河北省2022年中考數(shù)學人教版總復習教學案-第六章第2節(jié)與圓有關的位置關系

第二節(jié)與圓有關的位置關系【課標要求】☆理解點與圓、直線與圓的位置關系．☆掌握切線的概念，探索切線與切點的半徑關系．☆掌握切線的性質和判定方法．【教材對接】人教：九上第二十四章P92～99；冀教：九下第二十九章P1～15；北師：九下第三章P66，P89～96.點與圓的位置關系1．如圖，設⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為OP＝d，則(1)點P1在圓外?d1>r；(2)點P2在圓上?d2＝r；(3)點P3在圓內?d3<r.直線與圓的位置關系2．設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為OP＝d，則直線l和圓的位置關系如下表．位置關系相離相切相交圖示d與r的關系d>rd＝rd<r公共點個數(shù)沒有公共點1個公共點2個公共點【基礎練1】在平面直角坐標系中，以點(3，2)為圓心，2為半徑的圓與坐標軸的位置關系為(C)A.與x軸相離、與y軸相切B．與x軸、y軸都相離C.與x軸相切、與y軸相離D．與x軸、y軸都相切切線及其性質與判定3．切線：當直線與圓有唯一一個公共點時，稱直線與圓相切，此時這個公共點叫做切點，這條直線叫做圓的切線．4．切線的性質：(1)切線與圓只有一個公共點；(2)切線到圓心的距離等于圓的半徑；(3)切線垂直于過切點的半徑；(4)經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；(5)經過切點且垂直于切線的直線必過圓心．5．切線的判定方法：(1)利用切線的定義，即與圓有唯一一個公共點的直線是圓的切線；(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；(3)切線判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【方法點撥】(1)判斷直線與圓相切的兩種常見模型：①直線與圓的公共點已知時，連接過公共點的半徑，證這條半徑與直線垂直，可簡述為：有切點，連半徑，證垂直；②直線與圓的公共點未知時，過圓心作直線的垂線，證垂線段等于半徑，可簡述為：無切點，作垂線，證相等．(2)利用切線的性質解決問題，通常連過切點的半徑，構造直角三角形來解決．(3)直角三角形的外接圓與內切圓半徑的求法：若a，b是Rt△ABC的兩條直角邊，c為斜邊，則①直角三角形的外接圓半徑R＝eq\f(c,2)；②直角三角形的內切圓半徑r＝eq\f(a＋b－c,2).【基礎練2】(2021·長春中考)如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，若∠BAC＝35°，則∠ACB的大小為(C)A.35°B．45°C.55°D．65°切線長定理6．切線長：切線上一點與切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長．7．切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線的切線長相等，這一點與圓心的連線平分過這點的兩條切線所形成的夾角．【基礎練3】如圖，一圓外切四邊形ABCD，且BC＝10，AD＝7，則四邊形的周長為(B)A.32B．34C.36D．38【知識拓展】與圓有關的七大模型圖示模型點撥相交弦模型若AB，CD相交于點P，則△ACP∽△DBP，PA·PB＝PC·PD垂徑定理模型若AB是直徑，AB⊥CD于點P，則CP＝DP，eq\x\to(BC)＝eq\x\to(BD)，eq\x\to(AC)＝eq\x\to(AD)等腰三角形模型若AB＝BC，連接OB，則△ABC∽△AOB弦切角模型若AB與⊙O相切于點P，則∠APC＝∠PDC，∠BPD＝∠PCD雙切線模型若PA，PB是⊙O的兩條切線，則PA＝PB，PO平分∠APB續(xù)表圖示模型點撥角平分線模型若CD平分∠ACB，則OD∥BC，△ABC∽△ADO直角三角形模型若∠ABC＝90°，AB是⊙O的直徑，AC交⊙O于點D，連接BD，則△ABC∽△ADB【基礎練4】(1)如圖，若弦BC經過⊙O的半徑OA的中點P，且PB＝3，PC＝4，則⊙O的直徑為(B)A．7B．8C．9D．10[第(1)題圖][第(2)題圖](2)如圖，已知AB是⊙O的直徑，PC切⊙O于點C，∠PCB＝35°，則∠B＝55°.eq\a\vs4\al(切線的判定與性質)【例1】(2021·石家莊模擬)如圖，已知⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)求DE的長．【解題思路】(1)連接OD，欲證明DE是⊙O的切線，只要證明OD⊥DE即可．(2)過點O作OF⊥AC于點F，只要證明四邊形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在Rt△AOF中利用勾股定理求出OF即可．【解答】(1)證明：連接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO.∴∠ODA＝∠DAE.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O切線；(2)解：過點O作OF⊥AC于點F.∴AF＝CF＝3.∴OF＝eq\r(AO2－AF2)＝eq\r(52－32)＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四邊形OFED是矩形．∴DE＝OF＝4.1．(2021·山西中考)如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點A，連接OB交⊙O于點C，過點A作AD∥OB交⊙O于點D，連接CD.若∠B＝50°，則∠OCD為(B)A．15°B．20°C．25°D．30°2．(2021·河北模擬)如圖，△ABC內接于⊙O，直徑AD交BC于點E，延長AD至點F，使DF＝2OD，連接FC并延長交過點A的切線于點G，且滿足AG∥BC，連接OC，若cos∠BAC＝eq\f(1,3)，BC＝6.(1)求證：∠COD＝∠BAC；(2)求⊙O的半徑OC；(3)求證：CF是⊙O的切線．(1)證明：∵AG是⊙O的切線，AD是⊙O的直徑，∴∠GAF＝90°.∵AG∥BC，∴AE⊥BC.∴CE＝BE.∴∠BAC＝2∠EAC.∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；(2)解：∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝eq\f(OE,OC)＝eq\f(1,3).∴設OE＝x，OC＝3x.∵BC＝6，∴CE＝3.∵CE⊥AD，∴OE2＋CE2＝OC2.∴x2＋32＝9x2.∴x＝eq\f(3\r(2),4)(負值已舍去).∴OC＝3x＝eq\f(9\r(2),4).∴⊙O的半徑OC為eq\f(9\r(2),4)；(3)證明：∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC.∴eq\f(OE,OC)＝eq\f(OC,OF)＝eq\f(1,3).∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOC.∴∠OCF＝∠OEC＝90°.∴CF是⊙O的切線．eq\a\vs4\al(切線長定理)【例2】如圖，PA，PB分別與半徑為3的⊙O相切于點A，B，直線CD分別交PA，PB于點C，D，并切⊙O于點E，當PO＝5時，△PCD的周長為(C)A.4B．5C．8D．10【解題思路】連接OA.根據(jù)切線的性質，得Rt△OAP，利用勾股定理可得PA＝eq\r(PO2－OA2)＝4，由切線長定理，得AC＝CE，DE＝BD，PA＝PB，進而推出△PCD的周長．3．如圖，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盤擺放而成，點A為60°角與直尺的交點，點B為光盤與直尺的唯一交點，若AB＝3，則光盤的直徑是(A)A．6eq\r(3)B．3eq\r(3)C．6D．3eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4．如圖，已知OT是Rt△ABO斜邊AB上的高，AO＝BO.以點O為圓心，OT為半徑的圓交OA于點C，過點C作⊙O的切線CD，交AB于點D，則下列結論中錯誤的是(D)A．DC＝DTB．AD＝eq\r(2)DTC．BD＝BOD．2OC＝5AC盲目套用“d＝r?直線與圓相切”而錯解【例】如果直線l上一點M與⊙O的圓心的距離等于⊙O的半徑，那么這條直線與⊙O的位置關系是()A．相交B．相切C．相交或相切D．以上都不正確【錯解分析】在判斷直線與圓的位置關系時，不要一看到距離，就把這個距離誤認為是d，因為直線上一點與一個圓的圓心的距離不一定是圓心到直線的距離，圓心到直線的距離應小于或等于這個距離．【正確解答】C1．已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關系為(B)A．相交B．相切C．相離D．無法確定2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝eq\f(4,5)，以點B為圓心，r為半徑作⊙B，當r＝3時，⊙B與AC的位置關系是(B)A.相離B．相切C．相交D．無法確定切線的性質及判定(5年2考)1．(2019·河北中考)如圖，?ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝eq\f(4,3).點P為AB延長線上一點，過點A作⊙O切CP于點P，設BP＝x.(1)如圖1，x為何值時，圓心O落在AP上？若此時⊙O交AD于點E，直接指出PE與BC的位置關系；(2)當x＝4時，如圖2，⊙O與AC交于點Q，求∠CAP的度數(shù)，并通過計算比較弦AP與劣弧eq\x\to(PQ)長度的大??；(3)當⊙O與線段AD只有一個公共點時，直接寫出x的取值范圍．圖1圖2備用圖解：(1)∵⊙O切CP于點P，∴OP⊥PC，即∠CPB＝90°.由?ABCD得AD∥BC.∴tan∠CBP＝tan∠DAB＝eq\f(4,3).設PC＝4k，BP＝3k，則BC＝eq\r(PC2＋BP2)＝5k.∴5k＝15，即k＝3.∴PC＝12，BP＝9.∴當x＝9時，圓心O落在AP上．此時PE與BC的位置關系為PE⊥BC；(2)連接OP，OQ，過點C作CK⊥AP于點K，過點O作OH⊥AP于點H，與(1)同理，得CK＝12，BK＝9.∵AK＝AB＋BK＝12，∴CK＝AK.∴∠CAP＝∠ACK＝45°.∵AP＝AB＋BP＝7，∴HP＝eq\f(1,2)AP＝eq\f(7,2).又∵PK＝BK－BP＝5，∴PC＝eq\r(PK2＋CK2)＝13.∵∠HOP＝90°－∠OPH＝∠CPK，∴Rt△HOP∽Rt△KPC.∴eq\f(OP,PC)＝eq\f(PH,CK)，即eq\f(OP,13)＝eq\f(\f(7,2),12).∴OP＝eq\f(91,24).∵∠POQ＝2∠PAQ＝90°，∴l(xiāng)eq\x\to(PQ)＝eq\f(90π×\f(91,24),180)＝eq\f(91π,48).∵eq\f(91π,48)<7，∴AP>leq\x\to(PQ)；(3)x≥18.2．(2018·河北中考)如圖，點A在數(shù)軸上對應的數(shù)為26，以原點O為圓心，OA為半徑作優(yōu)弧eq\x\to(AB)，使點B在點O右下方，且tan∠AOB＝eq\f(4,3).在優(yōu)弧eq\x\to(AB)上任取一點P，且能過點P作直線l∥OB交數(shù)軸于點Q，設點Q在數(shù)軸上對應的數(shù)為x，連接OP.(1)若優(yōu)弧eq\x\to(AB)上一段eq\x\to(AP)的長為13π，求∠AOP的度數(shù)及x的值；(2)求x的最小值，并指出此時直線l與eq\x\to(AB)所在圓的位置關系；(3)若線段PQ的長為12.5，直接寫出這時x的值．解：(1)設∠AOP＝n°，則eq\f(nπ×26,180)＝13π.解得n＝90.∴∠AOP＝90°.∵l∥OB，∴∠PQO＝∠AOB.∴tan∠PQO＝eq\f(OP,OQ)＝eq\f(26,x)＝eq\f(4,3).∴x＝19.5；(2)要使x變小，則l向左平移．當l平移到與eq\x\to(AB)所在圓相切位置l1時，如圖，O與