第02講 三角形的高、中線、角平分線與穩(wěn)定性（6種題型）（解析版）

第02講三角形的高、中線、角平分線與穩(wěn)定性（6種題型）【知識(shí)梳理】一、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語言作圖語言過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號(hào)語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．二、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【考點(diǎn)剖析】題型一、三角形的高例1．如圖，△ABC中AB邊上的高是（）A．線段AD B．線段AC C．線段CD D．線段BC【分析】根據(jù)三角形高線的定義進(jìn)行判斷．【解答】解：△ABC中AB邊上的高是線段CD．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，正確理解三角形的角平分線、中線和高的定義是解決問題關(guān)鍵．【變式1】小華在電話中問小明：“已知一個(gè)三角形三邊長分別為4，9，12，如何求這個(gè)三角形的面積?”小明提示：“可通過作最長邊上的高來求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是()．【答案】C【解析】三角形的高就是從三角形的頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．解答本題首先應(yīng)找到最長邊，再找到最長邊所對(duì)的頂點(diǎn)．然后過這個(gè)頂點(diǎn)作最長邊的垂線即得到三角形的高．【總結(jié)升華】銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都有三條高，并且三條高所在的直線交于一點(diǎn)．這里一定要注意鈍角三角形的高中有兩條高在三角形的外部．【變式2】如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．【答案】A．例2．如圖，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，試作出BC邊上的高AE，并求AE的長．【分析】利用等積法求得AE的長度即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作BC邊上的高線AE，交CB延長線于點(diǎn)E．∵BC?AE＝AC?BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，∴×4AE＝×8×3，則AE＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，熟記三角形的面積公式即可解題，屬于基礎(chǔ)題．例3．如圖，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)O．（1）在△BOC中，OB邊上的高是CE，OC邊上的高是BF，BC邊上的高是OD．（2）在△AOC中，OA邊上的高是CD，OC邊上的高是AF，AC邊上的高是OE．（3）在△AOB中，OA邊上的高是BD，OB邊上的高是AE，AB邊上的高是OF．【分析】從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高，根據(jù)三角形高的定義判斷．【解答】解：（1）由圖可得，在△BOC中，OB邊上的高是CE，OC邊上的高是BF，BC邊上的高是OD．（2）由圖可得，在△AOC中，OA邊上的高是CD，OC邊上的高是AF，AC邊上的高是OE．（3）由圖可得，在△AOB中，OA邊上的高是BD，OB邊上的高是AE，AB邊上的高是OF．故答案為：CE，BF，OD；CD，AF，OE；BD，AE，OF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形高線的定義，解決問題的關(guān)鍵是掌握：鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．題型二、三角形的中線例4．BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周長的差是2．【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周長的差＝AB﹣BC．【解答】解：∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周長的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，∵AB＝5，BC＝3，∴△ABD和△BCD的周長的差＝5﹣3＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高線，熟記概念并求出兩個(gè)三角形的周長的差等于AB﹣BC是解題的關(guān)鍵．【變式1】已知BD是△ABC的一條中線，△ABD與△BCD的周長分別為21，12，則AB﹣BC的長是9．【分析】由于BD是△ABC的一條中線，由此可以得到AD＝CD，而△ABD與△BCD的周長分別為21，12，并且BD公共，利用三角形的周長公式即可求出AB﹣BC的長．【解答】解：∵BD是△ABC的一條中線，∴AD＝CD，而△ABD與△BCD的周長分別為21，12，并且BD公共，∴AB﹣BC的長＝21﹣12＝9．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的中線的性質(zhì)，也考查了三角形的周長公式，比較簡單．例5.如圖所示，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，BC＝8cm，求邊AC的長．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，有下列數(shù)量關(guān)系：①AD＝BD，②△BCD的周長比△ACD的周長大3．【答案與解析】解：依題意：△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD為△ABC的AB邊上的中線，∴AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵BC＝8，∴AC＝5．答：AC的長為5cm．【總結(jié)升華】運(yùn)用三角形的中線的定義得到線段AD＝BD是解答本題的關(guān)鍵，另外對(duì)圖形中線段所在位置的觀察，找出它們之間的聯(lián)系，這種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解幾何題常用的方法．例6.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長．【思路點(diǎn)撥】因?yàn)橹芯€BD的端點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，所以AD＝CD，造成兩部分不等的原因是BC邊與AB、AC邊不等，故應(yīng)分類討論．【答案與解析】解：如圖(1)，設(shè)AB＝x，AD＝CD＝．(1)若AB+AD＝12，即，所以x＝8，即AB＝AC＝8，則CD＝4．故BC＝15-4＝11．此時(shí)AB+AC＞BC，所以三邊長為8，8，11．(2)如圖(2)，若AB+AD＝15，即，所以x＝10．即AB＝AC＝10，則CD＝5．故BC＝12-5＝7．顯然此時(shí)三角形存在，所以三邊長為10，10，7．綜上所述此三角形的三邊長分別為8，8，11或10，10，7．【總結(jié)升華】BD把△ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，問題中沒有交代，因此，必須進(jìn)行分類討論．題型三、三角形的三條重要線段例7．已知△ABC，如圖，過點(diǎn)A畫△ABC的角平分線AD、中線AE和高線AF．【分析】分別根據(jù)角平分線、三角形高線作法以及垂直平分線的作法得出答案即可．【解答】解：由題意畫圖可得：【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了復(fù)雜作圖中線段垂直平分線的作法以及角平分線作法等知識(shí)，熟練掌握作圖方法是關(guān)鍵．例8．在△ABC中，線段AP，AQ，AR分別是BC邊上的高線，中線和角平分線，則（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ【分析】根據(jù)垂線段最短即可判斷．【解答】解：∵AP是BC邊上的高線，∴根據(jù)垂線段最短可知：PA≤AQ，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的角平分線、高、中線，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可證明①；根據(jù)三角形的高線可得∠ABC＝∠CAD，利用三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解∠AFC＝∠AGF，可判定②；根據(jù)角平分線的定義可求解③；根據(jù)已知條件無法判定④．【解答】解：∵BE是△ABC的中線，∴AE＝CE，∴△ABE的面積等于△BCE的面積，故①正確；∵AD是△ABC的高線，∴∠ADC＝90°，∴∠ABC+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵CF為△ABC的角平分線，∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG，故②正確；∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正確；根據(jù)已知條件無法證明AF＝FB，故④錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的中線，高線，角平分線，靈活運(yùn)用三角形的中線，高線，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型四：三角形面積例9．若△ABC中，∠ACB是鈍角，AD是BC邊上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，則△ABC的面積等于2．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，求出BC，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可．【解答】解：如圖．∵BD＝3，CD＝1，∴BC＝BD﹣CD＝2，又∵AD是BC邊上的高，AD＝2，∴△ABC的面積＝BC?AD＝×2×2＝2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，三角形的高的定義，掌握鈍角三角形的高的畫法進(jìn)而畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖所示，在△ABC中，D、E分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，則為________．【答案】1【變式2】如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．（1）猜想：△ABD與△ADC的面積有何關(guān)系？并簡要說明理由；（2）在△BED中作BD邊上的高；（3）若△ABC的面積為40，BD=5，則△BDE中BD邊上的高為多少？【答案】解：（1）△ABD與△ADC的面積相等，理由如下：作AF⊥BC，如圖1：因?yàn)锽D=DC，AF=AF，所以△ABD與△ADC的面積相等；（2）作圖，如圖2：（3）因?yàn)椤鰽BC的面積為40，BD=5，所以△ABD的面積為20，因?yàn)锽E為△ABD的中線，所以△BDE的面積為10，所以△BDE中BD邊上的高為4．題型五：重心例10．（2022秋·湖北恩施·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，點(diǎn)，，，均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)是的（

）A．三條內(nèi)角角平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)三角形的重心的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】如圖，點(diǎn)E、F分別是的中點(diǎn)，∴A是的中線，∴點(diǎn)P是三條中線的交點(diǎn)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．【變式】（2022秋·八年級(jí)單元測試）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，則的重心是點(diǎn)______．（從中選擇）【答案】D【分析】如圖，得出為△ABC的中線，交于點(diǎn)，根據(jù)重心的定義即可求解．【詳解】如圖所示，根據(jù)圖形可知，，∴為△ABC的中線，∵交于點(diǎn)，∴點(diǎn)為的重心．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形重心的定義，找到三角形的中線是解題的關(guān)鍵．題型六、三角形的穩(wěn)定性例11.如圖所示，木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木板條(即AB、CD)，這樣做的數(shù)學(xué)道理是什么?【答案與解析】解：三角形的穩(wěn)定性．【總結(jié)升華】本題是三角形的穩(wěn)定性在生活中的具體應(yīng)用．實(shí)際生活中，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形都是為了利用三角形的穩(wěn)定性．【變式1】如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構(gòu)成的幾個(gè)連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？【答案與解析】解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離。它的固定方法是：任選兩個(gè)不在同一木條上的頂點(diǎn)固定就行了?！究偨Y(jié)升華】要使物體具有穩(wěn)定性，應(yīng)做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等.【變式2】如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條．那么要使五邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形．又至少要釘多少根木條?【答案】要使五邊形木架不變形，至少要釘2根木條；使七邊形木架不變形，至少要釘4根木條；使n邊形木架不變形，至少要釘(n-3)根木條．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．三角形的高、中線、角平分線都是線段 B．三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部C．銳角三角形的三條中線一定交于同一點(diǎn) D．三角形的三條高交于同一點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)三角形的高線、中線、角平分線即可解答．【詳解】解：三角形的高、中線、角平分線都是線段，此說法正確，故項(xiàng)不符合題意；三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部，此說法正確，故不符合題意；銳角三角形的三條中線一定交于同一點(diǎn)，此說法正確，故不符合題意；三角形的三條高線所在的直線交于一點(diǎn)，故符合題意．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線、中線、角平分線的概念，理解三角形的高線、中線、角平分線的概念是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若是的中線，，則（

）A．12 B．10 C．16 D．8【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線的定義，即可求解．【詳解】解：∵是的中線，，，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中線的定義，掌握三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的之間的線段叫做三角形的中線，是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，分別是的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．依此即可求解．【詳解】解：∵CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線，∴CD⊥AB，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，無法確定AE＝BE．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握它們的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東東莞·八年級(jí)校聯(lián)考期中）三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等的兩部分的是（

）A．三角形的中線 B．三角形的角平分線 C．三角形的高 D．以上答案均正確【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵三角形的中線把三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形，∴三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積，熟知“三角形的中線把三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形”是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四個(gè)圖形中，線段是的高的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形高線定義：過三角形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊垂線得到的垂線段叫高，直接判定即可得到答案；【詳解】解：由三角形高線定義可得，A選項(xiàng)中不是的高，不符合題意；B選項(xiàng)中不是的高，不符合題意；C選項(xiàng)中不是的高，不符合題意；D選項(xiàng)中是的高，符合題意；故本題選：D；【點(diǎn)睛】本題考查高線定義：過三角形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊垂線得到的垂線段叫三角形的高．6．（2022秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)?？计谥校┤切稳龡l（

）的交點(diǎn)叫做三角形的重心A．高 B．角平分線 C．外角角平分線 D．中線【答案】D【分析】根據(jù)三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，即可得到答案．【詳解】解：由三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，熟練掌握三角形的重心是指三角形三條中線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，E是的中點(diǎn)，連結(jié)，．若的面積是8，則圖中陰影部分的面積為（

）A．4 B．5 C．5.5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)是的中線得，根據(jù)E是的中點(diǎn)得，，然后根據(jù)求解即可．【詳解】∵是的中線，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．三角形的中線把三角形分成面積相同的兩部分．二、填空題8．（2023秋·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的中線，已知的周長為，比長，則的周長為___．【答案】【分析】由是的中線得到，由的周長為得，再由比長得到，等量代換后即可得到答案．【詳解】解：∵是的中線，∴，∵的周長為，∴，∴，∵比長，∴，∴，∴，∴的周長，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中線的定義和三角形的周長，熟練掌握三角形的中線平分邊長是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的_________邊上的高；在中，是_________上的高，還是_________的高；是_________的_________邊上的高．【答案】//或/【分析】根據(jù)三角形高的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴是的上的高；∵，∴是的上的高，是的上的高，是的上的高；∵，∴是的邊上的高，故答案為：；；或；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的定義，熟知該定義是解題的關(guān)鍵：過三角形一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，該垂線即為該三角形中此頂點(diǎn)對(duì)邊上的高．10．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，分別是的高和中線，已知，，則的面積為_____________．【答案】【分析】先根據(jù)中線的定義求出，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵是的中線，，∴，∵是的高，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角形面積，熟知三角形高和中線的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊的中點(diǎn)，且面積等于，則的面積等于______．【答案】2【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∵中邊上的高與中邊上的高相等，∴，同理，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．∵，∴即陰影部分圖形的面積為．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查利用中線的性質(zhì)求三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握“三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形”．12．（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，G是上的一點(diǎn)，且，連接，若的面積為6，則圖中陰影部分的面積是__________．【答案】2【分析】根據(jù)是的中線，可得，再由，可得，即可求解．【詳解】解：∵是的中線，的面積為6，∴，∵，∴，∴，即圖中陰影部分的面積是2．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積問題．其中根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)進(jìn)行解答是解決本題的關(guān)鍵．13．（2023秋·四川眉山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，已知的周長為，比長，則的周長為____．【答案】/26厘米【分析】根據(jù)中線的定義得，再結(jié)合比長可得與周長之差，由此得解．【詳解】解：∵是的中線，∴，∵的周長為，∴，∴，∵比長，∴，∴，∴，∴的周長．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的定義．能根據(jù)題意得出周長之差即線段與之差是解題關(guān)鍵．14．（2023秋·湖南郴州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，已知點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若的面積為，則陰影部分的面積為_______【答案】1【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，，，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形的面積，熟練掌握三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，則△ABD的面積為_____________．【答案】18【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再利用三角形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，又平分，，，，的面積是，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題16．（2023秋·安徽宣城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的兩條中線、相交于點(diǎn)O，已知的面積為14，的面積為3，求四邊形的面積．【答案】【分析】根據(jù)“三角形的中線將三角形分為面積相等的兩個(gè)三角形”得到，然后結(jié)合圖形來求四邊形的面積．【詳解】解：∵的兩條中線、相交于點(diǎn)O，已知的面積為14，∴．又∵的面積為3，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了與三角形中線有關(guān)的面積問題．解答該題時(shí)，需要利用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．17．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在銳角中，，，、分別是的邊、上的高，且，求的長．【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積公式得：即可解答．【詳解】解：∵銳角中，，，∴，∴即，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線，三角形的面積，掌握三角形的高線是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知分別是的高和中線，，，求：(1)的面積；(2)的長；(3)和的周長的差．【答案】(1)(2)的長度為(3)和的周長的差是【分析】（1）根據(jù)可得答案；（2）由再代入數(shù)值即可得到答案；（3）利用三角形的中線的性質(zhì)列式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）如圖，∵是直角三角形，∴．（2）解：∵是邊上的高，∴，∵∴，即的長度為；（3）∵為邊上的中線，∴，∴的周長的周長，即和的周長的差是．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的高，中線的含義，三角形面積的計(jì)算，掌握“三角形的高，中線的含義”是解本題的關(guān)鍵．19．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，線段的交點(diǎn)稱作格點(diǎn)，請(qǐng)按下列要求作圖并填空(1)畫出中，邊上的高；(2)畫出中，邊上的高；(3)直接寫出的面積是______.【答案】(1)畫圖見解析；(2)畫圖見解析；(3)12【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)三角形的高的定義