黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學年高二上學期10月期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學年高二上學期10月期中數(shù)學試題考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將〖答案〗答在答題卡上．選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽宇筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知，則（）A.-19 B.-20 C.20 D.19〖答案〗D〖解析〗因為，所以，則，故選：D.2.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直線的斜率，直線的一個方向向量為.故選：C.3.已知橢圓，則橢圓的長軸長為（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由橢圓得：，所以，解得，所以長軸長，故選：A.4.若圓關于直線對稱，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵圓的方程可化為，∴圓心為，∵圓關于直線對稱，∴圓心在直線上，∴，∴．故選：C.5.已知空間三點，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知可得，，所以.又，所以．故選：C.6.空間直角坐標系中，經(jīng)過點，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的內(nèi)容并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，直線的方向向量為，平面的法向量為，設直線與平面所成角的大小為，則故選：A.7.已知直線與曲線有兩個不同的交點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗曲線表示圓在x軸的上半部分，當直線與圓相切時，，解得，當點在直線上時，，可得，所以實數(shù)取值范圍為.故選：A.8.已知橢圓的右焦點為F，上頂點為A，直線AF與E相交的另一點為M，點M在x軸的射影為點N，O為坐標原點，若，則E的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，則，，故，即，解得（舍去負值），故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.關于直線，下列說法正確的有（）A.過點 B.斜率為C.傾斜角為60° D.在軸上的截距為1〖答案〗BC〖解析〗A.當時，，所以直線不經(jīng)過點，所以該選項錯誤；B.由題得，所以直線的斜率為，所以該選項正確；C.由于直線的斜率為，所以直線的傾斜角為60°，所以該選項正確；D.當時，，所以直線在軸上的截距不為1，所以該選項錯誤.故選：BC.10.已知圓心為的圓與點，則（）A.圓的半徑為2B.點在圓外C.點與圓上任一點距離的最大值為D.點與圓上任一點距離的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗依題意，圓：，則圓心，半徑，A不正確；因點，則，點在圓外，B正確；因點在圓外，在圓上任取點P，則，當且僅當點P，C，A共線，且P在線段AC延長線上時取“=”，C正確；在圓上任取點M，則，當且僅當點C，M，A共線，且M在線段CA上時取“=”，C正確.故選：BCD.11.已知點P是橢圓上一點，，是橢圓的左、右焦點，若，則下列說法正確的是（）A.的面積為B.若點M是橢圓上一動點，則的最大值為9C.點P的縱坐標為D.內(nèi)切圓的面積為〖答案〗AD〖解析〗對A，根據(jù)橢圓定義可得，則①，在中，由余弦定理②，由①②可得，所以的面積為，故A正確；對B，設，則，，，則當時，取得最大值為5，故B錯誤；對C，由A，的面積為，則，解得，故C錯誤；對D，設內(nèi)切圓的半徑為，因為的面積為，所以，即，解得，所以內(nèi)切圓的面積為，故D正確.故選：AD.12.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在陽馬中，側棱底面，且分別為的中點，則（）A.若的中點為M，則四面體是鱉臑B.與所成角的余弦值是C.點S是平面內(nèi)的動點，若，則動點S的軌跡是圓D.過點E，F(xiàn)，G的平面與四棱錐表面交線的周長是〖答案〗ABC〖解析〗連接，因為底面，面，所以，又，面，面，，所以面，又面，所以，所以面MCB為直角三角形，所以，又由勾股定理知，所以面MBD為直角三角形，又面BCD，面DCM均為直角三角形，所以四面體是鱉臑，所以A正確；以D為坐標原點，分別以為正半軸建系如圖，則，故，，.故與所成角的余弦值，故B正確；對于選項C：因，，所以的軌跡是以為焦點的橢球面，又，，，又面，面，，所以面，即面垂直于橢球的長軸，故面截橢球的截面為圓，所以動點S的軌跡是圓，所以C正確；對于選項D：設平面的法向量為，由可取，設過點E，F(xiàn)，G的平面與交于，與交于，設，故，又因為平面，所以，解得，，又，由幾何體的對稱性知，所以截面周長為，故D錯誤，故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線與直線平行，則實數(shù)的值為__________.〖答案〗〖解析〗由直線與不相交，得，解得或，當時，直線的縱截距為，直線的縱截距為，則，當時，直線的縱截距為，直線的縱截距為，則直線重合，所以實數(shù)的值為.故〖答案〗為：14.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則__________.〖答案〗〖解析〗設平面的法向量為，因為，所以，所以有，故〖答案〗為：.15.已知圓與圓只有一條公切線，則__________.〖答案〗16〖解析〗圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因為圓與圓只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，所以，即，所以.故〖答案〗為：.16.已知橢圓：的左、右焦點分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點且交C于A，B兩點（點A在第一象限），設的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率___________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，由橢圓定義可得，，設的面積為，的面積為，因為，所以，即，設直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，由韋達定理得：，，又，即，化簡可得，即，即時，有.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線經(jīng)過點．（1）求直線的一般式方程；（2）若直線與直線垂直，且在軸上的截距為2，求直線的方程．解：（1）∵直線的斜率為，∴直線的方程為，∴直線的一般式方程為．（2）∵直線與直線垂直，由（1）知：直線的斜率為2，∴直線存在斜率，設直線的方程為，且，即，∴直線的方程為，即．18.已知橢圓，點．（1）若橢圓的左焦點為，上頂點為，求點到直線的距離；（2）若點是橢圓的弦的中點，求直線的方程．解：（1）如圖，∵橢圓方程為，點，∴橢圓的左焦點是，上頂點，則直線在軸、軸截距為和，∴直線的截距式方程為，可化為，∴點到直線的距離．（2）如圖，設，則，兩式相減得：，∴直線的斜率①，又∵點是橢圓的弦的中點，∴，，∴代入①式得：，∴直線的方程為，即．19.如圖，四棱錐中，面，底面為菱形，，M是中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．解：（1）∵面，面，∴，又，∴平面.（2）取的中點為N，則兩兩垂直，∴以分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標系如圖，則，設面的法向量為，則令，則，．又面，∴面的法向量，∴，又二面角的平面角為銳角，∴余弦值為．20.已知圓經(jīng)過，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射后恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程.解：（1）由題知中點為，，所以的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心為，所以圓的半徑為，故圓的方程為.（2）設關于的對稱點為，則直線與垂直，且的中點在直線上，則，解得，由題意知反射光線過圓心，故，即.21.在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，點為棱上一點（不含端點）．（1）當為何值時，；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）由題意，∵四邊形為矩形，∴，∵直線平面，平面，∴，，即兩兩垂直，∴以點為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如下圖，∵，，，∴，∴，，設，因點為棱上一點（不含端點），故，則，可得，∴，∵，∴，即，解得：或（舍去），∴，又因點為棱上一點（不含端點），∴．（2）設平面法向量，則，，∴，即令，解得：，，則，，∵，∴，設直線與平面所成角為，則，所以直