2023-2024學(xué)年四川省成都市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件分析判斷【詳解】，當(dāng)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)，所以復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)是“”成立充要條件，故選：C2.若將一個(gè)棱長為的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意可知制成的最大的球體恰好正方體的內(nèi)切球，求出球的半徑，從而可求出球的體積【詳解】由題意可知制成的最大的球體恰好正方體的內(nèi)切球，因?yàn)檎襟w的棱長為，所以其內(nèi)切球的半徑為，所以制作的最大零件的體積為，故選：D3.設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，且向量與是平行向量，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.1 C.1或 D.或【正確答案】C【分析】由共線向量定理結(jié)合題意求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c是平行向量，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使，因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的向量，所以，則，，解得或，故選：C4.函數(shù)取得最小值時(shí)，的值為（）A. B.0 C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，分別確定各段的單調(diào)性，即可得函數(shù)取最小值時(shí)，的值.【詳解】函數(shù)則當(dāng)時(shí)，，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值故選：B.5.《九章算術(shù)商功》中提及的“鱉臑”現(xiàn)意為四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐，則“鱉臑”中相互垂直的平面有（）對(duì)A.4 B.3 C.2 D.1【正確答案】B【分析】利用線面垂直和面面垂直的判定定理判斷.【詳解】如果三棱錐有一個(gè)頂點(diǎn)處有3個(gè)直角，設(shè)，設(shè)，故故，，，從而為銳角三角形，與題設(shè)矛盾；若每個(gè)頂點(diǎn)處有均有一個(gè)直角，不妨設(shè)，將三棱錐沿展開，則展開后的四邊形內(nèi)角為凸四邊形且其內(nèi)角和大于，矛盾，綜上，“鱉臑”對(duì)應(yīng)的三棱錐必有一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)直角，如圖所示：設(shè)，由，且，得平面ABC，又平面PAB，平面PAC，所以平面平面ABC，平面平面ABC，由，且，得平面PAB，又平面PBC，所以平面平面PAB，所以“鱉臑”中相互垂直的平面有3對(duì)，故選：B6.已知點(diǎn)，，在所在平面內(nèi)，且，，，則點(diǎn)，，依次是的（）A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心【正確答案】A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由，得，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以，所以點(diǎn)在邊上的中線上，同理可得也在的中線上，所以點(diǎn)是的重心，由，得，所以到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，由，得，所以，所以，所以，同理得，所以為的垂心，故選：A7.已知鈍角的角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則最大邊的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理建立不等關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】因是鈍角三角形，，，且是最大邊，則由余弦定理得：，于是得，，解得，又有，即，所以最大邊的取值范圍是.故選：C8.已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)．已知平面內(nèi)點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由條件可得的坐標(biāo)，然后列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，將點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，即將點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，可得，化簡可得，，又因?yàn)椋?，解得，所?故選：D二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知的角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則下列說法正確的是（）A. B.C.為等腰非等邊三角形 D.為等邊三角形【正確答案】ABD【分析】A，由，利用正弦定理化簡得到求解判斷；BCD，由，，利用余弦定理求解判斷.【詳解】A.因?yàn)?，所以，則，解得，故正確；B.因?yàn)?，，所以，即，則，所以是正三角形，所以，故正確；C.由B知：為等邊三角形，故錯(cuò)誤；D.由B知：等邊三角形，故正確.故選：ABD10.已知三條不同的直線，，和三個(gè)不同的平面，，，下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，為異面直線，且，，，，則C.若，，則D若，，，，，兩兩垂直，則，，也兩兩垂直【正確答案】BD【分析】對(duì)于A，或；由線面平行的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理可判斷B；對(duì)于C，不一定成立；用反證法可判斷D.【詳解】若，，則或，故A錯(cuò)誤；設(shè)，，因?yàn)?，所以，又，，所以，又因?yàn)椋瑸楫惷嬷本€，，，，則直線與必相交，所以，故B正確；若，，則不一定成立，故C錯(cuò)誤；若，，，，，兩兩垂直，則，，必相交于同一點(diǎn)，假設(shè)與不垂直，則存在直線，使得，，所以直線與可確定平面，且，這說明過內(nèi)的直線可作兩個(gè)平面與垂直，而這是不可能的，所以假設(shè)不成立，即，同理可證，，即，，兩兩垂直，故D正確.故選：BD11.正弦最初的定義（稱為古典正弦定義）為：在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角的范圍為時(shí)，其所對(duì)的“古典正弦”為（為的中點(diǎn)）．根據(jù)以上信息，當(dāng)圓心角時(shí)，的“古典正弦”除以的可能取值為（）A.1 B. C. D.0【正確答案】BC【分析】根據(jù)古典正弦定義，的“古典正弦”除以為，利用倍角正弦、余弦公式，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性求最值即可．【詳解】由題可得的“古典正弦”除以為：由于，所以，則令，則，所以設(shè)，由基本初等函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則的“古典正弦”除以為的取值范圍為.故選：BC.12.在棱長為4的正方體中，，，，，分別是，，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，且面，則（）A.B.三棱錐的外接球的球心到面的距離為C.多面體為三棱臺(tái)D.在底面上的軌跡的長度是【正確答案】ACD【分析】在平面中，由中位線定理、平行直線判斷定理，以及平行的傳遞性可得，可判斷選項(xiàng)A正確；確定三棱錐的外接球的球心在直線上位置，即可求出球心到面的距離，可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)棱臺(tái)的定義判斷多面體為三棱臺(tái)，可判斷選項(xiàng)C正確；找到過點(diǎn)與面平行的平面，即可找到點(diǎn)的軌跡，可判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】根據(jù)題意，可知平面，如圖畫出平面，取的中點(diǎn)，連接，在中，由中位線定理可知，所以為中點(diǎn)，則在中，由中位線定理得，，由，得，由平行線性質(zhì)，所以，可得所以，選項(xiàng)A正確；依題意，由于為直角三角形，則其外心為點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?，可知三棱錐的外接球的球心在直線上（如圖），設(shè)，由中，得，即，解得，，則球心到面的距離為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由題意，可知平面平面，延長，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，由于，且，所以為的中點(diǎn)，同理為的中點(diǎn)，所以與重合，即多面體三條側(cè)棱交于一點(diǎn)，故多面體為三棱臺(tái)，選項(xiàng)C則正確；取的中點(diǎn)，連接，由題意易知，平面，平面，所以平面，同理平面，平面，平面，，所以平面平面，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，平面，所以平面，則在底面上的軌跡為，且，選項(xiàng)D正確.故選：ACD方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解．（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長．（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長．（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)異面直線的定義結(jié)合正三棱柱的幾何性質(zhì)即可得為異面直線與所成角，從而可得答案.【詳解】正三棱柱中，所以為異面直線與所成角又為正三角形，為棱的中點(diǎn)，所以則異面直線與所成角的為.故答案為.14.已知兩個(gè)粒子，從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，，則在上的投影向量為__________．【正確答案】【分析】先求得與夾角的余弦值，再根據(jù)投影向量的定義求出在上的投影向量即可．【詳解】設(shè)與的夾角為，則，所以在上的投影向量為.故答案為.15.如圖，在四棱錐中，底面為矩形；為的中點(diǎn)．若，，，當(dāng)三棱錐的體積取到最大值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為__________．【正確答案】##0.3【分析】根據(jù)幾何體性質(zhì)結(jié)合體積分割求解三棱錐的體積，在根據(jù)等體積法可求解點(diǎn)到平面的距離.【詳解】由題可得，當(dāng)?shù)酌鏁r(shí)，三棱錐的體積取到最大值如圖，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接因?yàn)榈酌?，為的中點(diǎn)．為的中點(diǎn)，所以，所以底面，則又由底面，底面，所以因?yàn)榫匦危瑒t，又平面，所以平面又為的中點(diǎn)．為的中點(diǎn)，所以，，則平面則又所以又，因?yàn)槠矫?，，所以平面，又平面，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,所以，則.故點(diǎn)到平面的距離為.故答案為.16.在中，若，，的內(nèi)角平分線交邊于點(diǎn)，若，，則外接圓的直徑為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)可得，從而得，利用三角形面積公式可得，再利用，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算可得，從而可得，利用余弦定理得，最后應(yīng)用正弦定理即可得外接圓的直徑.【詳解】又，所以，因?yàn)?，所以，則又，所以，則，整理得：①，又，所以，則，整理得②，聯(lián)立①②可得：，解得或（舍）在中，由余弦定理可得，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得所以外接圓的直徑為.故答案為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，，，．（1）為何值時(shí)，點(diǎn)在軸上？（2）若與的夾角是鈍角，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在軸上求解；（2）由，得到與不共線，再根據(jù)與的夾角是鈍角，由求解.【小問1詳解】解：由題意知：，，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，所以，解得．【小問2詳解】因?yàn)椋耘c不共線．又與的夾角是鈍角，所以只需，即，解得．18.已知函數(shù)的最小值為．（1）求函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）英國數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylor，1685-1731）發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，該公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的準(zhǔn)確性．運(yùn)用上述思想，計(jì)算的值：（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后4位，參考數(shù)據(jù)：，）【正確答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換公式化簡函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡，進(jìn)而結(jié)合泰勒公式求解即可.【小問1詳解】，所以，即，所以，令，，即，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，．【小問2詳解】由（1）知，所以，由泰勒公式得：，所以．19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，平面平面．（1）證明：；（2）若到平面的距離為1，求與平面所成角的最小值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由已知得，再利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可證得結(jié)論；（2）由到平面的距離為1，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合已知可得，再由線面垂直的判定可得平面，則，由等腰三角形的性質(zhì)可得，則平面，從而得為與平面所成角，然后在中求解即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌鏋榱庑危砸驗(yàn)槠矫?，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．【小?詳解】因?yàn)?，，所以，l不在面PAD內(nèi)，AD在面PAD內(nèi)，所以平面，又到平面的距離為1，所以點(diǎn)到平面的距離為2．因?yàn)榈酌妫矫?，所以平面底面，又平面底面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到的距離，為2．又，所以．又因?yàn)椋?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕?，為線段的中點(diǎn)，所以．又，平面，平面，所以平面．所以為與平面所成角．又，．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．所以與平面所成角的最小值為．20.已知的角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，．（1）若，求；（2）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求函數(shù)的值域．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由及正弦定理得，利用誘導(dǎo)公式及三角恒等變換可得，結(jié)合角的范圍即可求解；（2）利用三角恒等變換化簡為，選擇①由，可得，結(jié)合余弦定理可得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；選擇②，由，可得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由及正弦定理得．因?yàn)?，所以．由于，，所以．又，，故，即．【小?詳解】．選擇條件①：因?yàn)?，所以，根?jù)余弦定理可得，．所以，又，所以．所以，即，故．選擇條件②：因?yàn)?，又，所以，所以，即．故?1.已知的角，，所對(duì)的邊分別為，，，點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)．（1）若點(diǎn)是的重心，且，求的最小值；（2）若點(diǎn)是的外心，，且