．【解答】解：延長(zhǎng)BO，交CD于點(diǎn)M，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠BMC，∵∠BOC＝∠BMC+∠OCM，∠OCM＝180°﹣∠OCD，∴∠BOC＝∠ABM+180°﹣∠OCD，∵∠BOC＝100°，BE，CF分別平分∠ABO，∠OCD，∴∠ABM＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴100°＝2∠1+180°﹣2∠2，∴∠2﹣∠1＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是平行線的性質(zhì)，利用三角形外角性質(zhì)得到角的和差關(guān)系是解決此題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練13】（（2021春?嵊州市期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿EB，CF折疊成圖1，使AB，CD在同一直線上，再沿BF折疊成圖2，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，BD'交CF于點(diǎn)P，若∠CEB＝37°，則∠CPB的度數(shù)為（）A．110° B．111° C．112° D．113°【分析】由題意可得：EG∥HF，利用平行線的性質(zhì)可得：∠BCG＝∠CBH，∠HBE＝∠CEB＝37°，∠FCG＝∠BFC，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得：∠CBE＝∠BCF＝∠BFC＝∠CEB＝37°，∠CBH＝74°，利用三角形的外角性質(zhì)可求解．【解答】解：如圖所示由題意得：EG∥HF，∴∠BCG＝∠CBH，∠HBE＝∠CEB＝37°，∠FCG＝∠BFC，由折疊性質(zhì)得：∠HBE＝∠CBE＝∠CBH，∠FCG＝∠BCF＝∠BCG，∴∠CBE＝∠BCF＝∠BFC＝∠CEB＝37°，∠CBH＝74°，∴∠DBF＝∠CBH＝74°，在圖2中，由折疊的性質(zhì)得：∠BFP＝∠BFC＝37°，∠FBD'＝∠DBF＝74°，∴∠CPB＝∠FBD'+∠BFP＝111°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．【變式訓(xùn)練14】（（2021春?諸暨市期末）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生折射．如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣發(fā)生折射，光線變成FH，點(diǎn)G在射線EF上，已知∠HFB＝25°，∠FED＝65°，則∠GFH＝40°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)知∠GFB＝∠FED＝65°，結(jié)合圖形求得∠GFH的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝65°，∴∠GFB＝∠FED＝65°．∵∠HFB＝25°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝65°﹣25°＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等．考點(diǎn)二：平行線的判定與性質(zhì)【例題2】（2021春?浦江縣期末）如圖是小聰同學(xué)的作業(yè)，在※處填的理由是（）如圖，∠A+∠D＝180°，則∠DCE＝∠B．完成下面的說(shuō)理過程．解：已知∠A+∠D＝180°，根據(jù)（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），得AB∥CD又根據(jù)（※）得∠DCE＝∠BA．兩直線平行，同位角相等 B．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 C．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) D．同位角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：已知∠A+∠D＝180°，根據(jù)（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），得AB∥CD又根據(jù)（兩直線平行，同位角相等）得∠DCE＝∠B，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2021春?拱墅區(qū)期末）如圖，能判定BE∥CD的條件是（）A．∠BAD+∠2＝180° B．∠1＝∠B C．∠BAD+∠B＝180° D．∠1＝∠D【分析】利用平行線的判定條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，不難得出結(jié)果．【解答】解：A．∠BAD與∠2不屬于是同旁內(nèi)角，當(dāng)∠BAD+∠2＝180°時(shí)，故不能判定BE∥CD，則A不符合題意；B．∠1與∠B屬于同位角，當(dāng)∠1＝∠B時(shí)，則AD∥BC，故B不符合題意；C．∠BAD與∠B屬于是同旁內(nèi)角，當(dāng)∠BAD+∠B＝180°時(shí)，則AD∥BC，故C不符合題意；D．∠1與∠D屬于是內(nèi)錯(cuò)角，當(dāng)∠1＝∠D時(shí)，則BE∥CD，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定條件，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，明確清楚各角之間的關(guān)系，結(jié)合平行線的判定條件進(jìn)行判斷．【變式訓(xùn)練2】（2021春?拱墅區(qū)期末）如圖，已知直線AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分線，若∠1＝∠2，∠2+∠4＝120°，則∠3＝40°．【分析】由∠1＝∠2，判定AB∥CD，得到∠3＝∠4，∠AEF＝∠2，再由角平分線的定義得到∠2＝2∠4，可求出∠4＝40°，即可得解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴∠3＝∠4，∠AEF＝∠2，∵EG是∠AEF的角平分線，∴∠AEF＝∠2＝2∠4，∵∠2+∠4＝120°，∴∠4＝40°，∴∠3＝40°，故答案為：40°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記“同位角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，∠1＝∠2＝∠3＝55°，求∠4的度數(shù)．請(qǐng)完善解答過程，并在括號(hào)內(nèi)填寫相應(yīng)的理論依據(jù)．解：∵∠1＝∠2＝55°（已知），∴l(xiāng)1∥l2（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠3+∠4＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠3＝55°（已知），∴∠4＝125°．【分析】根據(jù)平行線的判定定理及性質(zhì)定理解答即可．【解答】解：∵∠1＝∠2＝55°（已知），∴l(xiāng)1∥l2（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠3+∠4＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠3＝55°（已知），∴∠4＝125°，故答案為：l1；l2；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；125°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】（2021春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知a，b，c，d四條直線，若∠1＝105°，∠2＝75°，∠3＝65°，則∠4＝65度．【分析】由對(duì)頂角的性質(zhì)和已知條件得到∠2+∠5＝180°，由平行線的判定推出a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠4．【解答】解：∵∠5＝∠1＝105°，∠2＝75°，∴∠2+∠5＝180°，∴a∥b，∴∠4＝∠3＝65°，故答案為：65．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，根據(jù)∠2+∠5＝180°，推出a∥b是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5】（2021?金華）某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（）如圖，已知直線l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4．請(qǐng)完成下面的說(shuō)理過程．解：已知∠1＝∠2，根據(jù)（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），得l1∥l2．再根據(jù)（※），得∠3＝∠4．A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)【分析】先證l1∥l2，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：已知∠1＝∠2，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得l1∥l2，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得∠3＝∠4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6】（2021?椒江區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，AD與BC交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AD上，∠C＝∠3，∠2＝80°，∠1+∠3＝140°，∠A＝∠D，求∠B的度數(shù)．【分析】根據(jù)平行線的判定得出BC∥EF，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵∠C＝∠3，∴BC∥EF，∴∠1+∠2＝180°，∵∠2＝80°，∴∠1＝100°，∵∠1+∠3＝140°，∴∠3＝40°，∵∠C＝∠3，∴∠C＝40°，∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴∠B＝∠C＝40°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)同位角相等，兩直線平行解答．【變式訓(xùn)練7】（2021春?嵊州市期末）如圖，D是BC上一點(diǎn)，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E．（1）若∠1＝∠A，判斷DF與AC是否平行，并說(shuō)明理由；（2）若DF∥AC，∠B+∠C＝120°，求∠1的度數(shù)．【分析】（1）依據(jù)DE∥AB，可得∠A＝∠DEC，再根據(jù)∠1＝∠A，即可得到∠1＝∠DEC，進(jìn)而得出DF∥AC；（2）依據(jù)DF∥AC，DE∥AB，即可得到∠B＝∠CDE，∠C＝∠BDF，再根據(jù)∠B+∠C＝120°及平角定義可得答案．【解答】解：（1）DF∥AC．理由如下：∵DE∥AB，∴∠A＝∠DEC，又∵∠1＝∠A，∴∠1＝∠DEC，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，DE∥AB，∴∠B＝∠CDE，∠C＝∠BDF，∵∠B+∠C＝120°，∴∠CDE+∠BDF＝120°，∴∠1＝180°﹣（∠CDE+∠BDF）＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練8】（2021春?任丘市期末）如圖，直線l1，l2被l3所截，下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③l1∥l2，其中能判斷AC∥BD的條件是①．【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可判斷AC∥BD．【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AC∥BD（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：①．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確區(qū)分平行線的判定與性質(zhì)．【變式訓(xùn)練9】（2021?溫州三模）如圖，已知AB⊥BC，DE⊥AB，∠1＝∠2．（1）請(qǐng)說(shuō)明BD∥FG的理由．（2）若D是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，已知AB＝4，BC＝3，求FG的長(zhǎng)度．【分析】（1）由AB⊥BC，DE⊥AB可得到DE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠DBC結(jié)合∠1＝∠2可得結(jié)論；（2）利用勾股定理先求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)斜邊與其中線的關(guān)系求出BD的長(zhǎng)，最后利用中位線定理求出FG．【解答】解：（1）BD∥FG的理由如下：∵AB⊥BC，DE⊥AB，∴DE∥BC．∴∠1＝∠DBC．∵∠1＝∠2，∴∠DBC＝∠2．∴BD∥FG．（2）在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5．∵D是AC的中點(diǎn)，∴BD＝AC＝．∵F是BC的中點(diǎn)，BD∥FG，∴FG是△CBD的中位線．∴FG＝BD＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定、勾股定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，學(xué)會(huì)分析，綜合利用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練10】（2021春?長(zhǎng)興縣月考）如圖，已知CF∥AG，E是直線AB上的一點(diǎn)，CE平分∠ACD，射線CF⊥CE，∠2＝58°．（1）求∠ACE的度數(shù)；（2）若∠1＝32°，說(shuō)明：AB∥CD．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵CF∥AG，∴∠FCH＝∠2＝58°，∵CF⊥CE，∴∠FCE＝90°，∴∠ACE＝90°﹣58°＝32°；（2）當(dāng)∠1＝32°時(shí)，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠ACE＝32°，∵∠1＝32°，∴∠1＝∠DCE，∴AB∥CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．類型一、平行線的性質(zhì) 例1、如圖，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度數(shù).【答案與解析】解：作PM∥AB，交AC于點(diǎn)M，如圖：∵AB∥CD∴∠CAB+∠ACD=180°∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD∴∠1+∠4=90°∵AB∥PM∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2+∠3=90°∴∠APC=90°【總結(jié)升華】平行線與角的關(guān)系非常密切，平行線的性質(zhì)都是以角的關(guān)系來(lái)體現(xiàn)，在求角度的過程中，如果能夠適時(shí)運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將會(huì)使問題的解決顯得簡(jiǎn)便快捷．【變式】如圖，直線AB∥CD，∠C=44°，∠E為直角，則∠1等于（）A．132° B．134° C．136° D．138°【答案】B解：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC為直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°.類型二、兩平行線間的距離例2、如圖，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A為垂足，C2，C3是l1上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)B在l2上．設(shè)△ABC1的面積為S1，△ABC2的面積為S2，△ABC3的面積為S3，小穎認(rèn)為S1=S2=S3，請(qǐng)幫小穎說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩平行線間的距離相等，即可解答．【答案與解析】解：∵直線l1∥l2，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底邊AB上的高相等，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3這3個(gè)三角形同底，等高，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3這些三角形的面積相等．即S1=S2=S3．【總結(jié)升華】本題考查了平行線之間的距離，解本題的關(guān)鍵是明確兩平行線間的距離相等．【變式】下圖是一個(gè)方形螺線．已知相鄰均為1厘米，則螺線總長(zhǎng)度是厘米.【答案】35類型三、平行的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用例3、如圖所示，在長(zhǎng)為50m，寬為22m的長(zhǎng)方形地面上修筑寬度都為2m的道路，余下的部分種植花草，求種植花草部分的面積．【思路點(diǎn)撥】因種植花草部分比較分散，且有的是不規(guī)則的圖形，所以直接求其面積較困難．因小路都是寬度相同的長(zhǎng)方形，所以可想到把小路平移到一起，這樣種植花草部分將匯集成一個(gè)長(zhǎng)方形，問題便迎刃而解．【答案與解析】解：如圖所示②把幾條2米寬的小路分別平移到大長(zhǎng)方形的上邊緣和左邊緣，則種植花草部分匯集成一個(gè)長(zhǎng)方形，顯然，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是50-2＝48(m)，寬是22-2＝20(m)，于是種植花草部分的面積為48×20＝960(m2)．【總結(jié)升華】若分步計(jì)算則較繁瑣．但采用“平移”的手段從整體上把握，問題便迅速求解．【變式】如圖①，在寬為20m、長(zhǎng)為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬度的道路，余下部分作為耕地．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得耕地的面積為()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2【答案】B例4、如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點(diǎn)K，下面給出三個(gè)論斷：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．請(qǐng)你以其中的兩個(gè)論斷為條件，填入“已知”欄中，以一個(gè)論斷為結(jié)論，填人“試說(shuō)明”欄中，使之成為一個(gè)完整的正確命題，并將理由敘述出來(lái)．已知：如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點(diǎn)K，________，________，試說(shuō)明________．【答案與解析】解：三個(gè)論斷分別可以組成①②③；①③②；②③①三種不同情形的命題，選擇其中任何一個(gè)即可．以①②③為例，說(shuō)明如下已知：如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點(diǎn)K，∠B＝∠E，AB∥DE，試說(shuō)明BC∥EF．理由敘述：因?yàn)锳B∥DE，所以∠B＝∠CKD．又因?yàn)椤螧＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．【總結(jié)升華】此類問題具有較強(qiáng)的靈活性，解決這類題的基本思路是先寫出可能的結(jié)果，再判斷其是否正確．【變式】已知，如圖，∠1=∠2，∠3=65°，則∠4＝.【答案】115°例5、如圖，AB∥CD，點(diǎn)M，N分別為AB，CD上的點(diǎn).（1）若點(diǎn)P1在兩平行線內(nèi)部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，則∠MP1N＝；（2）若P1，P2在兩平行線內(nèi)部，且P1P2不與AB平行，如圖，請(qǐng)你猜想∠AMP1+∠P1P2N與∠MP1P2+∠P2ND的關(guān)系，并證明你的就論；（3）如圖，若P1，P2，P3在兩平行線內(nèi)部，順次連結(jié)M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不與AB平行，直接寫出你得到的就論.【答案與解析】解：（1）75°；（2）結(jié)論：∠AMP1+∠P1P2N＝∠MP1P2+∠P2ND證明：如圖，分別過P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.又∵AB∥CD，∴∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.∴∠AMP1+∠P1P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1P2+∠P2ND.（3）∠BMP1+∠P1P2P3+∠P3ND＝∠MP1P2+∠P2P3N.【總結(jié)升華】通過作平行線，問題便迅速得到解決.【變式】如圖所示，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是()A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共6小題）1．（2021春?上虞區(qū)期末）如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊，設(shè)∠1為x度，用關(guān)于x的代數(shù)式表示α，則表示正確的是（）A．α＝120°﹣x B．α＝90°﹣x C．α＝60°+x D．α＝45°+x【分析】利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性解決問題即可．【解答】解：如圖，∵AB∥CD，∴∠2＝∠1＝x，∠3＝∠α，由折疊的性質(zhì)得到，∠3＝∠4＝（180°﹣∠2）＝90°﹣x，∴α＝∠3＝90°﹣x．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)定理及折疊的性質(zhì)．2．（2021春?北侖區(qū)期末）如圖，平行直線a，b被直線c所截，∠1＝120°，則∠2的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】由兩直線平行同位角相等得到∠1＝∠3＝120°，再根據(jù)∠2和∠3互為鄰補(bǔ)角求出∠2的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵a∥b，∴∠1＝∠3，∵∠1＝120°，∴∠3＝120°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣120°＝60°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩直線平行，同位角相等，以及鄰補(bǔ)角的概念，熟記定理與概念是解此題的基礎(chǔ)．3．（2021春?西湖區(qū)期末）如圖，直線a與直線b被直線c所截，b⊥c，垂足為點(diǎn)A，∠1＝60°，若使直線b與直線a平行，則可將直線b繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）A．60° B．40° C．30° D．20°【分析】先根據(jù)b⊥c得出∠2的度數(shù)，再由平行線的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】解：∵b⊥c，∴∠2＝90°．∵∠1＝60°，a∥b，∴直線b繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：90°﹣60°＝30°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)定理，熟知兩直線平行，同位角相等是解答此題的關(guān)鍵．4．（2021春?拱墅區(qū)期中）下列語(yǔ)句中正確的是（）A．經(jīng)過一點(diǎn)有只有一條直線與已知直線平行 B．如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等 C．垂直于同一直線的兩條直線互相平行 D．平行于同一條直線的兩條直線互相平行【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，平行線公理及推論逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A、過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)不符合題意；B、如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行，故本選項(xiàng)不符合題意；D、平行于同一條直線的兩條直線互相平行，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行線公理及推論等知識(shí)點(diǎn)，能熟記知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．5．（2020?奎文區(qū)一模）如圖，若∠A+∠ABC＝180°，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠3【分析】先根據(jù)∠A+∠ABC＝180°，得出AD∥BC，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．6．（2020春?曹縣期末）如圖，點(diǎn)D、E、F分別在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有條件（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD【分析】由平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠2，再由∠1＝∠DFE，得出∠2＝∠DFE，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得出DF∥BC．【解答】解：要使DF∥BC，只需再有條件∠1＝∠DFE；理由如下：∵EF∥AB，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠DFE，∴∠2＝∠DFE，∴DF∥BC；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）7．（2021春?拱墅區(qū)期末）如圖，AB∥CD，CB∥DE，若∠D＝2∠B+30°，則∠C的度數(shù)為50°．【分析】先根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠B＝∠C，再利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∠C+∠D＝180°，然后利用等量代換得到∠B+∠D＝180°，由∠D＝2∠B+30°，可得∠B的度數(shù)，易得∠C．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵CB∥DE，∴∠C+∠D＝180°，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝2∠B+30°，∴∠B+2∠B+30°＝180°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°．故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是解得∠B的度數(shù)．8．（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分線，∠A＝60°，∠B＝76°，則∠EDC的度數(shù)為22°．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)求出∠BCD的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝60°，∠B＝76°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣76°＝44°．∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACB＝22°．∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝22°．故答案為：22°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)定理及三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．9．（2021?寧波模擬）如圖，AB⊥CD于點(diǎn)B，BE∥AC，∠DBE＝40°，則∠A的度數(shù)為50度．【分析】直接利用垂線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵AB⊥CD，∴∠DBA＝∠DBE+∠ABE＝90°,∵∠DBE＝40°，∴∠ABE＝90°﹣∠DBE＝50°，∵BE∥AC，∴∠A＝∠ABE＝50°,故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．10．（2021?江干區(qū)模擬）如圖，AB∥CD，EF分別與AB，CD交于點(diǎn)B，F(xiàn)．若∠E＝35°，∠EFC＝120°，則∠A＝25°．【分析】直接利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)得出∠ABF＝60°，進(jìn)而利用三角形外角的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠ABF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵∠A+∠E＝∠ABF，∠E＝35°，∴∠A＝25°．故答案為：25°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠ABF＝60°是解題關(guān)鍵．11．（2020春?如皋市期末）如圖，已知∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝70°，則∠4＝110°．【分析】由∠1，∠2互補(bǔ)及鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得出∠2＝∠5，利用“同位角相等，兩直線平行”可得出l1∥l2，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出∠3＝∠6，再結(jié)合∠3的度數(shù)及∠4，∠6互補(bǔ)可求出∠4的度數(shù)．【解答】解：∵∠1＝80°，∠2＝100°，∴∠1+∠2＝180°．∵∠1+∠5＝180°，∴∠2＝∠5，∴l(xiāng)1∥l2，∴∠3＝∠6．∵∠4+∠6＝180°，∠3＝∠6＝70°，∴∠4＝110°．故答案為：110°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)，求出∠6的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．（2020春?下城區(qū)期末）如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4＝130°．【分析】首先證明b∥c，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠3+∠6＝180°，進(jìn)而可以計(jì)算出∠6的度數(shù)，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠4的度數(shù)．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1＝∠5，∴∠5＝∠2，∴b∥c，∴∠3+∠6＝180°，∵∠3＝50°，∴∠6＝130°，∴∠4＝130°．故答案為：130°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)定理．三．解答題（共8小題）13．（2021春?寧陽(yáng)縣期末）如圖，CD是∠ACB的平分線，∠ACB＝82°，∠B＝48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數(shù)．【分析】由平分線的性質(zhì)可得∠BCD的大小，又由平行線及三角形內(nèi)角和定理可得∠EDC和∠BDC的大?。窘獯稹拷猓骸逤D是∠ACB的平分線，∠ACB＝82°，∴∠DCB＝∠ACD＝41°，又∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝41°，在△BCD中，∵∠B＝48°，∠DCB＝41°，∴∠BDC＝180°﹣48°﹣41°＝91°．∴∠EDC和∠BDC的度數(shù)分別為41°、91°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．14．（2019春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，∠B＝60°，∠FCG＝90°，CF平分∠BCE，求∠BCG的度數(shù)．【分析】根據(jù)題意和平行線的性質(zhì)可以求得∠BCE的度數(shù)，然后根據(jù)CF平分∠BCE，即可得到∠FCB的度數(shù)，再根據(jù)∠FCG＝90°，即可得到∠BCG的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCE＝180°，∵∠B＝60°，∴∠BCE＝120°，∵CF平分∠BCE，∴∠FCB＝60°，∵∠FCG＝90°，∴∠BCG＝∠FCG﹣∠FCB＝90°﹣60°＝30°，即∠BCG＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．15．（2018春?椒江區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，求∠2的度數(shù)．【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠C＝∠1，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠2＝∠C．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠C＝∠1＝70°，∵AF∥BC，∴∠2＝∠C＝70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．16．（2021春?嘉興期末）如圖，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．（1）判斷DF與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）利用對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF+∠BAC＝180°，利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可得DF∥AC；（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行線的判定定理和性質(zhì)定理易得結(jié)果．【解答】解：（1）DF∥AC．理由：∵∠DEB＝100°，∴∠AEF＝∠DEB＝100°，∵∠BAC＝80°，∴∠AEF+∠BAC＝180°，∴DF∥AC；（2）∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠C，∵∠ADF＝∠C，∴∠BFD＝∠ADF，∴AD∥BC，∴∠B＝∠BAD，∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝120°﹣80°＝40°，∴∠B＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定定理和性質(zhì)定理，綜合運(yùn)用定理是解答此題的關(guān)鍵．17．（2021春?慈溪市期末）如圖，已知AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，說(shuō)明AD∥BC的理由．【分析】由平行線的性質(zhì)得到∠ABC+∠BCD＝180°，等量代換得到∠CDA+∠BCD＝180°，即可判定AD∥BC．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠CDA，∴∠CDA+∠BCD＝180°，∴AD∥BC．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”及“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．18．（2021春?雙遼市期末）如圖所示，AD與BE相交于點(diǎn)F，∠A＝∠C，∠1與∠2互補(bǔ)．證明：AB∥CE．【分析】先由∠1＝∠BFD得出∠BFD+∠2＝180°，故可得出AD∥BC，故可得出∠ADE＝∠C，據(jù)此可得出∠A＝∠ADE，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】證明：∵∠1＝∠BFD，∠1+∠2＝180°，∴∠BFD+∠2＝180°，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠ADE，∴AB∥CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定與性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．19．（2021春?鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠4＝∠A，試說(shuō)明∠ACB＝∠DEB．解：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵∠1+∠5＝180°（平角的意義），∴∠2＝∠5（同角的補(bǔ)角相等），∴AB∥EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠3＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠4＝∠A（已知），∴∠3＝∠A（等量代換），∴DE∥AC（同位角相等，兩直線平行），∴∠ACB＝∠DEB（兩直線平行，同位角相等）．【分析】應(yīng)用平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行求解即可得出答案．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°（已知），又∵∠1+∠5＝180°（平角的意義），∴∠2＝∠5（同角的補(bǔ)角相等），∴AB∥EF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠3＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠4＝∠A（已知），∴∠3＝∠A（等量代換），∴DE∥AC（同位角相等，兩直線平行），∴∠ACB＝∠DEB（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：∠1；∠5；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∠4；∠3；DE；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．20．（2021春?拱墅區(qū)期中）如圖，F(xiàn)G∥CD，∠1＝∠3，∠B＝60°，求∠BDE的度數(shù)，請(qǐng)把下面的解答過程補(bǔ)充完整．解：∵FG∥CD（已知），∴∠1＝∠DCB（兩直線平行，同位角相等）．又∵∠1＝∠3（已知），∴∠3＝∠DCB（等量代換），∴BC∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠B+∠BDE＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．又∵∠B＝60°（已知），∴∠BDE＝120°（等式的性質(zhì)）．【分析】由FG∥CD可得出∠1＝∠2，結(jié)合∠1＝∠3可得出∠3＝∠2，利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得出BC∥DE，再利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”結(jié)合∠B＝50°即可求出∠BDE的度數(shù)．【解答】解：∵FG∥CD（已知），∴∠1＝∠DCB（兩直線平行，同位角相等）．又∵∠1＝∠3（已知），∴∠3＝∠DCB（等量代換），∴BC∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠B+∠BDE＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．又∵∠B＝50°（已知），∴∠BDE＝120°（等式的性質(zhì)）．故答案為：∠DCB；兩直線平行，同位角相等；∠DCB；等量代換；DE；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∠BDE；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；120°；等式的性質(zhì)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，能夠利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，找出∠B+∠BDE＝180°是解題的關(guān)鍵．聲題組B能力提升練一．選擇題（共7小題）1．（2021春?浦江縣期末）如圖，AD∥BE，AC與BC相交于點(diǎn)C，且∠1＝∠DAB，∠2＝∠EBA．若∠C＝45°，則n＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】過C點(diǎn)作CF∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得CF∥AD∥BE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1+∠2＝45°，∠DAB+∠EBA＝180°，依此即可求解．【解答】解：如圖，過C點(diǎn)作CF∥BE，∵AD∥BE，∴CF∥AD∥BE，∴∠1＝∠ACF，∠2＝∠BCF，∠DAB+∠EBA＝180°，∴∠1+∠2＝∠ACF+∠BCF＝∠C＝45°，∵∠1＝∠DAB，∠2＝∠EBA，∴∠1+∠2＝∠DAB+∠EBA＝（∠DAB+∠EBA）＝45°，∴n＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2．（2021春?椒江區(qū)期末）如圖，BD為∠ABC的角平分線，AD∥BC，∠BDC＝90°，∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠A+∠C＝180° B．∠A＝2∠C C．∠A﹣∠C＝90° D．∠A+∠C＝90°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，可以得到∠A和∠C的關(guān)系，從而可以解答本題．【解答】解：∵BD為∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∴∠A+2∠DBC＝180°，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠C＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠C，∴∠A+2（90°﹣∠C）＝180°，∴∠A﹣2∠C＝0，即∠A＝2∠C，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2021春?望城區(qū)期末）將一個(gè)直角三角板和一把直尺按如圖所示擺放，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．50° D．55°【分析】由平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和作答．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠2＝∠3（對(duì)頂角相等），∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝55°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．4．（2021?啟東市模擬）如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿EF對(duì)折，若∠1＝44°，則∠AEF等于（）A．136° B．102° C．122° D．112°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角的定義，可以得到∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠AEF的度數(shù)．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可得，∠2＝∠3，∵∠1＝44°，∴∠2＝∠3＝68°，∵AD∥BC，∴∠AEF+∠3＝180°，∴∠AEF＝112°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一副三角板如圖放置，則下列結(jié)論：①∠1＝∠3；②如果∠2＝45°，則有BC∥AE；③如果∠2＝30°，則有DE∥AB；④如果∠2＝45°，必有∠4＝∠E．其中正確的有（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形和三角形內(nèi)角和定理逐個(gè)判斷即可．【解答】解：如圖，∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAD﹣∠2＝∠CAB﹣∠2，∴∠1＝∠3，故①正確；∴∠1＝∠3＝45°，∵△CAB是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∴∠B+∠1+∠2+∠3＝180°，∴BC∥AE，故②正確；∵∠2＝30°，∴∠1＝90°﹣30°＝60°，∵∠D＝30°，∴∠1≠∠D，∴DE和AB不平行，故③錯(cuò)誤；∵∠2＝45°，∠D＝30°，∴∠CMD＝∠2+∠D＝75°，∵∠C＝45°，∴∠4＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵∠E＝60°，∴∠4＝∠E，故④正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．6．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，則下列結(jié)論：①GH∥BC；②∠D＝∠F：③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)平行線的判定得出GH∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠HGM，∠1＝∠D，再逐個(gè)判斷即可．【解答】解：∵∠B＝∠AGH，∴GH∥BC，故①正確；∴∠1＝∠HGM，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGM，∴DE∥GF，∵GF⊥AB，∴HE⊥AB，故④正確；∵GF∥DE，∴∠D＝∠1，∵∠1＝∠CMF，根據(jù)已知條件不能推出∠F＝∠CMF，即不能推出∠D＝∠F，故②錯(cuò)誤；∵∠AHG＝∠2+∠AHE，根據(jù)已知不能推出∠2＝∠AHE，故③錯(cuò)誤；即正確的有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．7．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，小明用兩塊同樣的三角板，按下面的方法作出了平行線，則AB∥CD的理由是（）A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠6 D．∠2+∠3+∠6＝180°【分析】根據(jù)平行線的判定逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A、根據(jù)∠2＝∠4不能推出AB∥CD，故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)∠3＝∠4能推出AB∥CD，故本選項(xiàng)符合題意；C、根據(jù)∠5＝∠6不能推出AB∥CD，故本選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)∠2+∠3+∠6＝180°不能推出AB∥CD，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的判定有：①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．二．填空題（共9小題）8．（2021?深圳模擬）將一把直尺和一塊含30°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度數(shù)為12°．【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝42°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得答案．【解答】解：由題意知DE∥AF，∠CDE＝42°，∴∠AFD＝∠CDE＝42°，∵∠B＝30°，∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝42°﹣30°＝12°，故答案為：12°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行同位角相等與三角形外角的性質(zhì)．9．（2020秋?奉化區(qū)校級(jí)期末）在平面內(nèi)，將一個(gè)直角三角板按如圖所示擺放在一組平行線上，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)是35°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可以求得∠2的度數(shù)，本題得以解決．【解答】解：∵圖中的直線互相平行，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案為：35°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意．利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．（2020春?東陽(yáng)市期末）已知直線AB∥CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按順時(shí)針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按順時(shí)針方向每秒1°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時(shí)射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線PB、QC同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間30秒時(shí)，PB'與QC'的位置關(guān)系為PB′⊥QC′；（2）若射線QC先轉(zhuǎn)45秒，射線PB才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為15秒或63秒或135秒時(shí)，PB′∥QC′．【分析】（1）求出旋轉(zhuǎn)30秒時(shí)，∠BPB′和∠CQC′的度數(shù)，過E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠PEF和∠QEF的度數(shù)，進(jìn)而得結(jié)論；（2）分三種情況：①當(dāng)0s＜t≤45時(shí)，②當(dāng)45s＜t≤67.5s時(shí)，③當(dāng)67.5s＜t＜135s時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角的關(guān)系，列出t的方程便可求得旋轉(zhuǎn)時(shí)間．【解答】解：（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間30秒時(shí)，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，過E作EF∥AB，則EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案為：PB′⊥QC′；（2）①當(dāng)0s＜t≤45時(shí)，如圖2，則∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；②當(dāng)45s＜t≤67.5s時(shí)，如圖3，則∠APB′＝（4t）°﹣180°，∠CQC'＝t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；③當(dāng)67.5s＜t＜135s時(shí)，如圖4，則∠BPB′＝（4t）°﹣360°，∠CQC′＝t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；綜上，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為15秒或63秒或135秒時(shí)，PB′∥QC′．故答案為：15秒或63秒或135秒．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，第（1）題關(guān)鍵是作平行線，第（2）題關(guān)鍵是分情況討論，運(yùn)用方程思想解決幾何問題．11．（2021秋?平陽(yáng)縣期中）如圖，放置在水平操場(chǎng)上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB，EF與上拉桿CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面，通過調(diào)整CF和后拉桿BC的位置來(lái)調(diào)整籃筐的高度．當(dāng)∠CDB＝40°時(shí)，點(diǎn)H，D，B在同一直線上，則∠H的度數(shù)是110°．【分析】過D點(diǎn)作DI∥EF，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求∠FDI＝30°，根據(jù)平角的定義可求∠ADB＝25°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求∠ABH＝65°，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求∠H＝115°．【解答】解：過D點(diǎn)作DI∥EF，如圖，∵∠F＝150°，∴∠FDI＝30°，∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°﹣40°＝20°，∴∠ABH＝90°﹣20°＝70°．∵GH∥AB，∴∠H＝180°﹣70°＝110°．故答案為：110°．【點(diǎn)評(píng)】考查了平行線的性質(zhì)，平行線性質(zhì)定理：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．12．（2020春?海曙區(qū)期末）兩塊不同的三角板按如圖所示擺放，兩個(gè)直角頂點(diǎn)C重合，∠A＝60°，∠D＝45°．接著保持三角板ABC不動(dòng)，將三角板CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，但保證點(diǎn)D在直線AC的上方，若三角板CDE有一條邊與斜邊AB平行，則∠ACD＝30°或120°或165°．【分析】分CE、DE、CD與AB平行分別作出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，CD∥AB，∠BCD＝∠B＝30°，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°；如圖2，DE∥AB時(shí)，延長(zhǎng)EC交AB于F，則∠AFC＝∠E＝45°，在△ACF中，∠ACF＝180°﹣∠A﹣∠AFC，＝180°﹣60°﹣45°＝75°，則∠BCF＝90°﹣∠ACF＝90°﹣75°＝15°．∴∠ACD＝180°﹣∠BCF＝180°﹣15°＝165°；如圖3，CD∥CE∥AB時(shí)，∠ACD＝30°，故答案為：30°或120°或165°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的逐漸增大分別作出圖形．13．（2021春?濱江區(qū)校級(jí)期末）如圖a，已知長(zhǎng)方形紙帶ABCD，將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b，若∠DEF＝72°，則∠GMN＝72°．【分析】先根據(jù)∠DEF＝72°求出∠EFC的度數(shù)，進(jìn)可得出∠EFB和∠BFH的度數(shù)，根據(jù)∠H＝90°和三角形的內(nèi)角和可得∠HMF的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)可得∠GMN．【解答】解：∵AD∥CB，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．∵∠H＝∠D＝90°，∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．由折疊可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，∴∠GMN＝72°．故答案為：72．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)得到角相等是解題關(guān)鍵．14．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD∥OB交∠AOB的平分線OE于點(diǎn)F，作CH⊥OB交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若∠EFD＝α，現(xiàn)有以下結(jié)論：①∠COF＝α；②∠AOH＝180°﹣2α；③CH⊥CD；④∠OCH＝2α﹣90°．其中正確的是①②③④（填序號(hào)）．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EOB＝∠EFD＝α，結(jié)合角平分線的定義可判斷①；再由平角的定義可判斷②；偶平行線的性質(zhì)可判斷③；由余角及補(bǔ)角的定義可判斷④．【解答】解：∵CD∥OB，∠EFD＝α，∴∠EOB＝∠EFD＝α，∵OE平分∠AOB，∴∠COF＝∠EOB＝α，故①正確；∠AOB＝2α，∵∠AOB+∠AOH＝180°，∴∠AOH＝180°﹣2α，故②正確；∵CD∥OB，CH⊥OB，∴CH⊥CD，故③正確；∴∠HCO+∠HOC＝90°，∠AOB+∠HOC＝180°，∴∠OCH＝2α﹣90°，故④正確．故答案為①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，主道路是平行，即PQ∥MN．如圖所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)30或110秒，兩燈的光束互相平行．【分析】設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜t＜90時(shí)，根據(jù)2t＝1?（30+t），可得t＝30；當(dāng)90＜t＜150時(shí)，根據(jù)1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110．【解答】解：設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD，∴2t＝1?（30+t），解得t＝30；②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD+∠CAN＝180°，∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，綜上所述，當(dāng)t＝30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．16．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，AE∥CF，∠ACF的平分線交AE于點(diǎn)B，G是CF上的一點(diǎn)，∠GBE的平分線交CF于點(diǎn)D，且BD⊥BC，下列結(jié)論：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③與∠DBE互余的角有2個(gè)；④若∠A＝α，則∠BDF＝．其中正確的有①②④．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【分析】求出∠EBD+∠ABC＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，求出∠ABC＝∠GBC，根據(jù)角平分線的定義即可判斷①；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABC＝∠BCG，求出∠ACB＝∠GBC，根據(jù)平行線的判定即可判斷②；根據(jù)余角的定義即可判斷③；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EBG＝∠A＝α，求出∠EBD＝EBG＝，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EBD+∠BDF＝180°，即可判斷④．【解答】解：∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠EBD+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，∵BD平分∠EBG，∴∠EBD＝∠DBG，∴∠ABC＝∠GBC，即BC平分∠ABG，故①正確；∵AE∥CF，∴∠ABC＝∠BCG，∵CB平分∠ACG，∴∠ACB＝∠BCG，∵∠ABC＝∠GBC，∴∠ACB＝∠GBC，∴AC∥BG，故②正確；與∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4個(gè)，故③錯(cuò)誤；∵AC∥BG，∠A＝α，∴∠EBG＝∠A＝α，∵∠EBD＝∠DBG，∴∠EBD＝EBG＝，∵AB∥CF，∴∠EBD+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°﹣，故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．三．解答題（共9小題）17．（2021春?溫州期末）如圖，AB∥CD，E是CD上一點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)F，且∠ABE＝∠DBC，∠ABC＝∠AEB．（1）試判斷AE與BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若BE平分∠CBD，∠AEB＝40°，求∠D的度數(shù)．【分析】（1）由∠ABE＝∠DBC，可得∠ABC＝∠DBE，再由∠ABC＝∠AEB，從而得到∠AEB＝∠DBE，即可說(shuō)明AE∥BD；（2）由BE平分∠CBD，得∠CBE＝∠DBE，結(jié)合題中的條件可求得∠ABC＝40°，再利用平行線的性質(zhì)，可求得∠D的度數(shù)．【解答】解：（1）AE∥BD，理由：∵∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC+∠CBE＝∠CBE+∠DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∵∠ABC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠DBE，∴AE∥BD；（2）∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE，∵∠DBE＝∠AEB，∠ABC＝∠AEB，∴∠ABC＝∠CBE＝∠DBE＝∠AEB＝40°，∵AB∥CD，∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣3∠ABC＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．18．（2021春?諸暨市月考）推理填空：如圖，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．將求∠AGD的過程及依據(jù)填寫完整．∵EF∥AD，∴∠2＝∠3（兩直線平行，同位角相等），又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3（等量代換），∴AB∥DG（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠BAC+∠AGD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠2＝∠3，求出∠1＝∠3，根據(jù)平行線的判定得出AB∥DG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAC+∠AGD＝180°，再代入求出答案即可．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3（兩直線平行，同位角相等），∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3（等量代換），∴AB∥DG（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠BAC+∠AGD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°，故答案為：∠3，兩直線平行，同位角相等，等量代換，DG，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，∠AGD，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，110°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，注意：平行線的性質(zhì)是：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．19．（2021春?鶴城區(qū)期末）如圖，E，G是分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)，D是BC上的點(diǎn)，連接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）判斷AD與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝145°，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，即可判斷AD與EF的位置關(guān)系；（2）結(jié)合（1）根據(jù)角平分線定義可得∠ADC＝2∠1＝70°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠B的度數(shù)．【解答】解：（1）AD∥EF，理由如下：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝35°，∵DG是∠ADC的平分線，∴∠ADC＝2∠1＝70°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝110°，∵AD∥EF，∴∠EFB＝∠ADB＝110°，∵∠BEF＝180°﹣∠2＝35°，∴∠B＝180°﹣∠EFB﹣∠BEF＝180°﹣110°﹣35°＝35°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．20．（2021春?拱墅區(qū)月考）如圖，已知點(diǎn)A在EF上，點(diǎn)P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求證：EF∥BC；（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，結(jié)合對(duì)頂角相等可得∠E＝∠BQM，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可證明結(jié)論；（2）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)可判定AB∥FP，結(jié)合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠F，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴∠E＝∠BQM，∴EF∥BC；（2）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，垂線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠ABC和∠BCD的平分線交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)Q，且∠PBC+∠PCB＝90°．（1）求證：AB∥CD．（2）探究∠PBC與∠PQB的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義解答即可．【解答】（1）證明：∵BP平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC．∵CP平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠PCB，∴∠ABC+∠BCD＝2∠PBC+2∠PCB，又∵∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD．（2）∵CP平分∠DCB，∴∠PCD＝∠PCB．∵AB∥CD，∴∠PCD＝∠PQB，∴∠PCB＝∠PQB．又∵∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠PBC+∠PQB＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．22．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，D、E、F分別在△ABC的三條邊上，DE∥AB，∠1+∠2＝180°．（1）DF與AC平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若∠1＝110°，DF平分∠BDE，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2＝∠EDF，求出∠1+∠EDF＝180°，再根據(jù)平行線的判定得出即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EDF，根據(jù)角平分線定義求出∠FDB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【解答】解：（1）DF∥AC理由：∵DE∥AB，∴∠2＝∠EDF，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1+∠EDF＝180°，∴DF∥AC；（2）∵∠1＝110°，DF∥AC，∴∠EDF＝70°，∵DF平分∠BDE，∴∠BDF＝∠EDF＝70°，又∵DF∥AC，∴∠C＝∠BDF＝70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能熟練地運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．23．（2020秋?北侖區(qū)期末）如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，過點(diǎn)O引一條射線OC，使∠AOC＝50°，將一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．【操作一】：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（1）∠BOC的度數(shù)是130°，圖1中與它互補(bǔ)的角是∠AOC．（2）三角尺旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可表示為15t度或15°t（用含t的代數(shù)式表示）：當(dāng)t＝或時(shí)，MO⊥OC．【操作二】：如圖2將一把直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)O處，另一端點(diǎn)E在射線OC上．如圖3，在三角尺繞著點(diǎn)O以每秒15°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，直尺也繞著點(diǎn)O以每秒5°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一方完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，另一方也停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（3）當(dāng)t為何值時(shí)，OM⊥OE，并說(shuō)明理由？（4）試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)0≤t≤，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得∠COM與∠COE中其中一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用鄰補(bǔ)角的定義解答即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)的角度等于每秒旋轉(zhuǎn)的角度數(shù)乘以旋轉(zhuǎn)的時(shí)