九年級上冊人教版二次函數y=ax2+bx+c的圖像與性質

請準備好你的數學課本、筆記本以及學習用具等。2021/5/91一般地，拋物線y=a(x-h)+k與y=ax的

相同，

不同22形狀位置

y=ax2y=a(x-h)+k2上加下減左加右減知識回顧：2021/5/92拋物線y=a(x-h)2+k有如下特點:1.當a﹥0時，開口

，當a﹤0時，開口

，向上向下

2.對稱軸是

；3.頂點坐標是

。直線X=h(h,k)知識回顧：2021/5/93二次函數開口方向對稱軸頂點坐標y=2(x+3)2+5

y=-3x(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6直線x=–3直線x=1直線x=2直線x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7）（2，－6）知識回顧：2021/5/94如何畫出的圖象呢?我們知道,像y=a(x-h)2+k這樣的函數,容易確定相應拋物線的頂點為(h,k),二次函數也能化成這樣的形式嗎？創(chuàng)設情境，導入新課：2021/5/9522.1.4二次函數y=ax2+bx+c圖象和性質xyo義務教育課程標準實驗教科書九年級上冊2021/5/96

學習目標

1、會用公式法和配方法求二次函數一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c的頂點坐標、對稱軸；

2、熟記二次函數y＝ax2＋bx＋c的頂點坐標公式；

3、會畫二次函數一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c的圖象

。

2021/5/97怎樣把函數轉化成y=a(x-h）2+k的形式?函數y=ax2+bx+c的圖象用配方法。探究新知：

2021/5/98配方

y=—(x―6)+3212你知道是怎樣配方的嗎？

(1)“提”：提出二次項系數；(2)“配”：括號內配成完全平方；（3）“化”：化成頂點式。老師提示:配方后的表達式通常稱為配方式或頂點式探究新知：2021/5/99直接畫函數的圖象

提取二次項系數配方整理化簡:去掉中括號解：2021/5/910根據頂點式確定開口方向,對稱軸,頂點坐標.x…3456789…

……列表:利用圖像的對稱性,選取適當值列表計算.…7.553.533.557.5…∵a=>0,∴開口向上;對稱軸:直線x=6;頂點坐標:(6,3).直接畫函數的圖象

2021/5/911直接畫函數的圖象

描點、連線，畫出函數圖像.●●●●●●●（6,3）Ox5510問題：1.看圖像說說拋物線的增減性。

2.怎樣平移拋物線

可以得到拋物線？2021/5/912二次函數y=—x－6x+21圖象的畫法：(1)“化”：化成頂點式；(2)“定”：確定開口方向、對稱軸、頂點坐標；(3)“畫”：列表、描點、連線。212歸納：2021/5/913求次函數y=ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標．

函數y=ax2+bx+c的頂點是配方:提取二次項系數配方:加上再減去一次項系數絕對值一半的平方整理:前三項化為平方形式,后兩項合并同類項化簡:去掉中括號這個結果通常稱為求頂點坐標公式.問題：2021/5/914歸納總結：一般地，我們可以用配方法將配方成由此可見函數的圖像與函數的圖像的形狀、開口方向均相同，只是位置不同，可以通過平移得到。﹙1﹚二次函數(a≠0)的圖象是一條

；﹙2﹚對稱軸是直線

；頂點坐標是()拋物線x=26.1.3.1二次函數的圖像

人教版九年級下冊第26章《二次函數》2021/5/915二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符號確定由a,b和c的符號確定向上向下在對稱軸的左側,y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側,y隨著x的增大而增大.

在對稱軸的左側,y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側,y隨著x的增大而減小.

根據圖形填表：2021/5/9161．寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標．當x為何值時y的值最小（大）？（4）（3）（2）（1）練習解:(1)a=3>0拋物線開口向上2021/5/917解:a=－1<0拋物線開口向下（2）2021/5/918解:a=－2<0拋物線開口向下（3）2021/5/919解:a=0.5>0拋物線開口向上（4）2021/5/920例1：指出拋物線:的開口方向，求出它的對稱軸、頂點坐標、與y軸的交點坐標、與x軸的交點坐標。并畫出草圖。

對于y=ax2+bx+c我們可以確定它的開口方向，求出它的對稱軸、頂點坐標、與y軸的交點坐標、與x軸的交點坐標（有交點時），這樣就可以畫出它的大致圖象。∵a=-1＜0,∴開口向下，頂點坐標（2.5，9/4），與y軸交點坐標為（0，-4），與x軸交點為（1,0)、(4,0），2021/5/921方法歸納配方法1公式法2單擊添加文字內容32021/5/922①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－x2+4x-9求下列二次函數圖像的開口、頂點、對稱軸請畫出草圖:3－9－6試一試：2021/5/9231.拋物線y=2x2+8x-11的頂點在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限2.不論k取任何實數，拋物線y=a(x+k)2+k(a≠0)的頂點都在（）

A.直線y=x上B.直線y=-x上

C.x軸上D.y軸上3.若二次函數y=ax2+4x+a-1的最小值是2,則a的值是（）4B.-1C.3D.4或-1牛刀小試CBA2021/5/9244.若把拋物線y=x2-2x+1向右平移2個單位,再向下平移3個單位,得拋物線y=x2+bx+c,則（）

A.b=2c=6B.b=-6,c=6C.b=-8c=6D.b=-8,c=18牛刀小試B2021/5/9255.若一次函數y=ax+b

的圖象經過第二、三、四象限，則二次函數y=ax2+bx-3的大致圖象是()6.在同一直角坐標系中,二次函數y=ax2+bx+c與一次函數y=ax+c的大致圖象可能是（）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC2021/5/926歸納知識點：拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：（1）a的符號：由拋物線的開口方向確定開口向上a>0開口向下a<0（2）C的符號：由拋物線與y軸的交點位置確定:交點在x軸上方c>0交點在x軸下方c<0經過坐標原點c=0演示2021/5/927（3）b的符號：由對稱軸的位置確定：對稱軸在y軸左側a、b同號對稱軸在y軸右側a、b異號對稱軸是y軸b=0（4）b2-4ac的符號：由拋物線與x軸的交點個數確定:與x軸有兩個交點b2-4ac>0與x軸有一個交點b2-4ac=0與x軸無交點b2-4ac<0歸納知識點：拋物線位置與系數a，b，c的關系：2021/5/928歸納知識點：拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：（5）a+b+c的符號：由x=1時拋物線上的點的位置確定（6）a-b+c的符號：由x=-1時拋物線上的點的位置確定你還可想到啥？2021/5/929例8已知如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象，判斷以下各式的值是正值還是負值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．2021/5/930分析：已知的是幾何關系(圖形的位置、形狀)，需要求出的是數量關系，所以應發(fā)揮數形結合的作用．2021/5/931解：(1)因為拋物線開口向下，所以a＜0；判斷a的符號2021/5/932(2)因為對稱軸在y軸右側，所以，而a＜0，故b＞0；判斷b的符號2021/5/933(3)因為x＝0時，y＝c，即圖象與y軸交點的坐標是(0，c)，而圖中這一點在y軸正半軸，即c＞0；判斷c的符號2021/5/934(4)因為頂點在第一象限，其縱坐標，且a＜0，所以，故。判斷b2－4ac的符號2021/5/935

，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因為頂點橫坐標小于1，即判斷2a＋b的符號2021/5/936(6)因為圖象上的點的橫坐標為1時，點的縱坐標為正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判斷a＋b＋c的符號2021/5/937(7)因為圖象上的點的橫坐標為－1時，點的縱坐標為負值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判斷a－b＋c的符號2021/5/938總結：函數y=ax2+bx+c的圖象和性質：頂點坐標：對稱軸：開口向上向下a>0a<0增減性x>-2abx<-2abx>-2abx<-2ab最值當x=-

時，2aby有最小值：4a4ac-b2當x=-

時，2aby有最大值：4a4ac-b2直線x=-2ab4a4ac-b2-2ab（，）2021/5/9391.拋物線y=2x2+8x-11的頂點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不論k取任何實數，拋物線y=a(x+k)2+k(a≠0)的頂點都在（）A.直線y=x上B.直線y=-x上C.x軸上D.y軸上3.若二次函數y=ax2+4x+a-1的最小值是2,則a的值是（）A4B.-1C.3D.4或-1CBA課堂練習2021/5/9404.若二次函數y=ax2+bx+c

的圖象如下,與x軸的一個交點為(1,0),則下列各式中不成立的是（）

A.b2-4ac>0B.<0

C.a+b+c=0D.>01xyo-15.若把拋物線y=x2-2x+1向右平移2個單位,再向下平移3個單位,得拋物線y=x2+bx+c,則（）

A.b=2c=6B.b=-6,c=6C.b=-8c=6D.b=-8,c=18

B

B-2ab4a4ac-b2課堂練習2021/5/9416.若一次函數y=ax+b

的圖象經過第二、三、四象限，則二次函數y=ax2+bx-3的大致圖象是()7.在同一直角坐標系中,二次函數y=ax2+bx+c與一次函數y=ax+c的大致圖象可能是（）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC課堂練習2021/5/942二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+