復變函數(shù)與積分變換課件

引言

在十六世紀中葉，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程時引進了復數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個方程沒有根，并把這個方程的兩個根形式地表為。在當時，包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實上，復數(shù)被Cardano引入后，在很長一段時間內(nèi)不被人們所理睬，并被認為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉。特別是由于L.Euler的研究結果，復數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法國.1768-1822）將復數(shù)用平面向量或點來表示，以及K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復數(shù)為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復數(shù)真實性的長久疑慮，“復變函數(shù)”這一數(shù)學分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。

復變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學，自然科學和工程技術中有著廣泛的應用，是解決諸如流體力學，電磁學，熱學彈性理論中平面問題的有力工具。

復變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實變函數(shù)在復數(shù)領域的推廣和發(fā)展。第一章復數(shù)與復變函數(shù)§1.1復數(shù)及其表示法

一對有序?qū)崝?shù)（）構成一個復數(shù)，記為.

自變量為復數(shù)的函數(shù)就是復變函數(shù),它是本課程的研究對象.由于在中學階段已經(jīng)學過復數(shù)的概念和復數(shù)的運算,本章將在原有的基礎上作簡要的復習和補充;然后再介紹復平面上的區(qū)域以及復變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念,為進一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎.x,y分別稱為Z的實部和虛部,記作x=Re(Z),y=Im(Z),.稱為Z的共軛復數(shù)。與實數(shù)不同,一般說來,任意兩個復數(shù)不能比較大小.兩個復數(shù)相等他們的實部和虛部都相等特別地，1.代數(shù)形式

:復數(shù)的表示法1)點表示yz(x,y)xx0yr復平面實軸虛軸2)向量表示----復數(shù)z的輻角(argument)

記作Argz=q.任何一個復數(shù)z0有無窮多個幅角,將滿足-p<q0

p的q0稱為Argz的主值,記作q0=argz.則Argz=q0+2kp=argz+2kp(k為任意整數(shù))0xyxyqz=x+iy|z|=r----復數(shù)z的模當z=0時,|z|=0,而幅角不確定.argz可由下列關系確定:說明：當z在第二象限時，2.指數(shù)形式與三角形式利用直角坐標與極坐標的關系:x=rcosq,y=rsinq,可以將z表示成三角表示式: 利用歐拉公式eiq=cosq+isinq得指數(shù)表示式:例1將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)顯然,r=|z|=1,又因此練習：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：§1.2復數(shù)復數(shù)的運算設z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.復數(shù)運算滿足交換律,結合律和分配律:1.

四則運算加減法與平行四邊形法則的幾何意義:乘、除法的幾何意義:,,,定理1

兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,兩個復數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和.

等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, 的意思是等式的兩邊都是無限集合,兩邊的集合相等,即每給定等式左邊的一個數(shù),就有等式右邊的一個數(shù)與之對應,反之亦然.

幾何上z1z2相當于將z2的模擴大|z1|倍并旋轉一個角度Argz1.01例2：設求：解：若取則若取則;按照乘積的定義,當z10時,有定理2兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.2.

乘方與開方運算1）乘方DeMoivre公式：2）開方:若滿足，則稱w為z的n次方根，記為

于是推得從而幾何解釋：z1/n的n個值就是以原點為中心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點。例2求[解]

因為所以即四個根是內(nèi)接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.1+iw0w1w2w3Oxy§1.3復數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形

很多平面圖形能用復數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例3將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復數(shù)形式的方程來表示.

[解]

通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為

因此,它的復數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)

由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取得知線段的中點為

例4求下列方程所表示的曲線:解：設z=x+iy

,

方程變?yōu)?iOxy

幾何上,該方程表示到點2i和-2的距離相等的點的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。Oxy-22iy=-x設z=x+iy

,那末可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-3§1.4復數(shù)域的幾何模型---復球面0Nx1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點來表示復數(shù).

對復平面內(nèi)任一點z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系,

而N點本身可代表無窮遠點,記作.

這樣的球面稱作復球面.擴充復數(shù)域---引進一個“新”的數(shù)∞:擴充復平面---引進一個“理想點”:無窮遠點

∞.約定:

§1.4區(qū)域1.區(qū)域的概念

平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓:|z-z0|<d內(nèi)部的點的集合稱為z0的鄰域,而稱由不等式0<|z-z0|<d所確定的點集為z0的去心鄰域.包括無窮遠點自身在內(nèi)且滿足|z|>M的所有點的集合,其中實數(shù)M>0,稱為無窮遠點的鄰域.

即它是圓|z|=M的外部且包含無窮遠點本身.不包括無窮遠點本身的僅滿足|z|>M的所有點稱為無窮遠點的去心鄰域,也記作M<|z|<.0M|z|>M

設G為一平面點集,z0為G中任意一點.如果存在z0的一個鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點.

如果G內(nèi)的每個點都是它的內(nèi)點,則稱G為開集

平面點集D稱為一個區(qū)域,如果它滿足下列兩個條件:

1)D是一個開集;

2)D是連通的。就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D

的一條折線連接起來.

設D為復平面內(nèi)的一個區(qū)域,如果點P不屬于D,但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點,這樣的點P稱為D的邊界點.D的所有邊界點組成D的邊界.區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的.

區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域或閉域,記作

D.

如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個點z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為無界的.2.單連通域與多連通域

平面曲線在數(shù)學上,經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線.如果x(t)和y(t)是兩個連續(xù)的實變函數(shù),則方程組

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

則此曲線可用一個方程

z=z(t) (a

t

b)

來代表.這就是平面曲線的復數(shù)表示式.

設C:z=z(t)(a

t

b)為一條連續(xù)曲線,z(a)與z(b)分別為C的起點與終點.對于滿足a<t1<b,a

t2

b的t1與t2,當t1

t2而有z(t1)=z(t2)時,點z(t1)稱為曲線C的重點.沒有重點的連續(xù)曲線C,稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線.如果簡單曲線C的起點與終點閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡單閉曲線.z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)

任意一條簡單閉曲線C把整個復平面唯一地分成三個互不相交的點集,其中除去C外,一個是有界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部,另一個是無界區(qū)域,稱為C的外部,C為它們的公共邊界.簡單閉曲線的這一性質(zhì),其幾何直觀意義是很清楚的.內(nèi)部外部C定義復平面上的一個區(qū)域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱為單連通域,一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域§1.5復變函數(shù)1.復變函數(shù)的定義定義設D是復平面中的一個點集,稱為復變函數(shù).其確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數(shù)u,v.例如,考察函數(shù)w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,則

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

因而函數(shù)w=z2

對應于兩個二元函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy

在以后的討論中,D常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).2.映射的概念

函數(shù)w=f(z)在幾何上可以看做是把z平面上的一個點集D(定義集合)變到w平面上的一個點集G(函數(shù)值集合)的映射(或變換).如果D中的點z被映射w=f(z)映射成G中的點w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW設函數(shù)w=z=x–iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2設函數(shù)w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1

函數(shù)w=z2

對應于兩個二元實變函數(shù):u=x2-y2,v=2xy

把z平面上的兩族雙曲線x2-y2=c1,2xy=c2分別映射成w平面上的兩族平行直線u=c1,v=c2.101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10

如果函數(shù)(映射)w=f(z)與它的反函數(shù)(逆映射)z=j(w)都是單值的,則稱函數(shù)(映射)w=f(z)是一一的.此時,我們也稱集合D與集合G是一一對應的.舉例：曲線在映射下的像

例題1

例題2例題3例題4

§1.6復變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限

定義設函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域0<|z-z0|<r內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對于任意給定的e>0,相應地必有一正數(shù)d(e)(0<d

),使得當0<|z-z0|<d時有|f(z)-A|<e,則稱A為f(z)當z趨向于z0時的極限,記作或記作當z

z0時,f(z)A.幾何意義:

xyOz0dzOuvAef(z)等價定義：

設f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,則運算性質(zhì)：當z0時的極限不存在例1

證明函數(shù)[證]

令z=x+iy,則由此得讓z沿直線y=kx

趨于零,我們有故極限不存在.2.函數(shù)的連續(xù)性

定義

則說f(z)在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),我們說f(z)在D內(nèi)連續(xù).函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù).性質(zhì)：(1)連續(xù)函數(shù)的四則運算仍然連續(xù)；(2)連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍然連續(xù)；(3)連續(xù)函數(shù)的模也連續(xù)；(4)有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必有界，且其模在D上取到最大值與最小值;(5)有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù).例題1

討論的連續(xù)性。x00容易證明：可導可微；可導連續(xù)。如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導,就說f(z)在Ｄ內(nèi)可導.

例1

求f(z)=z2

的導數(shù)。[解]因為所以

f'(z)=2z.復變函數(shù)的導數(shù)具有與實函數(shù)同樣的求導法則。（即f(z)=z2

在復平面處處可導。）例2問f(z)=x+2yi是否可導?[解]

這里所以f(z)=x+2yi

的導數(shù)不存在.（即f(z)=x+2yi

在整個復平面處處不可導.）例3討論的可導性。解：所以在復平面上除原點外處處不可導。2.解析函數(shù)的概念函數(shù)在一點解析在該點可導。反之不一定成立。在區(qū)域內(nèi)：例如f(z)=z2

在整個復平面上解析；僅在原點可導，故在整個復平面上不解析；f(z)=x+2yi在整個復平面上不解析。定義否則稱為奇點。例4討論函數(shù)f(z)=1/z的解析性.解：故f(z)=1/z除

z=0外處處解析；z=0是它的一個奇點。解析函數(shù)的性質(zhì)：(1)

兩個解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；(2)

兩個解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(3)

一個解析函數(shù)不可能僅在一個點或一條曲線上解析；所有解析點的集合必為開集。問題：對函數(shù)

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如何判別其解析（可導）性？換句話說：設函數(shù)于是u(x,y)

與v(x,y)

在該點可微,并且滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。設u(x,y)

與v(x,y)

在點(x,y)可微,于是（

x,

y0時,ek0,(k=1,2,3,4)）并且滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。即函數(shù)f(z)在點z=x+iy處可導.由z的任意性可知：定理1

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微,并滿足Cauchy-Riemann方程.定理2函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi)一點z=x+iy可導的充分必要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(x,y)可微,在該點滿足Cauchy-Riemann方程。推論：例題1

解：例題2

判斷下列函數(shù)在何處可導,在何處解析:解：

得u=x,v=-y,所以在復平面內(nèi)處處不可導,處處不解析；2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,

所以當且僅當x=y=0時,因而函數(shù)僅在z=0可導,但在復平面內(nèi)任何地方都不解析.是區(qū)域內(nèi)的正交曲線族。

(正交：兩曲線在交點處的切線垂直

)例題3

證：得證。

解析函數(shù)退化為常數(shù)的幾個充分條件：(a)

函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且導數(shù)恒為零；(b)

解析函數(shù)的實部、虛部、?；蜉椊侵杏幸粋€恒為常數(shù)；(c)

解析函數(shù)的共軛在區(qū)域內(nèi)解析。例如兩族分別以直線y=

x和坐標軸為漸近線的等軸雙曲線x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10§2.2解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關系定義1

(稱為調(diào)和方程或Laplace方程)定理1：

證明：

且u,v有任意階連續(xù)偏導數(shù)

同樣可得

注：逆定理顯然不成立，即

對區(qū)域D內(nèi)的任意兩個調(diào)和函數(shù)u,v,不一定是解析函數(shù)

.定義2

若u與v是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且滿足C-R程，

則稱v為u的共軛調(diào)和函數(shù)

.定理2：

在區(qū)域D內(nèi)解析

v為u的共軛調(diào)和函數(shù)

.解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和數(shù)例如：是解析函數(shù)，不是解析函數(shù)。已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個，可利用C-R方程求得另一個，從而構成一個解析函數(shù)。例題1已知一調(diào)和函數(shù)求一解析函數(shù)解：由C-R方程于是（法一）從而即為所求解析函數(shù)。（法二）(0,0)(x,y)(x,0)（法三）§2.3初等函數(shù)3.1指數(shù)函數(shù)

定義：

性質(zhì)：

3.2三角函數(shù)定義：性質(zhì)：(1)Euler公式仍然成立：(2)全平面解析函數(shù)，(3)各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外)(4)sinz為奇函數(shù)，cosz為偶函數(shù)例如(7)定義其他的三角函數(shù)：3.3雙曲函數(shù)定義：

（1）全平面解析函數(shù)：（2）以2pi為基本周期的周期函數(shù)：（3）chz為偶函數(shù),shz為奇函數(shù)。（4）與三角函數(shù)的關系：例題1解方程解：3.4對數(shù)函數(shù)定義：記：

多值性-------主值支例如：性質(zhì)：(2)Lnz為無窮多值函數(shù)，每兩個值相差2πi的整數(shù)倍，(4)除去原點與負實軸,lnz在復平面內(nèi)處處解析：

今后我們應用對數(shù)函數(shù)Lnz時,指的都是它在除去原點及負實軸的平面內(nèi)的某一單值分支.

問題：3.5冪函數(shù)定義：----單值函數(shù)----n值函數(shù)----n值函數(shù)----無窮多值函數(shù)在除原點和負實軸復平面內(nèi)主值支及各分支解析，且復積分存在的一個充分條件：復積分的性質(zhì)：1線性性：

例題1

（2）C：左半平面以原點為中心逆時針方向的單位半圓周。解（1）

（2）參數(shù)方程為可見積分與路徑有關。例題2

解：

例如例題3

證明：

例如練習例題4

解：可見，積分與路徑無關僅與起點和終點有關?！?.2柯西積分定理定理1（Cauchy）

如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:

注1：定理中的曲線C可以不是簡單曲線.此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。

注2：如果曲線C是D的邊界,函數(shù)f(z)在D內(nèi)與C上解析,即在閉區(qū)域D+C上解析,甚至f(z)在D內(nèi)解析,在閉區(qū)域D+C上連續(xù),則f(z)在邊界上的積分仍然有推論：如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,C屬于D，與路徑無關僅與起點和終點有關。于是是解析函數(shù)。解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)特別地例如：注：以上討論中D為單連通域。這里D為復連通域?？蓪⒖挛鞣e分定理推廣到多連通域的情況定理2

假設C及C1為任意兩條簡單閉曲線,C1在C內(nèi)部,設函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析,在邊界上連續(xù)，則證明：取這說明解析函數(shù)沿簡單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。------閉路變形原理推論（復合閉路定理）：(互不包含且互不相交)，

所圍成的多連通區(qū)域，

例題1C如圖所示：解：

存在f(z)的解析單連通域D包含曲線C，故積分與路徑無關，僅與起點和終點有關。從而例題2C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線。解：

（由閉路變形原理）§3.3柯西積分公式若

f(z)在D內(nèi)解析，則分析：.定理(柯西積分公式)如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點,則---解析函數(shù)可用復積分表示。[證]由于f(z)在z0連續(xù),任給e>0,存在d(e)>0,當|z-z0|<d

時,|f(z)-f(z0)|<e.設以z0為中心,R為半徑的圓周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,且R<d.DCKzz0R根據(jù)閉路變形原理,該積分的值與R無關,所以只有在對所有的R積分為值為零才有可能。推論1如果C是圓周z=z0+Reiq,則柯西積分公式成為------一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.推論2設f(z)在二連域D內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，則例題1

解：

§3.4解析函數(shù)的高階導數(shù)

一個解析函數(shù)不僅有一階導數(shù),而且有各高階導數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示.這一點和實變函數(shù)完全不同.一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導,它的導數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說它有高階導數(shù)存在了.定理

解析函數(shù)f(z)的導數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導數(shù)為:

其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D.[證]設z0為D內(nèi)任意一點,先證n=1的情形,即

因此就是要證按柯西積分公式有因此現(xiàn)要證當Dz0時I0,而f(z)在C上連續(xù),則有界,設界為M,則在C上有|f(z)|

M.d為z0到C上各點的最短距離,則取|Dz|適當?shù)匦∈蛊錆M足|Dz|<d/2,因此L是C的長度這就證得了當Dz0時,I0.Dz0dC這就證得了再利用同樣的方法去求極限:依此類推,用數(shù)學歸納法可以證明:高階導數(shù)公式的作用,不在于通過積分來求導,而在于通過求導來求積分.例1求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1.[解]1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.Cauchy不等式：

證明：注1：解析函數(shù)的導數(shù)模的估計與區(qū)域的大小有關；注2：

Liouville定理：全平面的有界解析函數(shù)必為常數(shù)。證明：對復平面上任一點z，941.復數(shù)列的極限設{an}(n=1,2,...)為一復數(shù)列,其中an=an+ibn,又設a=a+ib為一確定的復數(shù).如果任意給定e>0,相應地能找到一個正數(shù)N(e),使|an-a|<e在n>N時成立,則a稱為復數(shù)列{an}當n

時的極限,記作此時也稱復數(shù)列{an}收斂于a.95定理一

復數(shù)列{an}(n=1,2,...)收斂于a的充要條件是[證]如果,則對于任意給定的e>0,就能找到一個正數(shù)N,當n>N時,96反之,如果972.級數(shù)概念設{an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復數(shù)列,表達式稱為無窮級數(shù),其最前面n項的和

sn=a1+a2+...+an稱為級數(shù)的部分和.如果部分和數(shù)列{sn}收斂,98定理二

級數(shù)收斂的充要條件是級數(shù)

和都收斂

[證]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)

+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,

其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分別為

和的部分和,由定理一,{sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{tn}的極限存在,即級數(shù)和都收斂.99定理二將復數(shù)項級數(shù)的審斂問題轉化為實數(shù)項級數(shù)的審斂問題.100定理三[證]101102103另外,因為的各項都是非負的實數(shù),所以它的收斂也可用正項級數(shù)的判定法來判定.例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.104[解]1)因1052)由于an=ncosin=nchn,因此,當n

時,an.所以an發(fā)散.

例2下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂?[解]1)

因發(fā)散;收斂,

故原級數(shù)發(fā)散.1062)因,由正項級數(shù)的比值審斂法知

收斂,故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.3)因收斂;也收斂,

故原級數(shù)收斂.但因

為條件收斂,所以原級數(shù)非絕對收斂.107§2冪級數(shù)1081.冪級數(shù)的概念設{fn(z)}(n=1,2,...)為一復變函數(shù)序列,其中各項在區(qū)域D內(nèi)有定義.表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù).最前面n項的和

sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)稱為這級數(shù)的部分和.109存在,則稱復變函數(shù)項級數(shù)(4.2.1)在z0收斂,而s(z0)稱為它的和.如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂,則它的和一定是z的一個函數(shù)s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...如果對于D內(nèi)的某一點z0,極限s(z)稱為級數(shù)的和函數(shù)110這種級數(shù)稱為冪級數(shù).如果令z-a=z,則(4.2.2)成為,這是(4.2.3)的形式,為了方便,今后常就(4.2.3)討論當fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時,就得到函數(shù)項級數(shù)的特殊情形:111定理一(阿貝爾Abel定理)z0xyO112[證]1131141152.收斂圓和收斂半徑利用阿貝爾定理,可以定出冪級數(shù)的收斂范圍,對一個冪級數(shù)來說,它的收斂情況不外乎三種:

i)對所有的正實數(shù)都是收斂的.這時,根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復平面內(nèi)處處絕對收斂.

ii)對所有的正實數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.這時,級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.

iii)既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù),也存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù).設z=a(正實數(shù))時,級數(shù)收斂,z=b(正實數(shù))時,級數(shù)發(fā)散.116顯然a<b,將收斂域染成紅色,發(fā)散域為藍色.RCROabCaCbxy117當a由小逐漸變大時,Ca必定逐漸接近一個以原點為中心,R為半徑的圓周CR.在CR的內(nèi)部都是紅色,外部都是藍色.這個紅藍兩色的分界圓周CR稱為冪級數(shù)的收斂圓.在收斂圓的外部,級數(shù)發(fā)散.收斂圓的內(nèi)部,級數(shù)絕對收斂.收斂圓的半徑R稱為收斂半徑.所以冪級數(shù)(4.2.3)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.對冪級數(shù)(4.2.2)來說,收斂范圍是以z=a為中心的圓域.在收斂圓上是否收斂,則不一定.118例1求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).[解]級數(shù)實際上是等比級數(shù),部分和為1191203.收斂半徑的求法121122123124125例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑1261271281294.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)象實變冪級數(shù)一樣,復變冪級數(shù)也能進行有理運算.設在以原點為中心,r1,r2中較小的一個為半徑的圓內(nèi),這兩個冪級數(shù)可以象多項式那樣進行相加,相減,相乘,所得到的冪級數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.130131更為重要的是代換(復合)運算這個代換運算,在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時,有著廣泛的應用.132133Oxyab當|z-a|<|b-a|=R時級數(shù)收斂134按柯西積分公式,有且z0Kzrz由解析函數(shù)高階導數(shù)公式,上式可寫成在K內(nèi)成立,即f(z)可在K內(nèi)用冪級數(shù)表達.q與積分變量z無關,且0

q<1.z0KzrzK含于D,f(z)在D內(nèi)解析,在K上連續(xù),在K上有界,因此在K上存在正實數(shù)M使|f(z)|

M.因此,下面的公式在K內(nèi)成立:稱為f(z)在z0的泰勒展開式,它右端的級數(shù)稱為f(z)在z0處的泰勒級數(shù).

圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內(nèi).所以,如果z0到D的邊界上各點的最短距離為d,則f(z)在z0的泰勒展開式在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立.定理(泰勒展開定理)設f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點,d為z0到D的邊界上各點的最短距離,則當|z-z0|<d時,

注：如果f(z)在z0解析,則使f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑R等于從z0到f(z)的距z0最近一個奇點a的距離,即R=|a-z0|.yz0ax

任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結果就是泰勒級數(shù),因而是唯一的.

利用泰勒展開式,我們可以直接通過計算系數(shù):把f(z)在z0展開成冪級數(shù),這被稱作直接展開法例如,求ez在z=0處的泰勒展開式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因為ez在復平面內(nèi)處處解析,上式在復平面內(nèi)處處成立,收斂半徑為+.同樣,可求得sinz與cosz在z=0的泰勒展開式:除直接法外,也可以借助一些已知函數(shù)的展開式,利用冪級數(shù)的運算性質(zhì)和分析性質(zhì),以唯一性為依據(jù)來得出一個函數(shù)的泰勒展開式,此方法稱為間接展開法.例如sinz在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:[解]由于函數(shù)有一奇點z=-1,而在|z|<1內(nèi)處處解析,所以可在|z|<1內(nèi)展開成z的冪級數(shù).因為

例1

把函數(shù)展開成z的冪級數(shù).例2求對數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級數(shù)展開式.[解]ln(1+z)在從-1向左沿負實軸剪開的平面內(nèi)是解析的,

-1是它的奇點,所以可在|z|<1展開為z的冪級數(shù).-1OR=1xy推論1：

注：推論2：

推論3:冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個奇點.(即使冪級數(shù)在其收斂圓周上處處收斂)例如：推論4：例如：而如果把函數(shù)中的x換成z,在復平面內(nèi)來看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個奇點

i,而這兩個奇點都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上,所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關心z的實數(shù)值,但復平面上的奇點形成了限制.

在實變函數(shù)中有些不易理解的問題,一到復變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實數(shù)范圍內(nèi),展開式的成立必須受|x|<1的限制,這一點往往使人難以理解,因為上式左端的函數(shù)對任何實數(shù)都是確定的而且是可導的.§4洛朗級數(shù)

一個以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示.但是這種情況在實際問題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法.討論下列形式的級數(shù):可將其分為兩部分考慮:只有正冪項和負冪項都收斂才認為原級數(shù)收斂于它們的和.正冪項是一冪級數(shù),設其收斂半徑為R2：這是z的冪級數(shù),設收斂半徑為R：對負冪項,如果令z=(z-z0)-1,就得到：則當|z-z0|>R1時,即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級數(shù)才收斂.z0R1R2例如級數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有.例如,可以證明,上述級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項求積和逐項求導.冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),級數(shù)現(xiàn)在反問,在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級數(shù)?先看下例.其次,在圓環(huán)域:0<|z-1|<1內(nèi)也可以展開為z-1的冪級數(shù):1Oxy定理

設f(z)在圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)解析,則C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡單閉曲線.[證]設z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點,

在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2,K2的半徑R大于K1的半徑r,且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西積分公式得R1R2zrK1zRK2zz0因此有如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條正向簡單閉曲線C,則根據(jù)閉路變形原理,這兩個式子可用一個式子來表示:Cz0R1R2稱為函數(shù)f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域:R1<|z-z0|<R2內(nèi)的洛朗(Laurent)展開式,它右端的級數(shù)稱為f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù).

一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正,負冪項的級數(shù)是唯一的,這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù).

根據(jù)由正負整次冪項組成的級數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運算,代換,求導和積分等方法去展開,以求得洛朗級數(shù)的展開式.解：函數(shù)f(z)

在圓環(huán)域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+

內(nèi)是處處解析的,應把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).xyO1xyO12xyO2先把f(z)用部分分式表示:ii)在1<|z|<2內(nèi)：iii)在2<|z|<+

內(nèi):例2把函數(shù)[解]因有函數(shù)可以在以z0為中心的(由奇點隔開的)不同圓環(huán)域內(nèi)解析,因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).我們不要把這種情形與洛朗展開式的唯一性相混淆.所謂洛朗展開式的唯一性,是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式是唯一的.例如在z=i

和z=-i處展開函數(shù)為洛朗級數(shù)。在復平面內(nèi)有兩個奇點:z=0與z=-i,分別在以i為中心的圓周:|z-i|=1與|z-i|=2上.因此,f(z)在以i為中心的圓環(huán)域(包括圓域)內(nèi)的展開式有三個:1)在|z-i|<1中的泰勒展開式;

2)在1<|z-i|<2中的洛朗展開式;

3)在2<|z-i|<+

中的洛朗展開式;在復平面內(nèi)有一個奇點:z=0在以-i為中心的圓周:|z+i|=1上.因此,f(z)在以-i為中心的圓環(huán)域內(nèi)的展開式有二個:1)在0<|z+i|<1中的洛朗展開式;

2)在1<|z+i|<+

中的洛朗展開式。O-ii特別的，當洛朗級數(shù)的系數(shù)公式（即可利用Laurent系數(shù)計算積分）

其中C為圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)的任何一條簡單閉曲線,

f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)解析.例３解：

將函數(shù)f(z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)展開成洛朗級數(shù).根據(jù)展開式的不同情況對孤立奇點作分類.可去奇點

如果在洛朗級數(shù)中不含z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的可去奇點.這時,f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<|z-z0|<d,則在圓域|z-z0|<d內(nèi)就有f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,

從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了.所以z0稱為可去奇點.2.極點

如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負冪項,

且其中關于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),則孤立奇點z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點.上式也可寫成

其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d內(nèi)是解析的函數(shù),且g(z0)0.

反過來,當任何一個函數(shù)f(z)能表示為(*)的形式,且g(z0)0時,則z0是f(z)的m級極點.如果z0為f(z)的極點,由(*)式,就有3.本性奇點

如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.綜上所述:我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.4.函數(shù)的零點與極點的關系

不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成

f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m為某一正整數(shù),則z0稱為f(z)的m級零點.例如當f(z)=z(z-1)3時,z=0與z=1是它的一級與三級零點.根據(jù)這個定義,我們可以得到以下結論:

如f(z)在z0解析,則z0是f(z)的m級零點的充要條件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.

這是因為,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的鄰域展開為泰勒級數(shù):f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，

易證z0是f(z)的m級零點的充要條件是前m項系數(shù)

c0=c1=...=cm-1=0,cm0,

這等價于

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0。例如z=1是f(z)=z3-1的零點,由于

f'(1)=3z2|z=1=30,從而知z=1是f(z)的一級零點.由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零.這是因為j(z)在z0解析,必在z0連續(xù),所以給定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零,即不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.定理

如果z0是f(z)的m級極點,則z0就是的m級零點,

反過來也成立.這個定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡單的方法.例2例3對討論函數(shù)在處的性態(tài)。5.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)

如果函數(shù)f(z)在無窮遠點z=

的去心鄰域R<|z|<內(nèi)解析,稱點

為f(z)的孤立奇點.作變換

把擴充z平面上

的去心鄰域R<|z|<+映射成擴充w平面上原點的去心鄰域：又.這樣,我們可把在去心鄰域R<|z|<+

對f(z)的研究變?yōu)樵趦?nèi)對j(w)的研究.顯然j(w)在內(nèi)解析,所以w=0是孤立奇點.f(z)在無窮遠點z=

的奇點類型等價于j(w)在w=0的奇點類型。即z=

是f(z)的可去奇點,極點或本性奇點,完全看極限是否存在(有限值),為無窮大或即不存在又不是無窮大來決定.例題1例題2例題3

§2留數(shù)留數(shù)的定義及留數(shù)定理

如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域D內(nèi)解析,那末根據(jù)柯西積分定理

但是,如果z0為f(z)的一個孤立奇點,則沿在z0的某個去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分一般就不等于零.因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R兩端沿C逐項積分:稱C-1為f(z)在z0的留數(shù),記作Res[f(z),z0],即定理一(留數(shù)定理)

設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC[證]把在C內(nèi)的孤立奇點zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據(jù)復合閉路定理有注意定理中的條件要滿足。例如不能應用留數(shù)定理。

求函數(shù)在孤立奇點z0處的留數(shù)即求它在洛朗級數(shù)中

(z-z0)-1項的系數(shù)c-1即可.但如果知道奇點的類型,對求留數(shù)可能更有利.

如果z0是f(z)的可去奇點,則Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇點,則只好將其按洛朗級數(shù)展開.如果z0是極點,則有一些對求c-1有用的規(guī)則.2.留數(shù)的計算規(guī)則

規(guī)則1

如果z0為f(z)的一級極點,則規(guī)則2

如果z0為f(z)的m級極點,則事實上,由于

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令兩端z

z0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得規(guī)則2,當m=1時就是規(guī)則1。即得規(guī)則3。由規(guī)則1,得我們也可以用規(guī)則3來求留數(shù):這比用規(guī)則1要簡單些.例5解：所以原式=例4解：z=0為一級極點。3.在無窮遠點的留數(shù)

設函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<

內(nèi)解析,C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條簡單閉曲線,則積分的值與C無關,稱其為f(z)在

點的留數(shù),記作f(z)在圓環(huán)域R<|z|<

內(nèi)解析：

理解為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡單閉曲線。

這就是說,f(z)在

點的留數(shù)等于它在

點的去心鄰域R<|z|<+內(nèi)洛朗展開式中z-1的系數(shù)變號.定理二

如果f(z)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點,那末f(z)在所有各奇點(包括

點)的留數(shù)總和必等于零.證：除

點外,設f(z)的有限個奇點為zk(k=1,2,...,n).且C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線,則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠點的留數(shù)定義,有所以規(guī)則4成立.定理二與規(guī)則IV為我們提供了計算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法,在很多情況下,它比利用上一段中的方法更簡便.例61.形如的積分,其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數(shù).令z=eiq,則dz=ieiqdq,而其中f(z)是z的有理函數(shù),且在單位圓周|z|=1上分母不為零,根據(jù)留數(shù)定理有

其中zk(k=1,2,...,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點.例1計算的值.[解]由于0<p<1,被積函數(shù)的分母在0

q2p內(nèi)不為零,因而積分是有意義的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此

在被積函數(shù)的三個極點z=0,p,1/p中只有前兩個在圓周|z|=1內(nèi),其中z=0為二級極點,z=p為一級極點.例2計算的值.解：令例3解：取積分路線如圖所示,其中CR是以原點為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周.取R適當大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點zk都包在這積分路線內(nèi).z1z2z3yCR-RROx不失一般性,設為一已約分式.此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.例4例5解：3.形如的積分

當R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,且R(x)在實數(shù)軸上沒有奇點時,積分是存在的.

象2中處理的一樣,由于m-n1,故對充分大的|z|有因此,在半徑R充分大的CR上,有z1z2z3yCR-RROxyqOpy=sinq1也可寫為例6計算的值.[解]這里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在實軸上無孤立奇點,因而所求的積分是存在的.在上半平面內(nèi)有一級極點ai,例4計算積分的值.[解]

因為是偶函數(shù),所以

為了使積分路線不通過原點,取如下圖所示的路線.由柯西積分定理,有CrCRyxO-rrR-R令x=-t,則有因此,要算出所求積分的值,只需求出極限下面將證明由于所以j(z)在z=0處解析,且j(0)=i,當|z|充分小時可使|j(z)|2,而由于在r充分小時,例題

211z平面內(nèi)的任一條有向曲線C可用z=z(t),a

t

b

表示,它的正向取為t增大時點z移動的方向,z(t)為一條連續(xù)函數(shù).

如果z'(t0)0,a<t0<b,則表示z'(t)的向量(把起點放取在z0.以下不一一說明)與C相切于點z0=z(t0).z(t0)z(a)z(b)z'(t0)§1保形映射的概念212

事實上,如果通過C上兩點P0與P的割線P0P的正向?qū)趖增大的方向,則這個方向與表示的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)當點P沿C無限趨向于點P0,割線P0P的極限位置就是C上P0處的切線.因此,表示的向量與C相切于點z0=z(t0),且方向與C的正向一致.z'(t0)213我們有Argz'(t0)就是z0處C的切線正向與x軸正向間的夾角;相交于一點的兩條曲線C1與C2正向之間的夾角就是它們交點處切線正向間夾角Ox(z)z02141.解析函數(shù)的導數(shù)的幾何意義設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)

解析,z0為D內(nèi)的一點,且f‘(z0)0.又設C為z平面內(nèi)通過點z0的一條有向光滑曲線:z=z(t),a

t

b,且z0=z(t0),z'(t0)0,a<t0<b.映射w=