專題15 函數(shù)與幾何中的面積問(wèn)題（原卷版）

專題15函數(shù)與幾何中的面積問(wèn)題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】直接利用幾何面積公式求面積【題型二】割補(bǔ)法求面積二、最新?？碱}組練【題型一】直接利用幾何面積公式求面積【典例分析】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，．(1)如圖1，求值；(2)如圖2，連接，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，四邊形的面積為，求與的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，點(diǎn)在線段上，連接，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在軸上，連接，，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，若，連接，求正切值．【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)中，用坐標(biāo)表示出幾何圖形的底邊長(zhǎng)、高等要素，然后利用面積公式列出函數(shù)解析式，最后根據(jù)函數(shù)的增減性討論面積?！咀兪窖菥殹?．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）中，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖，請(qǐng)直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系；(2)點(diǎn)在線段上不與點(diǎn)，重合時(shí)，請(qǐng)寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若，，請(qǐng)直接寫出的面積．2．（2023春·廣東東莞·九年級(jí)?？计谥校┮阎猂t△OAB，，，斜邊，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如題圖1，連接BC．(1)填空：________°；(2)如圖1，連接AC，作，垂足為P，求OP的長(zhǎng)度；(3)如圖2，點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上運(yùn)動(dòng)，M沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？【題型二】割補(bǔ)法求面積【典例分析】（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，連接，．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，若的面積為4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【提分秘籍】基本規(guī)律針對(duì)不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題，通常采用割補(bǔ)法進(jìn)行求解，一般方法為：過(guò)幾何圖形的某一頂點(diǎn)做坐標(biāo)軸的平行線，對(duì)原有幾何圖形進(jìn)行分割或者補(bǔ)的方式，構(gòu)造出我們常見的幾何圖形，例如構(gòu)造成三角形等。再利用坐標(biāo)表示出構(gòu)造三角形的底和高，從而列出有關(guān)面積的函數(shù)解析式?！咀兪窖菥殹?．（2023·天津·統(tǒng)考一模）將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，．以點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C，D，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)C落在邊上時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖②，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，連接，，若線段的長(zhǎng)為t，試用含t的式子表示線段的長(zhǎng)度，并寫出t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，若的面積是S，當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，，交y軸于點(diǎn)C，且．(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線下方拋物線上的一點(diǎn)，連接、、、，求四邊形的面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；1．（2023·江蘇宿遷·沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)、與相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使與的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使，若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)___________；若不存在，說(shuō)明理由．2．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且P在直線的上方，①如圖1，當(dāng)平分時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖2，連接交BC于E點(diǎn)，設(shè)，求k的最大值．3．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過(guò)D作交于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)如圖2，點(diǎn)在拋物線上.當(dāng)時(shí)，連接、、，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得若存在，直接寫出此時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.4．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)、與相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使與的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．(3)拋物線上存在一點(diǎn)，使，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；5．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的（圓心M落在第四象限）交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，連接，已知．(1)（請(qǐng)用α的代數(shù)式表示），并求證：；(2)若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，①若，求的長(zhǎng)；②若，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積．6．（2022·江蘇揚(yáng)州·?？级＃?1)【嘗試探究】已知中，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，作，分別交于點(diǎn)P、Q，連接．①如圖1，若，試探索線段之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，試探索①中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立；(2)【解決問(wèn)題】如圖3，已知中，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，過(guò)C、O兩點(diǎn)的圓分別交邊于點(diǎn)P、Q，連接，求面積的最大值．7．（2022·江蘇揚(yáng)州·校考三模）如圖1，在一平面內(nèi)，線段，、是線段上兩點(diǎn)，且．點(diǎn)從點(diǎn)開始向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，分別以，為邊在線段同側(cè)作等邊和等邊．(1)直接寫出和位置關(guān)系：___________；(2)如圖2，連接，，求證：；(3)如圖3，設(shè)的中點(diǎn)為，在點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)的過(guò)程中，求點(diǎn)移動(dòng)路徑的長(zhǎng)；(4)如圖4，點(diǎn)、點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)，求當(dāng)線段取得最小值時(shí)的面積．8．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）定義：若一個(gè)四邊形能被其中的一條對(duì)角線分割成兩個(gè)相似三角形，則稱這個(gè)四邊形為“師梅四邊形”，這條對(duì)角線稱為“師梅線”．我們熟知的平行四邊形就是“師梅四邊形”．(1)如圖1，平分，，．四邊形是被分割成的“師梅四邊形”，