線性系統(tǒng)理論Chapter9

1第九章傳遞函數(shù)矩陣的結構特性9.1史密斯-麥克米倫形9.2傳遞函數(shù)矩陣的有限極點和有限零點9.3傳遞函數(shù)矩陣的結構指數(shù)9.4傳遞函數(shù)矩陣在無窮遠處的極點和零點9.5傳遞函數(shù)矩陣的評價值9.6傳遞函數(shù)矩陣的零空間和最小多項式基9.7傳遞函數(shù)矩陣的虧數(shù)9.8小結和評述2023最新整理收集do

something29.1史密斯-麥克米倫形史密斯-麥克米倫形及其構造原理結論9.1G(s)為q

p有理分式矩陣，rankG(s)=rmin{q，p}，則必存在q

q和p

p單模矩陣U(s)和V(s)，使其中，{ei(s)，yi(s)}為互質，且滿足整除性yi+1(s)|yi(s)和ei(s)|ei+1(s)。M(s)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的史密斯-麥克米倫形。3史密斯-麥克米倫形的基本特性對于給定的G(s)，其史密斯-麥克米倫形M(s)是唯一的。但是單模陣對{U(s)，V(s)}則不是唯一的；即使G(s)是嚴格真的，其史密斯-麥克米倫形M(s)也可能不是真的。即單模陣對{U(s)，V(s)}的引入，會可能附加引入乘子sk；如果G(s)為方的且非奇異，a為非零常數(shù)，則必成立4

令M(s)=U(s)G(s)V(s)為史密斯-麥克米倫形，則M(s)的一個右MFD可表為其中 當取N(s)=U-1(s)E(s)，D(s)=V(s)Y(s)時，N(s)D-1(s)為G(s)的一個不可簡約右MFD。5返回

令M(s)=U(s)G(s)V(s)為史密斯-麥克米倫形，則M(s)的一個左MFD可表為其中 當取NL(s)=EL(s)V-1(s)

，DL(s)=YL(s)U(s)時，DL-1(s)NL(s)為G(s)的一個不可簡約左MFD。69.2傳遞函數(shù)矩陣的有限極點和有限零點極點和零點的基本定義羅森布羅克定義：G(s)為q

p傳遞函數(shù)矩陣，rankG(s)=rmin{q，p}，其史密斯-麥克米倫形為則G(s)有限極點=M(s)中yi(s)=0的根，

G(s)有限零點=M(s)中ei(s)=0的根，i=1，2，..

，r。

7

幾點討論基于史密斯-麥克米倫形的羅森布羅克定義，只適用于定義傳遞函數(shù)矩陣G(s)在有限復數(shù)平面上的極點和零點；羅森布羅克定義的零點也稱作傳輸零點；多變量系統(tǒng)極點和零點的重要特征是極點和零點可位于復平面的同一位置上而不形成對消。這是因為，在M(s)中，盡管{ei(s)，yi(s)}為互質即沒有公因子，但ei(s)和yj(s)(i

j)之間可以包含公因子。8

極點和零點的推論性定義結論9.8設N(s)D-1(s)和DL-1(s)NL(s)分別為G(s)的任意不可簡約右MFD和左MFD，則必成立G(s)有限極點=detD(s)=0的根或detDL(s)=0的根G(s)有限零點=使N(s)或NL(s)降秩的s值例結論9.9設給定G(s)是嚴格真的，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為(A，B，C)，且(A，B)為完全能控和(A，C)為完全能觀測，則必成立

G(s)有限極點=det(sI-A)=0的根

G(s)有限零點=使降秩的s值9

對零點的直觀解釋結論9.10設給定多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，系統(tǒng)的聯(lián)合能控和能觀測的狀態(tài)空間描述為(A，B，C)，再令z0為G(s)的一個零點，則對滿足關系式的非零初始狀態(tài)x0和非零常向量u0，系統(tǒng)對形如的一類輸入向量具有阻塞作用，即由其引起的系統(tǒng)輸出y(t)將恒等于零。返回109.3傳遞函數(shù)矩陣的結構指數(shù)結構指數(shù)G(s)的史密斯-麥克米倫形為Spz=G(s)的有限極點和零點的集合，其定義式為

Spz={s|s

C，ei(s)=0或yi(s)=0，i=1，2，..，r}對任意xk導出si(xk)是包括0在內的整數(shù)。且{si(xk)}是一非降序列：稱集合{s1(xk)，..，sr(xk)}為G(s)在xk處的結構指數(shù)。例11

對結構指數(shù)的幾點討論結構指數(shù)以統(tǒng)一方式表征傳遞函數(shù)矩陣的極點和零點；si(xk)為正整數(shù)時表示G(s)在s=xk處有零點，si(xk)為負整數(shù)時表示G(s)在s=xk處有極點，而si(xk)為零時表示G(s)在s=xk處既無零點也沒有極點；

G(s)在s=xk處極點的重數(shù)={s1(xk)，..，sr(xk)}中負指數(shù)之和取絕對值，G(s)在s=xk處零點的重數(shù)={s1(xk)，..，sr(xk)}中正指數(shù)之和；結構指數(shù)表示的史密斯-麥克米倫形M(s)返回129.4傳遞函數(shù)矩陣在無窮遠處的極點和

零點無窮遠處的極點和零點引入變換s=l-1，用H(l)代替G(s)，則G(s)在無窮遠處的極點和零點將等于H(l)在l=0處的極點和零點。導出其史密斯-麥克米倫形，則可作定義G(s)在無窮遠處極點=中零根，i=1，..

，r。G(s)在無窮遠處零點=中零根，i=1，..，r。其中，r=rankG(s)，而，并且滿足整除性以及為互質。13

無窮遠處的結構指數(shù)G(s)在s=

處的結構指數(shù){s1(

)，…，sr(

)}=在l=0處的結構指數(shù)其中，{s1(

)，..

，sr(

)}中的正指數(shù)之和為G(s)在

處的零點重數(shù)，{s1(

)，..，sr(

)}中的負指數(shù)之和的絕對值為G(s)在

處的極點的重數(shù)。返回149.5傳遞函數(shù)矩陣的評價值傳遞函數(shù)矩陣在有限復平面上的評價值標量傳遞函數(shù)g(s)的評價值給定其中，{d(s)，n(s)}為互質，且均不能為(s-xk)整除，則g(s)在(s-xk)即s=xk處的評價值

=

如果g(s)0，則=

。例傳遞函數(shù)矩陣G(s)的評價值

|G|i表示G(s)的一個i

i子式，r=rankG(s)，則規(guī)定

G(s)在s=xk處的第i階評價值

=

min{(|G|i)}，i=1，…，r15結論9.21考慮傳遞函數(shù)矩陣G(s)，r=rankG(s)，U(s)和V(s)為單模陣，則其史密斯-麥克米倫形則對任一xk

C，必成立結論9.22Spz為傳遞函數(shù)矩陣G(s)有限極點零點集，則對任一，必有16結論9.23傳遞函數(shù)矩陣G(s)，r=rankG(s)，表{s1(x)，..，sr(x)}為G(s)在s=x處的結構指數(shù)，為G(s)在s=x處的各階評價值，則兩者之間成立例傳遞函數(shù)矩陣在無窮遠處的評價值標量傳遞函數(shù)g(s)在

處的評價值

=v

(g)

“分母多項式d(s)的次數(shù)”-“分子多項式n(s)的次數(shù)”G(s)在

處的第i階評價值v(i)

(G)

min{v

(|G|i)}，i=1，..，r

17結論9.25傳函矩陣G(s)，r=rankG(s)，{s1()，

，sr()}為G(s)在s=

處的結構指數(shù)，為G(s)在s=

處的各階評價值，則兩者之間成立用法：通過計算G(s)在

處的各階評價值來定出G(s)在

處的史密斯-麥克米倫形，其中l(wèi)=1/s。傳遞函數(shù)矩陣的史密斯-麥克米倫形的合成表達式返回189.6傳遞函數(shù)矩陣的零空間和最小多項式基零空間設G(s)為非方的且為非滿秩，則一定存在

G(s)f(s)=0和h(s)G(s)=0所以，G(s)的右零空間為非零向量f(s)在有理分式域上構成的一個向量空間，表之為G(s)的左零空間為非零向量h(s)在有理分式域上構成的向量空間，表之為19

零空間的基本屬性r=rankG(s)，0

rmin{p，q}，則G(s)的零空間的維數(shù)滿足dim(Wr)=p–r

和dim(Wl)=q–r；G(s)的右零空間Wr上的任一向量f(s)都正交于G(s)的所有行有理分式向量，G(s)的左零空間Wl上的任一向量h(s)都正交于G(s)的所有列有理分式向量；如果G(s)為列滿秩，即rankG(s)=p，則G(s)右零空間Wr為空，如果G(s)為行滿秩，即rankG(s)=q，則G(s)左零空間Wl為空；G(s)右零空間Wr和左零空間Wl同時為空的充要條件是G(s)為方的且為非奇異，即detG(s)0；G(s)零空間向量一般為有理分式向量，也包含有多項式向量。20

設W為G(s)的零空間，設其維數(shù)dim(W)=a。則任意a個線性無關的向量都可被取為零空間的基。若取定的這a個線性無關的向量為有理分式向量時，稱為有理分式基。若這a個線性無關的向量為多項式向量時，稱為多項式基。零空間W的次數(shù)為最小的一個多項式基稱為最小多項式基。右零空間的最小多項式基可按如下方式來搜索：最小多項式基21從G(s)f(s)=0成立的所有多項式向量f(s)中，選擇次數(shù)為最小的多項式向量，記為f1(s)，其次數(shù)為m1再從f(s)且和f1(s)線性無關的多項式向量中選擇次數(shù)為最小的多項式向量，記為f2(s)，其次數(shù)為m2重復上步直到選滿a個線性無關的多項式向量{f1(s)，f2(s)，..，fa(s)}最小多項式基{f1(s)，..，fa(s)}的次數(shù)mi滿足m1

m2

..

ma與上述過程類似，左零空間h(s)G(s)=0的最小多項式基{h1(s)，..，hb(s)}，其次數(shù)滿足u1

u2

..

ub。稱{mi，i=1，..，a}為G(s)的右最小指數(shù)，稱{uj，j=1，..，b}為G(s)的左最小指數(shù)。零空間的階數(shù)為其多項式基的所有多項式向量的次數(shù)之和。22最小指數(shù)和克羅內克爾指數(shù)結論9.39設G(s)=(sE-A)，E和A為常數(shù)矩陣，則必成立：G(s)的右最小指數(shù)=(sE-A)的右克羅內克爾指數(shù)G(s)的左最小指數(shù)=(sE-A)的左克羅內克爾指數(shù){m1，..，ma}為右克羅內克爾指數(shù){u1，..，ub}為左克羅內克爾指數(shù)23結論9.40給定滿列秩的多項式矩陣F(s)：

F(s)=[f1(s)，f2(s)，..，fa(s)]其列次數(shù)滿足：m1

m2

..

ma則下述三種說法是等價的：(1){f1(s)，..，fa(s)}是由其張成的一個有理分式向量空間的一個右最小多項式基；(2)F(s)是列既約的和不可簡約的；(3)F(s)有最小階。左最小多項式基判據與上類似，意義：為零空間的多項式基是否最小，提供了比較方便的判斷準則。返回249.7傳遞函數(shù)矩陣的虧數(shù)虧數(shù)給定q

p傳遞函數(shù)矩陣G(s)，r=rankG(s)，則G(s)的虧數(shù)定義為G(s)在復數(shù)平面C上的有限處和無窮遠處的第r階評價值vx(r)(G)的代數(shù)和取負值，即

G(s)的虧數(shù)=defG(s)標量傳遞函數(shù)g(s)的結構性質：

g(s)在有限處和無窮遠處的極點總數(shù)

=g(s)在有限處和無窮遠處的零點總數(shù)傳遞函數(shù)矩陣的奇異性，導致上式不再成立。25

虧數(shù)的極點零點不平衡性結論9.43q

p傳遞函數(shù)矩陣G(s)，r=rankG(s)，則必成立defG(s)={G(s)的有限極點和無窮遠極點的總數(shù)}-{G(s)的有限零點和無窮遠零點的總數(shù)}證明：對給定G(s)，可導出其史密斯-麥克米倫形26正整數(shù)即零點的結構指數(shù)負整數(shù)即極點的結構指數(shù)原題得證，并可推出結論9.44虧數(shù)反映G(s)極點零點不平衡性程度；結論9.45q×p傳函G(s)，極點零點平衡

defG(s)=0；結論9.46defG(s)=0

G(s)正則，即G(s)為方且detG(s)027

虧數(shù)和最小指數(shù)結論9.47q

p傳遞函數(shù)矩陣G(s)，r=rankG(s)，則必成立defG(s)={G(s)的右最小指數(shù)之和}+{G(s)的左最小指數(shù)之和}討論：虧數(shù)的大小反映了傳遞函數(shù)矩陣的奇異程度。表明傳遞函數(shù)矩陣的奇異性，在結構特性上呈現(xiàn)為極點總個數(shù)與零點總個數(shù)之間的不匹配性；虧數(shù)defG(s)總為正整數(shù)，因此，G(s)為奇異時，必屬于極點總個數(shù)多于零點總個數(shù)的情況；當且僅當G(s)為方和非奇異時，有defG(s)=0，極點總個數(shù)等于零點總個數(shù)，即G(s)可保持良好的結構性質。返回289.8小結和評述本章定位：基于傳遞函數(shù)矩陣描述線性時不變系統(tǒng)的極點零點和奇異性極點和零點：有限和無窮，多輸入多輸出系統(tǒng)的一個基本屬性是其有限與無窮極點總數(shù)和有限與無窮零點總數(shù)的不平衡奇異性：多種角度分析：G(s)