廣東省佛山市南海區(qū)2024屆高三上學期8月摸底數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市南海區(qū)2024屆高三上學期8月摸底數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合，集合，則.故選：B.2.這三個數(shù)的大小順序是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，，所以，故選：C.3.由成對樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗回歸方程為，則下列說法正確的是（）A.直線必過B.直線至少經(jīng)過中的一點C.直線是由中的兩點確定的D.這n個點到直線的距離之和最小〖答案〗A〖解析〗由最小二乘法公式可知，所以經(jīng)驗回歸方程必過，故A正確最小二乘法求出的經(jīng)驗回歸方程不一定經(jīng)過點，故BC錯誤；最小二乘法保證的是豎直距離之和的絕對值最小，故D錯誤；故選：A．4.下列式子中正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，若，則，，，故C錯誤；對于D，，故D正確故選：D.5.已知直線是圓的對稱軸，過點作圓C的一條切線，切點為P，則|PA|＝（）A.2 B. C.7 D.〖答案〗C〖解析〗由題可得圓的標準方程為：，可知圓心的坐標，半徑為，因為直線是圓的對稱軸，所以直線經(jīng)過圓心，則，解得，故，由于過點作圓的一條切線，切點為，.故選：C.6.在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A. B. C.3 D.15〖答案〗A〖解析〗由組合知識可知，含的求解，需要從5個因式中，3個因式選擇，2個因式選擇常數(shù)，則含的項的系數(shù)是.故選：A7.在凸四邊形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，，若以AB，CD為邊分別畫兩個正方形，，再畫一個長度、寬度分別為AB，CD的長方形，則所畫三個圖形，，的面積之和為（）A.7 B.14 C.21 D.28〖答案〗D〖解析〗如圖，延長與交于點由，得連接取的中點,連接,則由三角形中位線定理知，,在中，由余弦定理得即所以三個圖形，，的面積之和為故選：8.已知數(shù)列對任意滿足，則（）A.4040 B.4043 C.4046 D.4049〖答案〗B〖解析〗由可得；兩式相減可得；即相鄰的奇數(shù)項或者偶數(shù)項成等差數(shù)列，且公差為4，所以可得，即；當時，，因此.故選：B.二、選擇題9.已知是定義在上不恒為0的奇函數(shù)，是的導函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù)C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗根據(jù)題意，可得，因為為奇函數(shù)，可得，可得，即，即，所以為偶函數(shù)，由，即為奇函數(shù)，所以A正確；由，即為偶函數(shù)，所以B正確；由，所以為偶函數(shù)，所以C錯誤；由，所以為偶函數(shù)，所以D正確.故選：ABD.10.如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關(guān)系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯誤；對于選項B，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；對于選項C，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；對于選項D，由于AB∥CD∥NQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；故選：BCD11.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為 B.的圖象與直線僅有三個交點C.的圖象關(guān)于點對稱 D.的圖象關(guān)于直線對稱〖答案〗AC〖解析〗對于A，，令，所以令，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，所以的最大值為，故A正確；對于B，，所以為奇函數(shù)，而也為奇函數(shù)，故要求的圖象與直線在上的交點個數(shù)，只需判斷的圖象與直線在上的交點個數(shù)即可，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞減，而，所以在上恒成立，即與的圖象在上沒有交點，所以與的圖象在上也沒有交點，又，故在上有且僅有一個零點.則的圖象與直線只有一個交點，故B錯誤.對于C，，故的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；對于D，取，，的圖象關(guān)于不關(guān)于直線對稱，故D錯誤.故選：AC.12.設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由可知，又可得，由可得，所以A錯誤；由可知，，所以B正確；由條件概率公式可得，即C正確；又可得，同理，即D錯誤.故選：BC.三、填空題13.已知復數(shù)z與都是純虛數(shù)，則______．〖答案〗〖解析〗由復數(shù)是純虛數(shù)，可設(shè)復數(shù)，可得，因為都是純虛數(shù)，可得，解得，所以.故〖答案〗為：14.已知直線：，過點作直線，則和的交點坐標為______．（用含A，B的式子表示）〖答案〗〖解析〗因為直線：，直線，所以設(shè)，又因為過點，則，則，所以，則，解得：，故和的交點坐標為：.15.中，D為邊AC上一點，BD平分，且，，，則______．〖答案〗〖解析〗因為BD平分，且，，設(shè)，由角平分線定理可得：，即，所以設(shè)，因為，則，所以，所以，又因為，又因為，所以，所以.故〖答案〗為：.16.若圓錐內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為，當該圓錐體積取最小值時，該圓錐的表面積為______．〖答案〗.〖解析〗設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為，可得，解得，再設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，高為，如圖所示，由，可得，即，解得，所以圓錐的體積，當且僅當時，即時，等號成立，此時，母線長為，此時圓錐的表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知是公差不為0的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）存在常數(shù)，使得對每一個正整數(shù)n都有，求．解：（1）設(shè)的公差為，的公比為.由，，，．則，解得，.所以，.（2）由，可得：對一切正整數(shù)都成立.于是，，則，即，即，解得：，.18.如圖，頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A，B是底面圓周上不同兩點，線段AB不過底面圓心O，AB的中點為Q，，垂足為H，C為PA的中點．（1）求的大小；（2）求平面與圓錐底面夾角．解：（1）根據(jù)題意連接，如下圖所示：由圓錐的軸截面是等腰直角三角形可知；易知，又因為為的中點，所以；，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以；又為中點，且，所以；，平面，所以平面，平面，可得，因此為直角；即.（2）以為坐標原點，在圓錐底面內(nèi)的垂線為軸，分別為軸、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：不妨設(shè)，則，則顯然圓錐底面的一個法向量為，由（1）可知即為平面的一個法向量，設(shè)平面與圓錐底面的夾角為，則，可得；即平面與圓錐底面的夾角為.19.已知，為銳角，求證：“”是“”成立的充要條件．證明：由得，所以，，所以，所以充分性成立；因為，所以，若，即，因為，為銳角，得為銳角，為銳角，所以，即，所以，即，此時不成立；若，即，因為，為銳角，得為銳角，為銳角，所以，即，所以，即，此時不成立；故有，所以，所以，所以必要性成立；故“”是“”成立的充要條件．20.某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)由3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為，且每個電子元件能否正常工作是相互獨立，若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修．（1）求系統(tǒng)需要維修的概率；（2）為提高系統(tǒng)正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率為，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作．問：滿足什么條件時可以提高整個系統(tǒng)的正常工作概率？解：（1）記事件，事件事件，顯然事件與事件互斥，則由題意可知.所以系統(tǒng)需要維修的概率為.（2）記，，，，則由題意可知且顯然事件、事件、事件兩兩互斥，則,將分別代入并整理得.由（1）可知系統(tǒng)原來的正常工作概率為，若新增兩個電子元件后整個系統(tǒng)的正常工作概率提高了，則有不等式成立，解得,考慮實際意義知.綜上當時，可以提高整個系統(tǒng)的正常工作概率.21.設(shè)動點M與定點的距離和M到定直線l：的距離的比是．（1）求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；（2）當時，記動點M的軌跡為，動直線m與拋物線：相切，且與曲線交于點A，B．求面積的最大值．解：（1）設(shè)，則，化簡得，，當時，，軌跡為一條直線；當時，，此時軌跡為焦點在軸上的橢圓；當時，，此時軌跡為焦點在軸上的雙曲線；綜上：當時，軌跡方程為，軌跡為一條直線，當時，軌跡方程為，軌跡為焦點在軸上的橢圓；當時，軌跡方程為，軌跡為焦點在軸上的雙曲線；（2）當時，，當直線斜率不存在時，又與相切，故此時直線，此時三點共線，不合要求，舍去，設(shè)直線，聯(lián)立得，由得，顯然，聯(lián)立得，，由，結(jié)合，解得，設(shè)，則，設(shè)直線與軸交于點，則，則，將代入得，因為，令，則，，設(shè)，則設(shè)，則，，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，故最大值為.22.已知函數(shù)．（1）證明：不論取何值，曲線均存在一條固定的切線，并求出該切線方程；（2）若為函數(shù)的極小值點，求的取值范圍；（3）曲線是否存在兩個不同的點關(guān)于軸對稱，若存在，請給出這兩個點的坐標及此時的值，若不存在，請說明理由．解：（1），易得，均與無關(guān)，所以不論取何值，曲線都存在固定切線為．（2），設(shè)，則，當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且．①當時