專題16 等腰三角形與直角三角形（共25道）（解析版）

專題16等腰三角形與直角三角形（25道）一、單選題1．如圖，直角中，，點O是的重心，連接CO并延長交AB于點E，過點E作交BC于點F，連接AF交CE于點M，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵點O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等邊三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故選D．2．將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于，兩點，則的長是（

）

A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由含30度角直角三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得的長，即可得到結論．【詳解】解：如圖，在中，，

∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．3．如圖，是等腰三角形，．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結論：①；②；③；④當時，．其中正確結論的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與，得到，根據(jù)角平分線定義得到，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據(jù)等角對等邊得到，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，得到，推出，②正確；根據(jù)，得到，推出，③錯誤；根據(jù)時，，得到,推出，④正確．【詳解】∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯誤；當時，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問題的關鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質(zhì)．4．如圖中，，為中點，若點為直線下方一點，且與相似，則下列結論：①若，與相交于，則點不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長為；④若，則當時，取得最大值．其中正確的為（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；當，時，取得最大值，進而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結合勾股定理，求得的長，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時，．【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線，點是重心；如圖，四邊形是平行四邊形，是中點，點是重心；如圖，點不是中點，所以點不是重心；①正確

②當，如圖時最大，，，，，，，②錯誤；

③如圖5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③錯誤；④如圖6，，∴，即，在中，，∴，∴，當時，最大為5，∴④正確．故選：A．【點睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題的關鍵．5．如圖，在中，為的中點．若點在邊上，且，則的長為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點D為的中點，∴，∵，∴，①當點E為的中點時，如圖，

∴，②當點E為的四等分點時，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．【點睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關鍵．6．如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑作弧，分別交于點，分別以點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點，作射線，交于點，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點D作于M，由勾股定理可求得，由題意可證明，則可得，從而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得結果．【詳解】解：過點D作于M，如圖，由勾股定理可求得，由題中作圖知，平分，∵，∴，∵，∴，∴，∴；設，則，在中，由勾股定理得：，解得：，即的長為為；故選：D．

【點睛】本題考查了作圖：作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用全等的性質(zhì)、利用勾股定理建立方程是解題的關鍵．7．5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為，腰長為，則底邊上的高是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作于點D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，作于點D，

中,，，，，，故選B．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題的關鍵是掌握30度角所對的直角邊等于斜邊的一半．8．如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，根據(jù)題意得出，進而即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．9．下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程：已知：如圖1，在中，．求作：的外接圓．作法：如圖2．（1）分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點；（2）作直線，交于點O；（3）以O為圓心，為半徑作，即為所求作的圓．

下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（

）A．兩點確定一條直線B．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半C．與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上D．線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明：即可．【詳解】解：作直線（兩點確定一條直線），連接，

∵由作圖，，∴且（與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）．∵，∴（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），∴，∴A，B，C三點在以O為圓心，為直徑的圓上．∴為的外接圓．故選：D．【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，線段的垂直平分線的定義，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．10．如圖，在中，，點在邊上，且平分的周長，則的長是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點B作于E，利用勾股定理求出，進而利用等面積法求出，則可求出，再由平分的周長，求出，進而得到，則由勾股定理得．【詳解】解：如圖所示，過點B作于E，∵在中，，∴，∵，∴，∴，∵平分的周長，∴，即，又∵，∴，∴，∴，故選C．

【點睛】本題主要考查了勾股定理，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．11．的三邊長a，b，c滿足，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分別得到關于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由的關系，可推導得到為直角三角形．【詳解】解∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴為等腰直角三角形，故選：D．【點睛】本題考查了非負性和勾股定理逆定理的知識，求解的關鍵是熟練掌握非負數(shù)的和為0，每一個非負數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．12．四邊形的邊長如圖所示，對角線的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當為等腰三角形時，對角線的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三邊關系求得，再利用等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在中，，∴，即，當時，為等腰三角形，但不合題意，舍去；若時，為等腰三角形，故選：B．【點睛】本題考查了三角形三邊關系以及等腰三角形的定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．二、填空題13．將形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形如圖所示放置，點D在AB邊上，△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交△CAB的兩腰CA，CB于M，N兩點，若CA=5，AB=6，AB=1：3，則MD+的最小值為．【答案】【分析】先求出AD=2，BD=4，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，從而得到△AMD和△BDN相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得，求出MA?DN=4MD，再將所求代數(shù)式整理出完全平方的形式，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可．【詳解】∵AB=6，AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，∵△ABC和△FDE是形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形，∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性質(zhì)得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴，∴MA?DN=BD?MD=4MD，∴MD+=MD+=，∴當，即MD=時MD+有最小值為．故答案為．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；最值問題；綜合題．14．如圖，在中，，點D為的中點，過點C作交的延長線于點E，若，，則的長為．

【答案】//1.5【分析】先根據(jù)證明，推出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)中點的定義即可求的長．【詳解】解：，，點D為的中點，，又，，，中，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等，證明是解題的關鍵．15．如圖，在中，，，點在直線上，，過點作直線于點，連接，點是線段的中點，連接，則的長為．

【答案】或【分析】分兩種情況當在延長線上和當在上討論，畫出圖形，連接，過點作于，利用勾股定理解題即可【詳解】解：當在線段上時，連接，過點作于，

當在線段上時，，，，，點是線段的中點，，，，，，，，，，當在延長線上時，則，

是線段的中點，，，，，，，，，，，，的長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．16．如圖，在中，．P為邊上一動點，作于點D，于點E，則的最小值為．

【答案】【分析】連接，利用勾股定理列式求出，判斷出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得，再根據(jù)垂線段最短可得時，線段的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列出方程求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵，∴，∵于點D，于點E，，∴四邊形是矩形，∴，由垂線段最短可得時，線段的值最小，此時線段的值最小，此時，，代入數(shù)據(jù)：，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出時，線段的值最小是解題的關鍵．17．如圖．四邊形中，，，，交于點，，，則AB的長為．【答案】【分析】連接、交于點，過點作，交于點，先證明是等邊三角形，垂直平分，求得，，再解三角形求出，，最后運用勾股定理求得即可．【詳解】解：如圖：連接、交于點，又∵，，∵是等邊三角形，∴，∵，，∴，，∴，又∵，∴．∴，過點作，交于點，∴，，，∴，∴．∴在中，．故答案為：.【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂直平分線、勾股定理、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線成為解答本題的關鍵．18．如圖，已知，點D在上，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，連接，則的度數(shù)是度．

【答案】65【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)等腰三角形兩個底角相等和三角形內(nèi)角和為180°進行計算即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴，∵，∴．故答案為：65．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識點，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關鍵．19．如圖，在中，以A為圓心，長為半徑作弧，交于C，D兩點，分別以點C和點D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點P，作直線，交于點E，若，，則．

【答案】4【分析】利用圓的性質(zhì)得出垂直平分和，運用勾股定理便可解決問題.【詳解】解：根據(jù)題意可知，以點C和點D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點P，∴垂直平分,即，∴，又∵在中，以A為圓心，長為半徑作弧，交于C，D兩點，其中，∴，在中，，故答案為：4．【點睛】本題主要考查圓和三角形的相關性質(zhì)，掌握相關知識點是解題的關鍵.20．如圖，在中，以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點，；分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點；作射線交于點，若，，的面積為，則的面積為．【答案】【分析】過點作交的延長線于點，證明，得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作交的延長線于點，∴由作圖可得是的角平分線，∴∵∴∵∴∴∴，∵的面積為，∴的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，作角平分線，熟練掌握基本作圖以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．21．如圖，為斜邊上的中線，為的中點．若，，則．

【答案】3【分析】首先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位線定理即可求解．【詳解】解：∵在中，為斜邊上的中線，，∴，∴，∵為的中點，∴故答案為：3．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．22．在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中點，則．【答案】5【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再運用勾股定理求得AB，然后再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【詳解】解：如圖：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴∵∠ACB=90°，D為AB的中點，∴CD=AB=×10=5．故答案為5．【點睛】本題主要考查了運用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一