函數(shù)的基本性質(zhì)(復(fù)習(xí))

函數(shù)的基本性質(zhì)(復(fù)習(xí))2021/5/91對(duì)于屬于定義域I

內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，

當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，則稱f(x)這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).【定義】區(qū)間D稱為f(x)的一個(gè)遞增區(qū)間。對(duì)于屬于定義域I

內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，

當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，則稱f(x)這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為f(x)的一個(gè)遞減區(qū)間。單調(diào)性的概念2021/5/922.證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟.(1)取值．即設(shè)x1,x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2；(2)作差變形．即作差f(x1)－f(x2)，并通過(guò)因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形；(3)定號(hào)．確定差f(x1)－f(x2)的符號(hào)．(4)下結(jié)論，根據(jù)符號(hào)作出結(jié)論．即“取值——作差變形——定號(hào)——下結(jié)論”這四個(gè)步驟．2021/5/933.函數(shù)奇偶性的定義.①奇函數(shù)：設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有

，則這函數(shù)叫做奇函數(shù)．②偶函數(shù)：設(shè)函數(shù)y＝g(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)于D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有

，則個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)．注意:1.奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形.2021/5/944.根據(jù)定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟.1.求解函數(shù)的定義域，并判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.求f（-x）.3.判斷f（-x）與f（x）,-f（x）之間的關(guān)系.若不具有奇偶性舉反例.4.給出結(jié)論.2021/5/95二.小題小練：1.設(shè)偶函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的減函數(shù)，則f(－2),

f(－π),

f(3)的大小順序是

．記憶技巧：偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.分析：二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題需考慮對(duì)稱軸和開(kāi)口方向2.已知二次函數(shù)為偶函數(shù)，則f(x)在(－5，－2)上是單調(diào)

函數(shù)．2021/5/96解析：f(x)＝|x－a|的圖象是以(a,0)為折點(diǎn)的折線，由圖知a≥2.3.函數(shù)f(x)＝|x－a|在(－∞，2]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是

．0xy3-32021/5/976.已知函數(shù)，常數(shù)a、b∈R，且f（4）=0，則f（-4）=

．分析：本題一個(gè)條件，a、b二個(gè)待定系數(shù).無(wú)法求出解析式只有利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理.5、已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(-5)=5，則f(5)=________2021/5/98思維啟迪：本題著重在于考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)與定義。7已知為奇函數(shù)，

求a,b2021/5/99題型分析題型一：定義證明單調(diào)性：例1、證明函數(shù)證：取值作差變形定號(hào)下結(jié)論2021/5/910例2.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)。

證明：在內(nèi)任取，且則定義證明單調(diào)性：2021/5/911練習(xí).設(shè)，是上的偶函數(shù)。（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）證明在是增函數(shù)。

解：（1）是R上的偶函數(shù)恒成立2021/5/912練習(xí)設(shè)，是上的偶函數(shù)。（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）證明在是增函數(shù)。

定義證明單調(diào)性：（2）證明：在內(nèi)任取，且

則2021/5/913例3.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足下列條件：①是奇函數(shù)②在定義域上單調(diào)遞減③求實(shí)數(shù)a的取值范圍。不能忽視定義域！題型二：利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的取值范圍：本題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用f(x)為奇函數(shù)將式子轉(zhuǎn)化為:思維引導(dǎo)：由題意可得：2021/5/914本題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是利用f(x)為奇函數(shù)將式子轉(zhuǎn)化為:思維引導(dǎo)：鞏固練習(xí)：2021/5/915思維引導(dǎo)：變式訓(xùn)練1：2021/5/916變式訓(xùn)練2：思維引導(dǎo)：1或-12021/5/917解抽象不等式的基本思路：利用函數(shù)的單調(diào)性，去掉函數(shù)符號(hào)，將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式。其步驟為：1°為了利用單調(diào)性去函數(shù)符號(hào)，首先將不等式化為（或）的形式；2°依據(jù)函數(shù)的定義域及函數(shù)的單調(diào)性寫(xiě)出等價(jià)的具體不等式組；3°寫(xiě)出解集。〖規(guī)律總結(jié)〗2021/5/9181已知函數(shù)x∈[1,+∞).(1)當(dāng)a=時(shí),求f(x)的最小值;(2)若對(duì)任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思維啟迪

第(1)問(wèn)可先證明函數(shù)f(x)在[1,+∞)

上的單調(diào)性,然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，對(duì)于第

(2)問(wèn)可采用轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0的問(wèn)題來(lái)解決.還可以使用分離參數(shù)法題型一函數(shù)單調(diào)性與最值2021/5/919思維啟迪：求二次函數(shù)的最值需要有三看：開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，區(qū)間當(dāng)三者有一個(gè)不確定時(shí)，需討論2021/5/920題型二抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”,為此需將右邊常數(shù)2看成某個(gè)變量的函數(shù)值.

思維啟迪：2021/5/921函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，并且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0.

（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；（2）若f(4)=1,解不等式思維啟迪

問(wèn)題(1)是抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,所以要用單調(diào)性的定義.

問(wèn)題(2)將函數(shù)不等式中抽象的函數(shù)符號(hào)“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”,為此需將右邊常數(shù)3看成某個(gè)變量的函數(shù)值.變式訓(xùn)練：2021/5/922鞏固練習(xí)：2021/5/923四.課后練習(xí)：1.設(shè)函數(shù)f（x）（x∈R）為奇函數(shù)，f（1）=0.5，f（x+2）=f（x）+f（2），則f（-5）等于

．2.判斷函數(shù)f（x）=x(|x|+2)的奇偶性.并利用其對(duì)稱性畫(huà)出它的圖像.3.已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b](0＜a＜b)上的最大值是3，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－b，－a]上最

值，該值是

．

2021/5/9244.已知（1）若a=-2,試證f(x)在（-∞,-2）內(nèi)單調(diào)遞增；（2）若a>0且f(x)在（1,+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍.0<a≤12021/5/925課堂小結(jié)1奇偶性定義:對(duì)