廣東省茂名市信宜市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫在答題卡指定的位置上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答親標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.第一部分選擇題（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，或，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用集合的交、補(bǔ)運(yùn)算求集合即可.【詳解】由題設(shè)，又，所以.故選：C2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】命題“”的否定是“”.故選：B3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以故選：A5.下列各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別判斷四個(gè)答案中與的定義域是否相同，并比較化簡(jiǎn)后的解析式是否一致，即可得到答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)D：，的定義域均為，對(duì)應(yīng)法則相同，故兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).屬于容易題.6.我國(guó)古代某數(shù)學(xué)著作中記載：“今有宛田，下周四步，徑四步，問(wèn)為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)其意思為：有一塊扇形田，弧長(zhǎng)4步，其所在圓的直徑是4步，則這塊田的面積是（）A.8平方步 B.6平方步 C.4平方步 D.16平方步【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，扇形的田的弧長(zhǎng)4步，其所在圓的半徑是2步，所以這塊田的面積是（平方步）.故選：C7.設(shè)，，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，而，所以.故選：B8.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可排除A，C，根據(jù)當(dāng)時(shí)，即可排除B．得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故排除A，C．當(dāng)時(shí)，，，則，故排除B，故選:D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.二、多項(xiàng)選擇題：共4小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)，的單調(diào)性及特殊值法，即可判斷選項(xiàng)的正誤.詳解】A：由不等式性質(zhì)：不等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不等式符號(hào)不變，即，正確；B：因?yàn)樵诙x域內(nèi)為增函數(shù)，由題意知，故有，正確；C：當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；故選：AB.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.若冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則B.函數(shù)表示冪函數(shù)C.若表示遞增的冪函數(shù)，則D.冪函數(shù)的圖像都過(guò)點(diǎn)，【答案】AC【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義、性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，即，解得，，A正確；對(duì)于B，函數(shù)不是冪函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，是冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時(shí)，是R上的增函數(shù)，符合題意，因此，C正確；對(duì)于D，冪函數(shù)不過(guò)點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：AC11.關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的有（）A.函數(shù)最小正周期為 B.表達(dá)式可寫成C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可判斷A；根據(jù)誘導(dǎo)公式即可判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，所以函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：BC.12.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.在上是增函數(shù) D.的值域是【答案】BC【解析】【分析】計(jì)算得出判斷選項(xiàng)A不正確；用函數(shù)的奇偶性定義，可證是奇函數(shù)，選項(xiàng)B正確；通過(guò)分離常數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得出在R上是增函數(shù)，判斷選項(xiàng)C正確；由的范圍，利用不等式的關(guān)系，可求出，選項(xiàng)D不正確，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，.∵，，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；，∴是奇函數(shù)，B正確；在R上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在R上是增函數(shù)，C正確；，，，，，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是一道以數(shù)學(xué)文化為背景，判斷函數(shù)性質(zhì)的習(xí)題，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)，然后才會(huì)對(duì)函數(shù)變形，并作出判斷.第二部分非選擇題（共90分）三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則________．【答案】##【解析】【分析】判斷并計(jì)算，再判斷計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，則，所以.故答案為：14.若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得（舍去），所以.故答案為：.15.已知，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法計(jì)算作答.【詳解】由于，所以.故答案為：16.寫出一個(gè)最小正周期為2的偶函數(shù)______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由余弦型函數(shù)的性質(zhì)以及周期公式即可求解.【詳解】由余弦型函數(shù)的周期公式可知，故符合條件的函數(shù)可以為：.故答案為：四、解答題：共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.計(jì)算以下式子的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】.18.已知關(guān)于的不等式，．（1）若，則求上述不等式的解集；（2）若上述不等式對(duì)一切恒成立，則求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）代入?yún)?shù)，解一元二次不等式求解集即可；（2）由不等式在上恒成立，討論、，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求的范圍．【詳解】（1）將代入不等式，得：，即，得，∴不等式的解集為；（2）恒成立，1）當(dāng)時(shí)，有，顯然不恒成立，舍去；2）當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)得：，解得；∴綜上，有.19.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)，求的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；（2）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想求解即可.【小問(wèn)1詳解】令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以的值域?yàn)椋?0.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)．【答案】（1）；（2）具體見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求出時(shí)的函數(shù)解析式即可.（2）對(duì)參數(shù)分類討論，借助數(shù)形結(jié)合的方法求得結(jié)果.【詳解】解：（1）由圖可知，解得．設(shè)，則，∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，∴，∴．∴．（2）作出函數(shù)的圖象如圖所示：．由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)為3．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：借助數(shù)形結(jié)合來(lái)解決函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到角的終邊，記角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為．（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由三角函數(shù)定義，根據(jù)題中條件，用表示出，，，，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出，，得到，，即可求出正切.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，．因?yàn)榻堑慕K邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到角的終邊，所以，因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)為O，，，且，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，，所以，，即?/p>