利用向量法求空間角

用向量法求空間角§3.2.3立體幾何中的向量方法2021/5/91一、復(fù)習(xí)引入用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（化為向量問題）（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進(jìn)行向量運(yùn)算）（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形）2021/5/92向量的有關(guān)知識(shí)：3、平面的法向量：__________________1、兩向量數(shù)量積的定義：a·b=______________2、兩向量夾角公式：cos〈a,b〉=___________|a|·|b|·cos〈a,b〉與平面垂直的向量2021/5/93

例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，現(xiàn)將△AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1

、A1O1的中點(diǎn)D1、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。ABOF1B1O1A1D1二、知識(shí)講解與典例分析2021/5/94ABOF1B1O1A1D1

解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，并設(shè)OA=1,則：A(1,0,0)B(0,1,0)F1(,0,1)D1(,,1)所以，異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值為

例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，現(xiàn)將△AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=Oo1，取A1B1

、A1O1的中點(diǎn)D1、F1，求異面直線BD1與AF1所成的角的余弦值。xyz10302021/5/95點(diǎn)評(píng)：向量法求異面直線所成角的余弦值的一般步驟建系求兩異面直線的方向向量求兩方向向量的夾角的余弦值得兩異面直線所成角的余弦值2021/5/96

例2:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E、F分別為CD、DD1的中點(diǎn)，

(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;(2)求二面角F-AE-D的余弦值。AA1C1B1DCBD1EF2021/5/97例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1

解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)C故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為2021/5/98點(diǎn)評(píng)：向量法求直線與平面所成角的正弦值的一般步驟建系求直線的方向向量求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值得直線與平面所成角的正弦值求平面的法向量2021/5/99xyzADCA1D1C1B1BFE

例2(2)點(diǎn)E、F分別為CD、DD1的中點(diǎn)，求二面角F-AE-D的余弦值。取y2=1,得x2=z2=-2(2)由題意知設(shè)平面AEF的法向量為m=(x2,y2,z2),所以故m=(-2,1,-2)又平面AED的法向量為AA1=(0,0,1)

觀察圖形知，二面角F-AE-D為銳角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值為2021/5/910點(diǎn)評(píng)：法向量法求二面角的余弦值的一般步驟建系求兩平面的法向量求兩法向量的夾角的余弦值得二面角的余弦值2021/5/911a′b′?o過空間任意一點(diǎn)o分別作異面直線a與b的平行線a′與b′，那么直線a′與b′

所成的不大于90°的角，叫做異面直線a與b

所成的角。異面直線所成的角（范圍：）ab2021/5/912（1）當(dāng)與的夾角不大于90°時(shí)，異面直線a、b所成的角與和的夾角mnmn用向量法求異面直線所成角設(shè)兩異面直線a、b的方向向量分別為和，mnaba′b′?on相等m互補(bǔ)aba′b′onm?（2）當(dāng)與的夾角大于90°時(shí)，異面直線a、b所成的角與和的夾角mnnm2021/5/913所以，異面直線a、b所成的角的余弦值為用向量法求異面直線所成角設(shè)兩異面直線a、b的方向向量分別為和，mn==nm,coscosq2021/5/914直線與平面所成的角（范圍：）=BAOnBAOn相等==互補(bǔ)所以，直線與平面所成的角的正弦值為

的余角與<AB,n>的關(guān)系？問題1

的余角與<AB,n>的關(guān)系？問題22021/5/915二面角（范圍：）n1n2n1n22021/5/916

例3如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處.從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為.求庫底與水壩所成二面角的余弦值.

ABCD解：如圖，化為向量問題根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行向量運(yùn)算于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角.因此所以回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為2021/5/917

如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，直線SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值；⑵直線OS與平面SAB所成角α的正弦值；⑶二面角B－AS－O的余弦值.OABCS三、鞏固練習(xí)2021/5/918

如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值；⑵OS與平面SAB所成角α的正弦值；⑶二面角B－AS－O的余弦值.A（2，0，0）；于是我們有OABCS=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），則O（0，0，0）；解：以o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示xyzC（0，1，0）；所以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為2021/5/919（3）由（2）知面SAB的法向量

=（1，1，2）

又∵OC⊥平面AOS，∴是平面AOS的法向量，令則有∴二面角B－AS－O的余弦值為取x=1，則y=1，z=2；故（2）設(shè)平面SAB的法向量顯然有2