專題23.2 模型構(gòu)建專題：旋轉(zhuǎn)中的常見模型(解析版)

專題23.2模型構(gòu)建專題：旋轉(zhuǎn)中的常見模型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一“手拉手”模型】 1【變式1等邊三角形——等腰直角三角形】 3【變式2特殊三角形——矩形】 12【變式3特殊三角形——正方形】 16【類型二“半角”模型】 22【典型例題】【類型一“手拉手”模型】例題：（2023秋·河南信陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）和△ADE都是等邊三角形．將△ADE繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)重合），有（或）成立．

(1)將△ADE繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接相交于點(diǎn)，連接，猜想線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(2)將△ADE繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接相交于點(diǎn)，連接，猜想線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）在上截取，連接，證明和，得，再證明是等邊三角形，得，最后由線段的和可得結(jié)論；（2）在上截取，連接，證明和，得，再證明是等邊三角形，得，最后由線段的和可得結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖②，在上截取，連接，

∵都是等邊三角形，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；（2）解：，理由如下：如圖③，在上截取，連接，

∵都是等邊三角形，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，，是等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．【變式1等邊三角形——等腰直角三角形】例題：（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀鹃喿x材料】?jī)蓚€(gè)頂角相等的等腰三角形，若它們的頂角具有公共的頂點(diǎn)，且當(dāng)把它們底角的頂點(diǎn)連接起來時(shí)會(huì)形成一組全等三角形，則把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，在“手拉手”圖形中，若，，，則≌．(1)【材料理解】在圖1中證明．(2)【問題解決】如圖2，和都是等腰三角形，，，，線段與線段交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：．下面是小明的部分證明過程：證明：∵，，∴，∵，∴．請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．(3)【結(jié)論應(yīng)用】如圖3，是等腰三角形，，、分別為邊、上的點(diǎn)，且滿足，連接，將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)線段與的腰有交點(diǎn)，且直線垂直于的腰時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)得，再結(jié)合全等三角形的判定條件證明即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，證明，結(jié)合，即可證明；（3）根據(jù)直線垂直于的腰和時(shí)的圖，結(jié)合三角內(nèi)角和定理分別求出和的度數(shù)，再結(jié)合逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向求出旋轉(zhuǎn)角即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，∴≌，（2）：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴．（3）旋轉(zhuǎn)至垂直時(shí)，如圖4所示，,∵，，∴，∵以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)至垂直時(shí)，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度為；旋轉(zhuǎn)至垂直時(shí)，如圖5所示，∵以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至，∴，∵于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)至垂直時(shí)，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和和圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握各個(gè)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知和都是等腰直角三角形（），．

(1)如圖①，連，，求證：；(2)若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②或【分析】（1）利用證明即可；（2）①連接，證明，得，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，即可證；②分當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，和當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，兩種情況分類討論．情況一：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，過點(diǎn)作于，根據(jù)，得，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，先算出，，再根據(jù)計(jì)算即可；情況二：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，過點(diǎn)作于，先利用證，得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，算出，，最后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：，，即，和是等腰直角三角形，，，在和中，，；（2）解：①證明：如下圖，連接，

，，即，和是等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形，，，．②情況一：如下圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，過點(diǎn)作于，

由（1）得，，和都是等腰直角三角形，，，，，，，，，；情況二：如下圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，過點(diǎn)作于，

，，即，和都是等腰直角三角形，，，，，，，，，在和中，，，，，，綜上，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，結(jié)合圖形正確判斷全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江西吉安·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，連接．現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖2，連接，，．(1)當(dāng)時(shí)，如圖2，求證：；(2)當(dāng)時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：垂直平分；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直接寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)和的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，【分析】（1）利用“”證得即可得到結(jié)論；（2）利用“”證得，推出，計(jì)算得出，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）觀察圖形，當(dāng)點(diǎn)D在線段的垂直平分線上時(shí)，的面積取得最大值，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意：，，，，，在和中，，，；（2）解：根據(jù)題意：，，，在和中，，，，，且，，，，，，，，，，，是線段的垂直平分線；（3）解：中，邊的長(zhǎng)是定值，則邊上的高取最大值時(shí)的面積有最大值，當(dāng)點(diǎn)在線段的垂直平分線上時(shí)，的面積取得最大值，如圖：

，，，于，，，，，的面積的最大值為：，旋轉(zhuǎn)角．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【變式2特殊三角形——矩形】例題：（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）矩形的邊長(zhǎng)，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到矩形，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、．

(1)如圖，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，連結(jié)、．①四邊形是何特殊的四邊形？請(qǐng)說明理由；②證明點(diǎn)、、三點(diǎn)共線．【答案】(1)(2)①四邊形是為平行四邊形，理由見解析；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得的長(zhǎng)度，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）①矩形是由矩形旋轉(zhuǎn)所得，則有，可證，，再結(jié)合平行四邊形的判定方法即可求證；②根據(jù)平行的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，在中，，由勾股定理得：．（2）解：①四邊形是平行四邊形，理由如下：如圖所示，

矩形是由矩形旋轉(zhuǎn)所得，，，，，，，，，，，又，四邊形是為平行四邊形；②證明：∵矩形中，，由上述①可知，四邊形是為平行四邊形，即，∴點(diǎn)、、三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理求線段長(zhǎng)度的綜合，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，我們知道，無論正方形繞點(diǎn)O怎么轉(zhuǎn)動(dòng)，總有，連接，求證：．【類比遷移】（2）如圖2，矩形的中心O是矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)E，與邊相交于點(diǎn)F，連接，矩形可繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，判斷（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；【遷移拓展】（3）如圖3，在中，，，，直角的頂點(diǎn)D在邊的中點(diǎn)處，它的兩條邊和分別與直線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，可繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)度．

【答案】（1）見解析；（2）仍然成立，證明見解析；（3）或cm【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，推出，得到，然后根據(jù)勾股定理和線段的代換即可證得結(jié)論；（2）連接，證明，可得，然后根據(jù)勾股定理和線段的代換證明即可；（3）設(shè)，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在邊上，點(diǎn)F在邊延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)合（2）的結(jié)論利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形、都是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，在直角三角形中，，∴；

（2）仍然成立；證明：連接，∵O是矩形的中心，∴O在上，且，延長(zhǎng)交于G，連接，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，又∵矩形中，，∴垂直平分，∴，在直角三角形中，，∴；

（3）當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，如圖，因?yàn)椋?，根?jù)（2）的結(jié)論可得：，設(shè)，則，則，解得，即，∴（cm）；

當(dāng)點(diǎn)F在邊延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，同理可證：，設(shè)，則，∵，∴，解得：，即，∴（cm）；綜上，或cm．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、靈活利用方程思想是解題的關(guān)鍵．【變式3特殊三角形——正方形】例題：（2023·山西大同·校聯(lián)考三模）綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}情景：如圖1、正方形與正方形的邊，在一條直線上，正方形以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)A重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接，．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：；(2)操作發(fā)現(xiàn)：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，求的度數(shù)；(3)問題解決：如圖4，如果，，，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G到的距離．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，，從而證明，即可得出結(jié)論；（2）過F作，垂足為H，證明，可得，，從而可得，再由，即可求解；（3）連接，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用勾股定理求得，再由，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，又∵四邊形是正方形，∴，，∴．在與中，，∴，∴；（2）解；過F作，垂足為H，

∵，∴，，∴，∵四邊形AEFG是正方形，∴，在與中，，∴，∴，，∴，∴，∴，又∵，∴，（3）解：如圖，連接，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，∵是正方形的對(duì)角線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，設(shè)點(diǎn)G到的距離為h，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)G到的距離為．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行線性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G，以為邊長(zhǎng)向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：（1）當(dāng)在上時(shí)，連接相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，如圖①．針對(duì)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接，并延長(zhǎng)與相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷△APE的形狀，并說明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接，，，△APE的形狀是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）△APE是等腰直角三角形，理由見解析；（3）△APE的形狀不改變，見解析【分析】（1）連接，，，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明，推出，再利用余角的性質(zhì)求出，推出即可；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)直接得到，推出，得到△APE是等腰直角三角形；（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接，證明，得到，推出，設(shè)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)N，得到，由得到，推出，進(jìn)而得到，再證明，得到，，證得，再由，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出，即可證得△APE是等腰直角三角形．【詳解】（1）證明：連接，，，如圖，

∵四邊形，都是正方形，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)；（2）△APE是等腰直角三角形，理由如下：∵四邊形，都是正方形，∴∴，∴△APE是等腰直角三角形；（3）△APE的形狀不改變，延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接，

∵四邊形、四邊形都是正方形，∴，，∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，設(shè)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)N，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴△APE是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，（3）中作輔助線利用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的難點(diǎn)，熟練掌握各性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．【類型二“半角”模型】例題：（2023春·福建漳州·八年級(jí)校考期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】老師在數(shù)學(xué)課上提出一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊、上，，請(qǐng)?jiān)嚺袛唷?、之間的數(shù)量關(guān)系，小聰把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你利用圖1證明上述結(jié)論．（2）【類比引申】如圖2，四邊形中，，，，點(diǎn)E、F分別在邊、上，要使得仍然成立，則與應(yīng)滿足什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（3）【探究應(yīng)用】如圖3，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形．已知米，，，，道路、上分別有景點(diǎn)E、F，且，）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長(zhǎng)，

【答案】（1）見解析；（2）；（3）米【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，，從而證明，可證得出即可；（2）仿照（1）的方法將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則可通過的相同的方法證明，即可證出；（3）將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，過A作，垂足為H，得到點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上，求出，，得到，求出，進(jìn)而得到，推出，由此得到求出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：，理由如下：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，

∴，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，則點(diǎn)M、B、E共線，∴，在和中，，∴，∴，即；（3）解：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，過A作，垂足為H，

∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴米，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，，∵，∴，即點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上，又∵，，∵，∴，∴，∴，∴，根據(jù)（2）中結(jié)論有：（米），即這條道路的長(zhǎng)為米．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)于大角中