2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第二講排列與組合課件

第二講排列與組合課標(biāo)要求考情分析1.理解排列和組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式1.以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)，同時(shí)考查分類討論的思想及解決問題的能力.2.以選擇、填空的形式考查，或在解答題中和概率相結(jié)合進(jìn)行考查名稱定義區(qū)別排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列排列有序，組合無序組合合成一組1.排列與組合的概念內(nèi)容排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù).用符號(hào)“A”表示從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)“C”表示2.排列數(shù)與組合數(shù)(續(xù)表)(續(xù)表)【名師點(diǎn)睛】

(1)解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏. (2)對(duì)于分配問題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.考點(diǎn)一排列問題[例1]有3名男生，2名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù).(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊的位置，共___種排法；(2)全體排成一行，其中男生必須排在一起，共____種排法；(3)全體排成一行，男生不能排在一起，共____種排法；(4)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左到右的順序不變，共____種排法；(5)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊，共___種排法；(6)若再加入一名女生，全體排成一行，男女各不相鄰，共___種排法；(7)排成前后兩排，前排3人，后排2人，共____種排法；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有1人，共____種排法.答案：(1)72(2)36(3)12(4)20(5)78(6)72(7)120(8)36【題后反思】排列應(yīng)用問題的分類與解法

(1)對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法.

(2)對(duì)相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022年全國(guó)Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A.12種C.36種

B.24種D.48種答案：B

2.(2023年渝中區(qū)校級(jí)月考)醫(yī)院進(jìn)行年度體檢，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心電圖、血壓測(cè)量等五個(gè)檢查項(xiàng)目.為了體檢數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，抽血必須作為第一個(gè)項(xiàng)目完成，而李老師決定腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)不連在一起接著檢查.則不同順序的檢查方案一共有()A.6種C.18種

B.12種D.24種答案：B考點(diǎn)二組合問題[例2]某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？【題后反思】組合問題常有以下兩類題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.【變式訓(xùn)練】

泉州洛陽橋，原名萬安橋，橋長(zhǎng)834米，寬7米，46個(gè)橋墩，47個(gè)橋孔，全都是由花崗巖筑成，素有“海內(nèi)第一橋”之譽(yù)，是古代著名跨海梁式石構(gòu)橋.北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游縣人，北宋名臣，書法家、文學(xué)家、茶學(xué)家)與盧錫共同主持歷經(jīng)七年建成，至今已有九百多年歷史.現(xiàn)有一場(chǎng)劃船比賽，選取相鄰的12個(gè)橋孔作為比賽道口，有4艘參賽船只將從一字排開的12個(gè)橋孔劃過，若為安全起見相鄰兩艘船都必須至少留有1個(gè)空橋孔間隔劃過，12個(gè)橋孔頭尾兩側(cè)橋孔也不過船，所有的船都必須從不同的橋孔劃過，每個(gè)橋孔都只允許1艘船劃過，則4艘船通過橋孔的不同方法共有________(用數(shù)字作答)種.圖9-2-1答案：840

考點(diǎn)三排列與組合的綜合問題

考向1相鄰問題

[例3]北京

APEC峰會(huì)期間，有2位女性和3位男性共5位領(lǐng)導(dǎo)人站成一排照相，則女性領(lǐng)導(dǎo)人甲不在兩端，3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中有且只有2位相鄰的站法有()A.12種B.24種C.48種D.96種

解析：從3位男性領(lǐng)導(dǎo)人中任取2人“捆”在一起記作A，A共有

＝6(種)不同排法，剩下1位男性領(lǐng)導(dǎo)人記作B，2位女性分別記作甲、乙；則女領(lǐng)導(dǎo)人甲必須在A，B之間，此時(shí)共有6×2＝12(種)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，∴共有12×4＝48(種)不同排法.答案：C

考向2相間問題

[例4]某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72B.120C.144D.168答案：B

考向3特殊元素(位置)問題

[例5]某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個(gè)家庭各有兩個(gè)孩子共8人，他們準(zhǔn)備甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個(gè)孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個(gè)孩子恰有2個(gè)來自同一個(gè)家庭的乘坐方式共有()A.18種B.24種C.36種D.48種解析：根據(jù)題意，分兩種情況討論：

①A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個(gè)孩子要來自不同的家庭，可以在剩下的三個(gè)家庭中任選2個(gè)，再從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來乘坐甲車，有

＝12(種)乘坐方式；

②A家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個(gè)家庭中任選1個(gè)，讓其2個(gè)孩子都在甲車上，對(duì)于剩余的兩個(gè)家庭，從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來乘坐甲車，有

＝12(種)乘坐方式，故共有12＋12＝24(種)乘坐方式.答案：B【反思感悟】解排列、組合問題要遵循的兩個(gè)原則(1)按元素(位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類.(2)按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置).【考法全練】

1.(考向1)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種.答案：36

2.(考向2)(2021年廣德市模擬)將《紅樓夢(mèng)》《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》《唐詩三百首》《徐志摩詩集》和《戲曲論叢》7本書放在一排，下面結(jié)論成立的是()A.戲曲書放在中間的不同放法有7！種B.詩集相鄰的不同放法有2×6！種C.四大古典名著互不相鄰的不同放法有3！種D.四大古典名著不放在兩端的不同方法有A45種解析：對(duì)于A，戲曲書只有一本，所以其余6本書可以全排列，共有6！種不同排列方法，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，詩集共2本，把詩集當(dāng)成一本，不同放法有6！種，這兩本又可交換位置，所以不同放法總數(shù)為2×6！，B正確；

對(duì)于C，四大古典名著互不相鄰，那只能在這四本書的3個(gè)空隙中放置其他書，共有3！種放法，這四本書又可以全排列，所以不同放法總數(shù)為4！×3！，C錯(cuò)誤；答案：B

3.(考向3)(2022年廣州市質(zhì)檢)某夜市的某排攤位上共有6

個(gè)鋪位，現(xiàn)有4家小吃類店鋪，2家飲料類店鋪打算入駐，若要排出一個(gè)攤位規(guī)劃，要求飲料類店鋪不能相鄰，則可以排出的攤位規(guī)劃總個(gè)數(shù)為()

解析：先將4個(gè)小吃類店鋪進(jìn)行全排，再從這4個(gè)小吃類店鋪的5個(gè)空位選2個(gè)進(jìn)行排列，故排出的攤位規(guī)劃總個(gè)數(shù)為答案：D⊙排列組合中的平均分配問題[例6]六本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？(1)平均分成三堆，每堆兩本；(2)平均分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(3)一堆一本，一堆兩本，一堆三本；(4)甲得一本，乙得兩本，丙得三本；(5)一人得一本，一人得兩本，一人得三本.

【反思感悟】(1)對(duì)于整體均分問題，往往是先分組再排列，在解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A

(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù). (2)對(duì)于部分均分問題，解題時(shí)要注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！. (3)對(duì)于不等分問題，首先要對(duì)分配數(shù)量的可能情形進(jìn)行一一列舉，然后再對(duì)每一種情形分類討論.在每一類的計(jì)數(shù)中，又要考慮是分步計(jì)數(shù)還是分類計(jì)數(shù)，是排列問題還是組合問題.

【高分訓(xùn)練】

1.(2023年成都市月考)某校在重陽節(jié)當(dāng)日安排4位學(xué)生到三所敬老院開展志愿服務(wù)活動(dòng)，要求每所敬老院至少安排1人，則不同的分配方案數(shù)是()A.81B.72C.48D.36

解析：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將4位學(xué)生分為3組，再將三組分配到三所敬老院，則有

＝36種分配方法，故選D.答案：D

2.(2022年天河區(qū)校級(jí)月考)將編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球