專題09 動(dòng)態(tài)幾何定值問(wèn)題【無(wú)答案】

玩轉(zhuǎn)壓軸題，爭(zhēng)取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)解答題高端精品專題九動(dòng)態(tài)幾何定值問(wèn)題【考題研究】數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動(dòng)態(tài)題是近年來(lái)中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律問(wèn)題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)三大類，就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有軸對(duì)稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱、滾動(dòng)）等，就問(wèn)題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題、面積問(wèn)題、最值問(wèn)題、和差問(wèn)題、定值問(wèn)題和存在性問(wèn)題等。解這類題目要“以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問(wèn)題，變?yōu)殪o態(tài)問(wèn)題來(lái)解，而靜態(tài)問(wèn)題又是動(dòng)態(tài)問(wèn)題的特殊情況。以動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。【解題攻略】動(dòng)態(tài)幾何形成的定值和恒等問(wèn)題是動(dòng)態(tài)幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題，其考點(diǎn)包括線段（和差）為定值問(wèn)題；角度（和差）為定值問(wèn)題；面積（和差）為定值問(wèn)題；其它定值問(wèn)題。解答動(dòng)態(tài)幾何定值問(wèn)題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成：先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動(dòng)點(diǎn)放在特殊的位置，找出定值的表達(dá)式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.【解題類型及其思路】在中考中，動(dòng)態(tài)幾何形成的定值和恒等問(wèn)題命題形式主要為解答題。在中考?jí)狠S題中，動(dòng)態(tài)幾何之定值（恒等）問(wèn)題的重點(diǎn)是線段（和差）為定值問(wèn)題，問(wèn)題的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確應(yīng)用適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM(jìn)行探究。【典例指引】類型一【線段及線段的和差為定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△A′B′C，記旋轉(zhuǎn)角為α，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)∠CA′D＝15°時(shí)，作∠A′EC的平分線EF交BC于點(diǎn)F．①寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；②求證：EA′+EC＝EF；（2）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)P是直線A′D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，若AB＝，求線段PA+PF的最小值．（結(jié)果保留根號(hào)）【舉一反三】如圖（1），已知∠,點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，且，、為射線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（），過(guò)點(diǎn)作⊥，垂足為點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)．（1）若時(shí)，求的值；（2）設(shè)，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如圖(2)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，點(diǎn)、在射線和上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．類型二【線段的積或商為定值】【典例指引2】如圖①，矩形中，，，將繞點(diǎn)從處開(kāi)始按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交邊（或）于點(diǎn)，交邊（或）于點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)至處時(shí)，的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）特殊情形：如圖②，發(fā)現(xiàn)當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，也恰好過(guò)點(diǎn)，此時(shí)是否與相似？并說(shuō)明理由；（2）類比探究：如圖③，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：設(shè)時(shí)，的面積為，試用含的代數(shù)式表示；①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若時(shí)，求對(duì)應(yīng)的的面積；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)拿娣e為4.2時(shí)，求對(duì)應(yīng)的的值.【舉一反三】如圖1,已知直線y＝a與拋物線交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C(1)若AB＝4,求a的值(2)若拋物線上存在點(diǎn)D(不與A、B重合),使,求a的取值范圍(3)如圖2,直線y＝kx＋2與拋物線交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)PE、PF分別交直線y＝－2于M、N兩點(diǎn),MN交y軸于Q點(diǎn),求QM·QN的值。圖1圖2類型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如圖，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB為邊作等邊△ABD（點(diǎn)C、D在邊AB的同側(cè)），連接CD．（1）若∠ABC90°，∠BAC30°，求∠BDC的度數(shù)；（2）當(dāng)∠BAC2∠BDC時(shí)，請(qǐng)判斷△ABC的形狀并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠BCD等于多少度時(shí)，∠BAC2∠BDC恒成立．【舉一反三】如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，直線交拋物線W于另一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求直線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，若平分，求拋物線W的解析式；（3）若，將拋物線W向下平移個(gè)單位得到拋物線，如圖2，記拋物線的頂點(diǎn)為，與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，與射線的交點(diǎn)為．問(wèn)：在平移的過(guò)程中，是否恒為定值？若是，請(qǐng)求出的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．類型四【三角形的周長(zhǎng)為定值】【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為的正方形ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP，BH.（1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？不變化，求出周長(zhǎng)，若變化，說(shuō)明理由；（4）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.【舉一反三】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝8，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn).將一個(gè)邊長(zhǎng)足夠大的Rt△DEF的直角頂點(diǎn)E放在點(diǎn)O處，并將其繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，始終保持DE與AC邊交于點(diǎn)G，EF與BC邊交于點(diǎn)H.(1)當(dāng)點(diǎn)G在AC邊什么位置時(shí)，四邊形CGOH是正方形.(2)等腰直角三角ABC的邊被Rt△DEF覆蓋部分的兩條線段CG與CH的長(zhǎng)度之和是否會(huì)發(fā)生變化，如不發(fā)生變化，請(qǐng)求出CG與CH之和的值：如發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.類型五【三角形的面積及和差為定值】【典例指引5】綜合與實(shí)踐：矩形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．具體要求：如圖1，將長(zhǎng)與寬都相等的兩個(gè)矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，這時(shí)對(duì)角線AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，將矩形EFGH繞AC的中點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，直到點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)停止，在此過(guò)程中開(kāi)展探究活動(dòng)．操作發(fā)現(xiàn)：（1）雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)邊AB與EF交于點(diǎn)M，邊CD與GH交于點(diǎn)N，如圖2、圖3所示，則線段AM與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是．（2）雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開(kāi)始后，當(dāng)兩個(gè)矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時(shí)，如圖3所示，四邊形QMRN為菱形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．（3）雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問(wèn)題（2）中的四邊形QMRN中∠MQN與旋轉(zhuǎn)角∠AOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你寫出這一關(guān)系，并說(shuō)明理由．實(shí)踐探究：（4）在圖3中，隨著矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會(huì)發(fā)生變化．若矩形紙片的長(zhǎng)為，寬為，請(qǐng)你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠AOE為多少度時(shí)，四邊形QMRN的面積最大？最大面積是多少？（直接寫出答案）【舉一反三】如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過(guò)點(diǎn)B，C，∠F＝30°.（1）求證：BE＝CE（2）將△EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF，EG分別與AB，BC相交于點(diǎn)M，N.（如圖2）①求證：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面積的最大值；③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)B恰好在FG上（如圖3），求sin∠EBG的值.【新題訓(xùn)練】1．已知在平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAD=120°，E為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)E作直線AB的垂線，垂足為F，F(xiàn)E與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，（1）如圖1，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，求線段BE、CG的長(zhǎng)度．（2）如圖2，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接DE，DF，△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和是否是一個(gè)定值，若是請(qǐng)求出定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，設(shè)BE=x，△DEF的面積為y，試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．2．如圖，邊長(zhǎng)為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（0，6），（﹣4，0），連接PD，PE，DE．（1）求拋物線的解析式；（2）小明探究點(diǎn)P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差為定值，請(qǐng)你判定該猜想是否正確，并說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)直接寫出△PDE周長(zhǎng)的最大值和最小值．3．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．(1)直接填空：∠BAD=______°.(2)點(diǎn)P在CD上，連結(jié)AP，AM平分∠DAP，AN平分∠PAB，AM、AN分別與射線BP交于點(diǎn)M、N．設(shè)∠DAM=α°．①求∠BAN的度數(shù)(用含α的代數(shù)式表示)．②若AN⊥BM，試探究∠AMB的度數(shù)是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)用α的代數(shù)式表示它．4．將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BC，DE．探究S△ABC與S△ADC的比是否為定值．（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時(shí)，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說(shuō)明理由．（圖①）（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30°角的直角三角板時(shí)，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說(shuō)明理由．（圖②）（3）兩塊三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n為常數(shù)），S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過(guò)程），如果不是，說(shuō)明理由．（圖③）5．（解決問(wèn)題）如圖1，在中，，于點(diǎn)．點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)．（1）若，，則的面積是______，______．（2）猜想線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）（變式探究）如圖2，在中，若，點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn)，且，，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，求的值．（4）（拓展延伸）如圖3，將長(zhǎng)方形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)為折痕上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，點(diǎn)．若，，直接寫出的值．6．如圖，已知銳角△ABC中，AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O（1）若∠A=α（0°＜α＜90°），求∠BOC；（2）試判斷∠ABO+∠ACB是否為定值；若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．⊙O的直徑AB＝15cm，有一條定長(zhǎng)為9cm的動(dòng)弦，CD在弧AB上滑動(dòng)（點(diǎn)C和A、點(diǎn)D與B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F．（1）求證：AE＝BF（2）在動(dòng)弦CD滑動(dòng)過(guò)程中，四邊形CDFE的面積是否為定值，若是定值，請(qǐng)給出證明，并求這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.8．如圖，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，為直徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)及的中點(diǎn)重合），連接.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，以為邊在半圓同側(cè)作正方形，過(guò)點(diǎn)作的切線交射線于點(diǎn)，連接、.（1）探究：如左圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；①判斷是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；③設(shè)，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）拓展：如右圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；分別判斷（1）中的三個(gè)結(jié)論是否保持不變？如有變化，請(qǐng)直接寫出正確的結(jié)論.（均不必說(shuō)明理由）9．如圖，已知⊙的半徑為，為直徑，為弦．與交于點(diǎn)，將沿著翻折后，點(diǎn)與圓心重合，延長(zhǎng)至，使，鏈接．（）求的長(zhǎng)．（）求證：是⊙的切線．（）點(diǎn)為的中點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)（與、不重合）．則為一定值．請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出該定值．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，且OA=6，OB=8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)及AB的長(zhǎng)；（2）若直角∠NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，射線DP分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、N，射線DM交x軸于點(diǎn)M，連接MN．①當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸時(shí)，若△PDM∽△MON，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②在直角∠NDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，∠DMN的大小是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，△AOB中，A（－8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，與x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，EC的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)F，（1）⊙P的半徑為；（2）求證：EF為⊙P的切線；（3）若點(diǎn)H是上一動(dòng)點(diǎn)，連接OH、FH，當(dāng)點(diǎn)H在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究是否為定值？若為定值，求其值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.12．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．過(guò)點(diǎn)A作對(duì)角線BD的平行線與邊CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．P為邊BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，D重合），連接PA，PE，AC．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）求四邊形ABDE的周長(zhǎng)和面積；（3）記△ABP的周長(zhǎng)和面積分別為C1和S1，△PDE的周長(zhǎng)和面積分別為C2和S2，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探究下列兩個(gè)式子的值或范圍：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值；如果不是定值的，請(qǐng)直接寫出它的取值范圍．13．如圖，在中，圓心關(guān)于弦的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，連接、、、.（1）求證：四邊形是菱形；（2）如圖，若點(diǎn)是優(yōu)?。ú缓它c(diǎn)、）上任意一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，的半徑為.試探究①線段與的積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；②求的取值范圍.14．如圖，拋物線的頂點(diǎn)