最優(yōu)控制理論與系統(tǒng)胡壽松版課后習(xí)題答案

PAGE20實用文檔2-5求通過，，使下列性能泛函為極值的極值曲線：解：由題可知，始端和終端均固定，被積函數(shù)，，，代入歐拉方程，可得，即故其通解為：代入邊界條件，，求出，極值曲線為2-6已知狀態(tài)的初值和終值為，式中自由且>1，試求使下列性能泛函達到極小值的極值軌線：解：由題可知，，，，歐拉方程：橫截條件：，，易得到故其通解為：根據(jù)橫截條件可得：解以上方程組得：還有一組解(舍去，不符合題意>1)將，，代入可得.極值軌線為2-7設(shè)性能泛函為求在邊界條件，自由情況下，使性能泛函取極值的極值軌線。解：由題可知，，，自由歐拉方程：橫截條件：，，易得到其通解為：代入邊界條件，，，求出，將，，代入可得極值軌線為2－8設(shè)泛函端點固定，端點可沿空間曲線移動。試證：當泛函取極值時，橫截條件為證：根據(jù)題意可知，此題屬于起點固定，末端受約束情況，由可得，（1）由c=,,（2）將（2）代入（1）式，得：,得證。2-13設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程，，性能指標如下：要求達到，試求（1）時的最優(yōu)控制。（2）自由時的最優(yōu)控制。解：由題可知構(gòu)造H：正則方程：可求得控制方程：由上式可得由狀態(tài)方程，可得（1）時由邊界條件，，，可得得故有有最優(yōu)控制（2）若自由由哈密頓函數(shù)在最優(yōu)軌線末端應(yīng)滿足的條件得即，從而，代入可得因為時間總為正值，所以此題無解。3-2設(shè)二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程邊界條件試求下列性能指標的極小值：解：由題可知構(gòu)造H：由協(xié)態(tài)方程和極值條件：得代入狀態(tài)方程得：即，代入初始條件解得：故，此時3-4給定一階系統(tǒng)方程，控制約束為，試求使下列性能指標：為極小值的最優(yōu)控制及相應(yīng)的最優(yōu)軌線。解：由題可知構(gòu)造H：哈密頓函數(shù)達到極小值就相當于使性能指標極小，因此要求極小。且取其約束條件的邊界值，即時，使哈密頓函數(shù)H達到最小值。所以，最優(yōu)控制應(yīng)取由協(xié)態(tài)方程可得由橫截條件求得，于是有顯然，當時，產(chǎn)生切換，其中為切換時間。不難求得，故最優(yōu)控制為將代入狀態(tài)方程，得解得代入初始條件，可得，因而，在上式中，令，可求出時的初始條件從而求得。因而，于是，最優(yōu)軌線為將求得的和代入式J，得最優(yōu)性能指標最優(yōu)解曲線如下：3-5控制系統(tǒng)，試求最優(yōu)控制,以及最優(yōu)軌線和,使性能指標為極小值。解：哈密爾頓函數(shù)為由協(xié)態(tài)方程：，解得，由極值條件：，解得，由狀態(tài)方程有，解得，代入初始值解得：，故此時…………………..3－6已知二階系統(tǒng)方程式中自由。試求使性能指標為極小的最優(yōu)控制，最優(yōu)軌線以及最優(yōu)指標。解：本例為線性定常系統(tǒng)，積分型性能指標，自由，末端固定的最優(yōu)化問題。構(gòu)造哈密頓函數(shù)為：由極小值條件應(yīng)?。?由哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線的變化律：，可得：，即：，可知：，（其中矛盾），由協(xié)態(tài)方程有：，由初始條件解得：，由所給狀態(tài)方程及初始條件解得：………………………3-7已知二階系統(tǒng)方程，，式中控制約束為試確定最優(yōu)控制。將系統(tǒng)在時刻由轉(zhuǎn)移到空間原點，并使性能指標取最小值，其中自由。解：由題可知構(gòu)造哈密頓函數(shù)：按照最小值原理，最優(yōu)控制應(yīng)取由哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線的變化規(guī)律可得以及因為，可以求出由協(xié)態(tài)方程解得，當時(試取)代入初始條件，，可得代入末端條件，可得又，聯(lián)立解得于是有在時，正好滿足要求故最優(yōu)控制為，相應(yīng)的最優(yōu)性能指標為最優(yōu)軌線為3-17已知系統(tǒng)方程，，性能指標，末端。試用連續(xù)極小值原理求最優(yōu)控制與最優(yōu)軌跡。解：構(gòu)造哈密頓函數(shù)：，由協(xié)態(tài)方程：，解得：，由極值條件：，解得，代入狀態(tài)方程有：，解得，代入初始值解得：，故最優(yōu)軌線為：，又，所以最優(yōu)控制律為：，此時3-28已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，控制約束為|u（t）|1。試求最優(yōu)控制u*（t），使系統(tǒng)由任意初態(tài)最快地轉(zhuǎn)移到，的末態(tài)。寫出開關(guān)曲線方程，并繪出開關(guān)曲線的圖形。解：本例為二次積分模型的最小時間控制問題。容易判定系統(tǒng)可控，因而必為Bang-Bang控制。構(gòu)造哈密頓函數(shù):由協(xié)態(tài)方程得：解得：。，知最優(yōu)控制u(t)最多切換一次，具有四種可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。若時，代入狀態(tài)方程考慮到初始狀態(tài)，解得：，消t得：，同理，若時，解得：，由末態(tài)配置到，取開關(guān)曲線為過（2,1）的那條曲線，即開關(guān)曲線方程為：開關(guān)曲線圖如下：開關(guān)曲線3-31設(shè)二階系統(tǒng)：，控制約束|u（t）|1。試求使系統(tǒng)由已知初態(tài)最快地轉(zhuǎn)移到坐標原點的時間最優(yōu)控制u*（t）和開關(guān)曲線。（注：本題書上的是錯的，因為按書上的得不到相平面軌跡方程）解：本例為二次積分模型的最小時間控制問題。容易判定系統(tǒng)可控，因而必為Bang-Bang控制。構(gòu)造哈密頓函數(shù):，知最優(yōu)控制：，知最優(yōu)控制u(t)最多切換一次，具有四種可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。若時，代入狀態(tài)方程考慮到初始狀態(tài)，解得：，消t得：，同理，若時，解得：，消t得：，即開關(guān)曲線方程為：開關(guān)曲線圖如下：本題初始點A(1，1),最優(yōu)控制曲線如上圖，最優(yōu)控制律為u={-1，+1}。3-33已知受控系統(tǒng)，目標集為，試求由目標集外的任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標集的時間最優(yōu)控制律。解：哈密爾頓函數(shù)為，協(xié)態(tài)方程，邊界條件：，目標集約束：，由極小值條件知，最優(yōu)控制律：若時，代入狀態(tài)方程，解得：，消t得相軌跡方程：；同理，若時，解得：，消t得相軌跡方程：；由相軌跡方程與目標集相切且滿足末態(tài)要求的相軌跡曲線：，，所以系統(tǒng)的開關(guān)曲線開關(guān)曲線圖如下所示：相軌跡如上圖所示：ⅰ、當初態(tài)在區(qū)域或上時，知最優(yōu)控制為終于上半圓；ⅱ、當初態(tài)在區(qū)域或上時，知最優(yōu)控制為終于下半圓；ⅲ、當初態(tài)在區(qū)域中，知最優(yōu)控制為；ⅳ、當初態(tài)在區(qū)域中，知最優(yōu)控制為；3-42已知系統(tǒng)方程，控制約束|u（t）|1。試求以切換時間表示的時間-燃料最優(yōu)控制u*（t），使性能指標取極小值，并求最優(yōu)控制J*。解：哈密頓函數(shù)為：由，解得：由極小值條件知：，因為初態(tài)=知時間—燃料最優(yōu)控制為：，設(shè)的切換時間為和，則有①當時，有u=-1，初態(tài)=，由狀態(tài)方程得：②當時，u=0，初態(tài)為：，由狀態(tài)方程解得：。當時，u=+1，初態(tài)為：，由狀態(tài)方程解得：。末態(tài)值求得，，于是時間—燃料最優(yōu)控制為：，，從而有。4-4設(shè)二階離散系統(tǒng)試求使性能指標：為極小的最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線。解：本題為二級最優(yōu)決策問題，其中、不受約束。令N=2，k=1時：，=0，所以由于不受約束：，求得：。將結(jié)果代入得：。令N=1，k=0時：，=0，所以=，代入初始值，求得：，，，，，，于是本題的最優(yōu)控制，最優(yōu)軌線及最優(yōu)代價分別為：，，，，4-13已知二階系統(tǒng)，，性能指標：試用連續(xù)動態(tài)規(guī)劃求最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線。解：解：（1）由題意可得：，，，，令,得，顯然{A，b}可控，{A，D}可觀，故存在且唯一。令，代入黎卡提方程：，代入A,b，Q，r可得:,于是最優(yōu)控制：,最優(yōu)控制指標:,將代入狀態(tài)方程，得閉環(huán)系統(tǒng)方程：代入初始值解得：將、代入狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制，求得：。4-14已知系統(tǒng)方程：，性能指標：，試確定該系統(tǒng)的哈密頓-雅可比方程。解：令哈密頓函數(shù)為：由于不受約束，則，由最優(yōu)解的充分條件知：，代入，得：。因為系統(tǒng)是時不變的，并且性能指標的被積函數(shù)不是時間的顯函數(shù)，故，則有。在性能指標中，令，得邊界條件：。所以本題的哈密頓—雅可比方程為：5-8給下列二階系統(tǒng)：，試確定最優(yōu)控制，使下列性能指標極?。航猓涸擃}為有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。由題意得：令，代入黎卡提方程：，代入A,b，Q，r，邊界條件：,,即：解得：,于是最優(yōu)控制：,最優(yōu)性能指標:。5-10已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程：，性能指標極?。涸嚧_定最優(yōu)控制。解：該題為無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。由題意得：，令,得，，，故{A，b}可控，{A，D}可觀，故存在且唯一。令，代入黎卡提方程：，代入A,B，Q，R解得：,于是最優(yōu)控制：,最優(yōu)性能指標:。5-20已知為具有性質(zhì)的李亞普諾夫函數(shù)。其中，滿足式。試用李亞普諾夫穩(wěn)定性定理證明最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證明：取二次型函數(shù)：，對于由于>0必有。所以李亞普諾夫函數(shù)。，將代入，整理得：=，又由，知，代入整理得：，即：。所以知，為負定。又顯然。根據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性定理，最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定。6-2設(shè)有二次積分模型：，，性能指標：，試求使性能指標極小的最優(yōu)控制，并求最優(yōu)性能指標。解:由題意可知：，，，Q=1，，，R=4。因為rank[BAB]=rank=2，rank=rank=2rank=rank=2,所以，{A,B}可控，{A,C}可觀，{A,D}可觀，故可以構(gòu)造漸近穩(wěn)定的最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器。,設(shè)，解黎卡提代數(shù)方程：得：得>0，此時：=，最優(yōu)性能指標：。6-3已知系統(tǒng)的動態(tài)方程：，性能指標：，試求使性能指標極小并使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最優(yōu)控制。解:由題意可知：，，，Q=100，，，R=1。因為rank[BAB]=rank=2，rank=rank=2rank=rank=2,所以，{A,B}可控，{A,C}可觀，{A,D}可觀，故可以構(gòu)造漸近穩(wěn)定的最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器。,設(shè)，解黎卡提代數(shù)方程：得：，解得，此時：=，將代入狀態(tài)方程得：，解得閉環(huán)系統(tǒng)特征值為：所以閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的?！?.6-10設(shè)用控制系統(tǒng)可以自動地保持潛艇的深度，潛艇從艇尾水平角到實際深度的傳遞函數(shù)，可以近似為：，試設(shè)計控制律，使性能指標最小。其中希望深度=100。假定，實際深度可用壓力傳感器測量，并可用于反饋。解：………………………..8-2設(shè)二階系統(tǒng)方程：，控制約束。性能指標式中自由。試驗證系統(tǒng)能否出現(xiàn)奇異弧。解:本例為線性定常系統(tǒng)，積分型性能指標、自由的最優(yōu)控制問題。構(gòu)造哈密頓函數(shù)：，根據(jù)極小值原理可知，相應(yīng)于正?；《蔚淖顑?yōu)控制為如下邦-邦控制：邦-邦弧段滿足下列正則方程：函數(shù)H線性依賴于，所以可能存在奇異弧。在奇異弧上必有：解方程組知：得異最優(yōu)解：，即系統(tǒng)有奇異解。8-6已知系統(tǒng)方程，控制約束。性能指標試用奇異調(diào)節(jié)器方法求奇異最優(yōu)控制.解：首先對原系統(tǒng)狀態(tài)方程進行線性變換。令得修正奇異調(diào)節(jié)器系統(tǒng)狀態(tài)方程：，式中即：設(shè)，解黎卡提代數(shù)方程：：解得：,此時，式中,即，則原奇異調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制9-3設(shè)隨機系統(tǒng)狀態(tài)方程為：其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為，且滿足下列方程：試證明：x(t)的均值和方差陣分別為：證明：x(t)的均值滿足以下矩陣微分方程：其解為：證得一式。應(yīng)滿足又可得證畢。9-5設(shè)隨機系統(tǒng)方程為，式中與為互不相關(guān)的零均值高斯白噪聲，其方差為和。試求最優(yōu)控制，使下列性能指標極小：式中。解：依據(jù)定理9-7（線性連續(xù)隨機系統(tǒng)分離定理），可知F＝1，G＝1，H＝1，Q＝0，R＝……………（1）（1）式中狀態(tài)反饋增益矩陣…………（2）而滿足下列Riccati矩陣微分方程及其邊界條件：…………（3）解出（3）式微分方程：…………（4）將（4）式代入（2）式得到：…………（5）由以下Kalman濾波方程給出：………（6）（6）式中Kalman增益矩陣………（7）而滿足以下Riccati矩陣微分方程及初始條件：………（8）解出（8）式微分方程：……（9）將（9）式代入（7）式得到：………（10）現(xiàn)在，只要由（10）式代入（6）式即可解出：………（11）將（5）式和（11）代入（1）式，即可算出最優(yōu)控制……圖9.5隨機輸出反饋調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖9-6設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測方程為：，式中是零均值高斯白噪聲