高等代數(shù)課程試卷

高等代數(shù)課程試卷及參考答案代數(shù)與解析幾何試題（一）一、計算（20分）1）2）二、證明：（20分）1）若向量組線性無關(guān)，則它們的部分向量組也線性無關(guān)。2）若向量組中部分向量線性相關(guān)，則向量組必線性相關(guān)三、（15分）已知A為n階方陣為A的伴隨陣，則|A|=0，的秩為1或0。四、（10分）設(shè)A為n階陣，求證，rank（A+I）+rank（A-I）≥n五、（15分）求基礎(chǔ)解系六、（10分）不含零向量的正交向量組是線性無關(guān)的七、（10分）求證△ABC的正弦正定理答案(一)一、1）-1262）二、證明：1）線性無關(guān)，是其部分向量組，若存在不全為0的數(shù)使則取，則，則可知線性相關(guān)矛盾，所以必線性無關(guān)。2）已知是向量組中中的部分向量，且線性相關(guān)即不全為0，使，取，于是有不全為0的，使即線性相關(guān)。三、證明：由于|A|=0，A的秩≤n-11）若A的秩為n-1，則中的各元素為A的所有n-1階子式，必有一個子式不為0，又由于的各列都是AX=0齊次線性方程組的解，其基礎(chǔ)解系為n-（n-1）=1，由此的秩為1。2）若A的秩＜n-1，則中的所有A的n-1階子式全為0，即=0，的秩為0。四、證明：∵對任意n級方陣A與B，有rank（A+B）≤rank（A）+rank（B）又∵rank（A－I）=rank[－（A－I）]=rank（I－A）∴rank[（A+I）+（I－A）]=rank（2I）=rank（I）=n≤rank（A+I）+rank（I－A）=rank（A+I）+rank（A－I）五、取基礎(chǔ)解系六、證明：設(shè)是正交向量組，且不含空向量。若有則且即線性無關(guān)七、證明：如圖：ABC代數(shù)與解析幾何試題（二）一、計算：（20分）1）2）二、（20分）若一向量組是線性相關(guān)的充分必要條件是至少有一個向量是其余n-1個向量的線性組合。三、（10分）若S1與S2是線性空間V（F）的不同真子空間，求證至少存在一個向量，使四、（10分）求基礎(chǔ)解系五、（15分）證明：含有n個未知數(shù)的n+1方程的方程組有解的必要條件是行列式但這一條件不充分，試舉一反例。六、（15分）設(shè)V是n維歐氏空間，求的維數(shù)為n-1。七、（10分）設(shè)△ABC的三條中線的交點為O，求證：答案(二)一、1）-602）1二、證明：若相關(guān)，Nwh不全為0的數(shù)使設(shè)ki不等0，于是若有一個向量表示其余之向量n-1個向量的組合有三、證明：設(shè)，則，則否則有矛盾，若有矛盾。四、解：五、解：若有解：則把系數(shù)陣各列看作列向量有：，即線性相關(guān)，于是有D=0，反之不成立有但無解。六、證明：非空間且有（）是子空間。把擴(kuò)充為V的一組基，把這組基正交化，有，，即的維數(shù)為n-1七、證明：如圖A已知O是△ABC三條中線的交點，由向量加法有EFOCBD又又代數(shù)與解析幾何試題（三）一、計算：（20分）1）2）二、（10分）若一個不含零向量的向量組成線性相關(guān)，則至少有兩個向量是其余向量的線性組合。三、（20分）若是線性空間V（F）的真子空間，求證到存在一個向量，使四、（15分）求證：1）A2=A，求證：P=2A－I為對合陣2）A為2n+1階方陣，且A′=－A，求證|A|=0五、（10分）求基礎(chǔ)解系六、（10分）若A為n階方陣，若對任意的一列矩陣X，均有AX=0，求證A為零陣七、（15分）設(shè)是n維歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，是V中k個向量，若兩兩正交，則必有答案(三)一、1）1602）二、證明：線性相關(guān)，且不含0向量，則有一組不全為0的數(shù)使，因為至少有一個有若其余的n一個系數(shù)全為0，則矛盾，故必有至少有一個于是即至少有兩個向量是其余向量的線性結(jié)合。三、證明：用歸納法，當(dāng)命題成立（由習(xí)題4）解設(shè)為：的命題，當(dāng)時，由歸納假定存在若則命題成立。若，則由為真子空間，有，此時有k，使，否則，則同時，對不同的不含有與同屬于一個反之，若有中的所有，于是這樣的k，有四、證明：1）P為對合陣2）A為2n+1階方陣，且有又即五、解：令有六、證明：∵A對任意一列矩陣X均有AX=0，取于是，，則A=0七、設(shè)是維歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基是V中k個向量，若兩兩正交，則必有證明：又又兩兩正交，，有于是代數(shù)與解析幾何試題（四）一、計算（20分）1）2）二、（15分）證明：向量組線性相關(guān)充分且必要條件是至少有一個向量是其它n 個向量的線性組合。三、（10分）若S1與S2是線性空間V（F）的不同真子空間，求證至少存在一個向量，使四、（20分）已知A為n階陣，為的伴隨時，求證的秩五、（10分）求基礎(chǔ)解系六、設(shè)是n維歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，是V中k個向量，若有，則兩兩正交七、（10分）用向量的數(shù)積運算法則證明：三角形的余弦定理：答案(四)一、1）-1262）6（n-3）！二、證明：若線性相關(guān)，則存在個不全為0的數(shù)使，不妨設(shè)，于是有若有一個向量可表成其它-1個向量的線性組合三、證明：S1，S2是V的真r空間一定有，于是且反之若有矛盾若有矛盾四、證明：若A的開頭當(dāng)n，則1）有，即，的秩為0。2）若A的秩為n-1，則A至少有一個n-1階子式不為0，且由于，可知的各列都的解向量。3）若A的秩小于n-1，則A的n-1階子式全為0，即的秩等于0。五、七、證明：如圖由向量的平行四邊形法則可知CβbaγAαB即代數(shù)與解析幾何試題（五）一、計算1）2）二、證明：若向量組是線性無關(guān)的，則部分向量一定是線性無關(guān)的。反之卻未必成立，試舉一例說明。三、1）證明：秩為r的矩陣可以表為r個秩為1的矩陣之和。2）證明：A為可逆陣，則可以左乘若干個初等陣把A變?yōu)閱挝魂?。四、設(shè)A為n階方陣，證明存在一個非0矩陣B，使AB=0的充分必要條件是|A|=0。五、求基礎(chǔ)解系六、設(shè)是歐氏空間中的一線線性無關(guān)向量，與是兩個沒有零向量的正交組，即，若與恒可用線性表出，求證必有七、用向量的數(shù)量積運算法則證明：內(nèi)接于半圓且以直徑為一邊的三角是直角三角形。答案(五)一、1）122）二、證明：設(shè)向量組線性無關(guān)，是其中的部分向量，若線性相關(guān)，則一定存在不全為0的數(shù)，使，取于是不全為0的數(shù)，使，則線性相關(guān)，矛盾，故一定線性無關(guān)。三、1）證明：已知A為秩為r的鄰陣，則可以運用初等陣使A為對角線只有r個1的其余全為0的矩陣，即且+…+，則由初等矩陣的乘積，不改變矩陣的積，所以A可以表成r個秩為1的矩陣之和。2）證明：A可逆，則于是有得到即A左乘初等可把A化為單位陣四、四、證明：=>A為n階陣，A=（α1α1αn），Xi為A的系列作成的向量若存在一個非0陣，使AB=0，即（）即線性相關(guān)，∴|A|=0<=|A|=0，則線性相關(guān)，一定存在一組不全為0的數(shù)使，即五、六、證明：歸納法：當(dāng)n=1時，，有假設(shè)當(dāng)時成立，，當(dāng)時，由又有又其中，只有即七、解：如圖AB是直徑，O是圓心，且C是半圓上的任意點。OA=OB且做內(nèi)積即△ABC是直角三角形代數(shù)與解析幾何試題（六）一、計算1）2）二、若e1…en是線性空間V（F）的一組向量，對V（F）中任意向量均可表為e1…en的線性組合，且對V（F）中某個固定向量β，表達(dá)式唯一，求證：e1…en是V（F）的一組基。三、若S1與S2是線性空間V（F）的不同真子空間，求證至少存在一個向量，使四、已知A為n階方陣，為A的伴隨陣，若|A|=0，則的秩為1或0。五、當(dāng)a、b、c求任何值時，方程組有唯一解，無數(shù)多解，無解？六、設(shè)維歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，是V中K個向量，求證K個向量是兩兩正交的必有七、設(shè)△ABC的三條中線的交點為O，求證：答案(六)一、1）-1262）[x＋（n－1）a](x－a)n－1二、證明：若有l(wèi)1…ln使，則有，若不完全當(dāng)0，則β有兩種表達(dá)式，這與已知矛盾，故線性之點，的一組基。三、證明：∵S1與S2是V（F）的真了空間，一不相同，于是有，故，則反若若有矛盾，若有矛盾。四、證明：又已知|A|=0，0，1）若A的秩為n-1，則中的各元素為A的所有n-1階子式，必有一個子式不為0，又由于的各列都是AX=0齊次線性方程組的解，其基礎(chǔ)解系為n-（n-1）=1，由此的秩為1。2）若A的秩＜n-1，則中的所有A的n-1階子式全為0，即=0，的秩為0。五、解：1）當(dāng)時，秩有唯一解。2）當(dāng)秩，秩有無數(shù)多解3）當(dāng)有無數(shù)多解六、證明：是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，于是有又由于是兩兩正交，有又七