第六章 1彎曲變形課件

彎曲變形第六章第六章1彎曲變形§6—2梁的撓曲線近似微分方程§6—4用疊加法求彎曲變形§6—6梁的剛度校核

提高梁剛度的措施§6—5簡單超靜定梁的解法§6—1概述§6—3用積分法求彎曲變形第六章1彎曲變形一，基本概念取梁的左端點為坐標原點，梁變形前的軸線為x軸，橫截面的鉛垂對稱軸為y軸，xy平面為縱向?qū)ΨQ平面§6—1概述BxyA第六章1彎曲變形CyABx

撓度（

y）:橫截面形心C(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移，稱為該截面的撓度。y撓度度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量C'第六章1彎曲變形CyABxC'y撓度轉(zhuǎn)角（

）：橫截面對其原來位置的角位移,稱為該截面的

轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角

第六章1彎曲變形撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程為式中，x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標，y為該點的撓度。CyABxC'y撓度轉(zhuǎn)角

撓曲線第六章1彎曲變形撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：CyABxC'y撓度轉(zhuǎn)角

撓曲線第六章1彎曲變形撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定撓度：向上為正，向下為負。轉(zhuǎn)角：自x

轉(zhuǎn)至切線方向，逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負。CyABxC'y撓度轉(zhuǎn)角

撓曲線第六章1彎曲變形§6--2

撓曲線近似微分方程

橫力彎曲時,M和都是x

的函數(shù)。略去剪力對梁的位移的影響,則推導(dǎo)公式純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系為第六章1彎曲變形由幾何關(guān)系知,平面曲線的曲率可寫作第六章1彎曲變形MMoxyMMM>0M<0在規(guī)定的坐標系中,x軸水平向右為正,y軸豎直向上為正。曲線向上凸時:y“<0,M<0曲線向下凸時：y“>0,M>0ox因此,M與y‘’的正負號相同第六章1彎曲變形此式稱為

梁的撓曲線近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影響;(2)略去了

y‘2

項。與1相比十分微小而可以忽略不計,故上式可近似為第六章1彎曲變形再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程若為等截面直梁,其抗彎剛度EI

為一常量上式可改寫成第六章1彎曲變形§6—3用積分法求彎曲變形撓度方程：轉(zhuǎn)角方程：式中：積分常數(shù)C1

、C2

可通過梁撓曲線的邊界條件和變形連續(xù)性條件來確定。第六章1彎曲變形ABAB在簡支梁中，左右兩鉸支座處的撓度yA

和yB都應(yīng)等于零。在懸臂梁中，固定端處的撓度yＡ和轉(zhuǎn)角

A都應(yīng)等于零。邊界條件yA=0yB=0yA=0

A=0第六章1彎曲變形連續(xù)性條件ABAB

在撓曲線的任一點上，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。第六章1彎曲變形

例題：圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力P作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度fmax

和最大轉(zhuǎn)角

max.ABxyP第六章1彎曲變形ABxyP彎矩方程為解：撓曲線的近似微分方程為x第六章1彎曲變形對撓曲線近似微分方程進行積分ABxyPx第六章1彎曲變形邊界條件為:C1=0C2=0將邊界條件代入(3)(4)兩式中,可得ABxyPx第六章1彎曲變形C1=0C2=0ABxyPx第六章1彎曲變形梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為ABxyPx第六章1彎曲變形ABxyP

max及fmax都發(fā)生在自由端截面處（）（）第六章1彎曲變形例題：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度fmax和最大轉(zhuǎn)角

max.ABq第六章1彎曲變形解:由對稱性可知，梁的兩個支反力為ABq第六章1彎曲變形梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為xABq第六章1彎曲變形

(c)(d)邊界條件為:ABq第六章1彎曲變形

將邊界條件代入(c),(d)兩式得

梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為第六章1彎曲變形ABq

A在x=0

和x=l

處轉(zhuǎn)角的絕對值相等且都是最大值，第六章1彎曲變形在梁跨中點l/2

處有最大撓度值A(chǔ)Bq第六章1彎曲變形例題：圖示一抗彎剛度為EI

的簡支梁,在D點處受一集中力P

的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。ABPDab第六章1彎曲變形ABPDab解:梁的兩個支反力為12第六章1彎曲變形兩段梁的彎矩方程分別為xxABPDab12第六章1彎曲變形兩段梁的撓曲線方程分別為12撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程(0

x

a)(a

x

)第六章1彎曲變形D點的連續(xù)條件：在x=a處邊界條件在處，在X=0處，ABPDab12第六章1彎曲變形代入方程可解得:兩段梁的撓曲線方程分別為12撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程(0

x

a)(a

x

)第六章1彎曲變形12第六章1彎曲變形將x=0和x=l

分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角當a>b時,右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大第六章1彎曲變形簡支梁的最大撓度應(yīng)在處先研究第一段梁，令得第六章1彎曲變形當a>b時，x1<a最大撓度確實在第一段梁中第六章1彎曲變形梁中點C

處的撓度為結(jié)論:在簡支梁中,不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無拐點,其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替,其精確度是能滿足工程要求的.第六章1彎曲變形對各段梁，都是由坐標原點到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的。所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程。只增加了（x-a）的項。對（x-a）的項作積分時，應(yīng)該將（x-a）項作為積分變量。從而簡化了確定積分常數(shù)的工作。積分法的原則第六章1彎曲變形§6-4疊加法求梁變形

梁的剛度校核疊加原理：梁的變形微小，且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時，梁在幾項荷載（可以是集中力,集中力偶或分布力）同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。當每一項荷載所引起的撓度為同一方向（如均沿y軸方向),其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy平面內(nèi))時,則疊加就是代數(shù)和。這就是疊加原理。一，疊加法求梁變形第六章1彎曲變形例題：一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖a所示。試按疊加原理求梁跨中點的撓度fC和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角

A,B

。ABmC(a)q第六章1彎曲變形解：將梁上荷載分為兩項簡單的荷載，如圖。b,c所示ABmC(a)qAC(b)Bqm(C)ABC第六章1彎曲變形()()ABmC(a)qAC(b)Bqm(C)ABC第六章1彎曲變形例題:試利用疊加法，求圖示抗彎剛度為EI的簡支梁跨中點的撓度fC

和兩端截面的轉(zhuǎn)角

A,B

。ABCq第六章1彎曲變形解：該梁上荷載可視為正對稱荷載與反稱對荷載兩種情況的疊加。ABCqCABCAB第六章1彎曲變形（1）正對稱荷載作用下CAB第六章1彎曲變形（2）反對稱荷載作用下可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長度為l/2的簡支梁在跨中C截面處，撓度fc等于零，但轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的彎矩也等于零CAB第六章1彎曲變形CABCAB第六章1彎曲變形將相應(yīng)的位移進行疊加,即得（）（）第六章1彎曲變形例題：一抗彎剛度為EI的外伸梁受荷載如圖所示,

試按疊加原理并利用附表,求截面B的轉(zhuǎn)角

B

以及A端和BC中點D的撓度fA

和fD

。

ABCDaa2a2qq第六章1彎曲變形解：將外伸梁沿B截面截成兩段，將AB

段看成B

截面固定的懸臂梁，BC

段看成簡支梁。ABCDaa2a2qq第六章1彎曲變形2qABB

截面兩側(cè)的相互作用力為：2qa2qa2qaBCDqABCDaa2a2qq第六章1彎曲變形就是外伸梁AC

的

B，fD2qaBCDq簡支梁BC

的受力情況與外伸梁AC的BC

段的受力情況相同由簡支梁BC求得的

B，fDABCDaa2a2qq第六章1彎曲變形2qaBCDq簡支梁BC

的變形就是MB和均布荷載q分別引起變形的疊加。(1)求

B，fDqBCDBCD第六章1彎曲變形2qaBCDqqBCDBCD第六章1彎曲變形由疊加原理得2qaBCDqqBCDBCD第六章1彎曲變形2qAB(2)求fA由于簡支梁上B截面的轉(zhuǎn)動，代動AB段一起作剛體運動，使A端產(chǎn)生撓度f1

懸臂梁AB本身的彎曲變形，使A端產(chǎn)生撓度f22qa2qaABCDqABCDq第六章1彎曲變形因此，A端的總撓度應(yīng)為由附錄1V查得2qAB2qa2qaABCDqABCDq第六章1彎曲變形例題：用疊加法求梁中點處的撓度。設(shè)b<l/2。ACBblq第六章1彎曲變形解：將均布荷載看作許多微集中力dP

組成ACBblqxdxdP=qdxdP=qdx第六章1彎曲變形ACBblqxdxdP=qdx第六章1彎曲變形梁的剛度條件可表示為二，梁的剛度校核第六章1彎曲變形一.基本概念PABABCP超靜定梁

§6-5簡單超靜定梁的解法單憑靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁,稱為超靜定梁“多余”約束多于維持其靜力平衡所必需的約束第六章1彎曲變形

超靜定次數(shù)“多余”反力與“多余”約束相應(yīng)的支座反力超靜定梁的“多余”約束的數(shù)目就等于其超靜定次數(shù)。PABABCPRCRB第六章1彎曲變形ABq(a)

二，求解超靜定梁的步驟圖示為抗彎剛度為EI的一次超靜定梁。（1）解除多余約束，代之以約束反力。得到原超靜定梁的基本靜定系。qAB(b)第六章1彎曲變形

圖（b）為基本靜定系。（2）超靜定梁在多余約束處的約束條件，就是原超靜定梁的變形相容條件。ABq(a)qAB(b)第六章1彎曲變形

（3）根據(jù)變形相容條件得

變形幾何方程變形幾何方程為ABq(a)qAB(b)第六章1彎曲變形

（4）將力與變形的關(guān)系代入變形幾何方程得補充方程查表得qAB(b)BAqAB第六章1彎曲變形

補充方程為由該式解得qAB(b)BAqAB第六章1彎曲變形

梁固定端的兩個支反力qABl第六章1彎曲變形ABq(a)代以與其相應(yīng)的多余反力偶mA

得基本靜定系變形相容條件為請同學(xué)們自行完成！方法二取支座A處阻止梁轉(zhuǎn)動的約束為多余約束。ABq第六章1彎曲變形例題：梁AC如圖所示,梁的A端用一鋼桿AD

與梁AC鉸接,在梁受荷載作用前,桿AD

內(nèi)沒有內(nèi)力,已知梁和桿用同樣的鋼材制成,材料的彈性模量為E,鋼梁橫截面的慣性矩為l,拉桿橫截面的面積為A,其余尺寸見圖,試求鋼桿AD

內(nèi)的拉力N。a2aABCq2qD第六章1彎曲變形BCq2qADA點的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結(jié)于A點。即解：這是一次超靜定問題