線性空間的維數(shù)與基

線性空間的維數(shù)與基

維數(shù)和基數(shù)是線性空間的基本特征，這對理解線性空間起著重要作用。因為確定了維數(shù)和基以后線性空間上任意向量的坐標(即元數(shù)組)也就相應確定了,在學習了線性空間的同構的知識后會知道,任意維線性空間都與同構,這樣,我們可以通過的性質(zhì)來研究任意線性空間的性質(zhì)。同時對維數(shù)與基概念的把握也是我們后面學習線性空間的同構、線性變換、歐氏空間的基礎。但是,鑒于它是線性空間的一個基本概念,多數(shù)教科書對于該部分的處理往往是泛泛而談,比如文獻1例3更是一筆帶過,這對學生深入理解相關概念造成了一定的障礙。雖然它的求法沒有統(tǒng)一的方法,但卻有著一致的要求,即要符合定義。本文計劃從以下兩方面對維數(shù)與基的求法做進一步的歸納和總結(jié),同時也是對《高等代數(shù)》例3的補充說明,希望對初學者認識線性空間以及后續(xù)的學習有一定的幫助。一、數(shù)量乘子的選取凡是涉及數(shù)與空間中向量(取自集合中的元素)的乘積,即通常所說的數(shù)量乘法,其中的數(shù)都是取自數(shù)域。例如:線性變換、同構定義中的第二條保持數(shù)量乘法,判別向量的線性相關性等這些問題都是依賴數(shù)域的。同一線性空間指定數(shù)域的不同,通常對于我們的結(jié)果也會造成很大差別。1.數(shù)域?qū)€性空間線性變換的評價解:舉反例如下,系數(shù)取自復數(shù)域,解:系數(shù)取自實數(shù)域,可見,同一線性空間的同一變換在不同數(shù)域上有些是線性的,有些不是線性的。2.計數(shù)對象的種類有符合計數(shù)域和個數(shù)域上的特征例3:線性變換在某一組基下的矩陣為,易知它的特征多項式是,那么它在實數(shù)域和復數(shù)域上的解的情況是不一樣的,在實數(shù)域上的特征值為,而在復數(shù)域上的特征值為。所以,矩陣在實數(shù)域上是無法相似于一個對角矩陣的,而在復數(shù)域上可以。3.確定維數(shù)的線性無關一般我們判定一組向量的線性相關性,是根據(jù)向量方程的系數(shù)是否是全為零來判定的。而應該是在某一個特定數(shù)域內(nèi)來求解的。比如在維數(shù)確定的問題上,我們通常的做法是這樣的:先取一個非零向量,在此基礎上再添加非零向量進行擴充,然后判斷所得向量組是否線性無關,進而求得線性空間中的一極大無關組來確定維數(shù)。例4:分別在復數(shù)域上和實數(shù)域上考慮,任意兩個非零復數(shù)和的線性相關性,當然這里的數(shù)組與是不能對應成比例的解:在復數(shù)域上求解向量方程,可以取,,所以在復數(shù)域上兩個非零復數(shù)a+bi和c+di是線性相關的。而在實數(shù)域上求解的話,只能求得k1=k2=0,所以在實數(shù)域上兩個非零復數(shù)a+bo和c+di是線性無關的。同理,如果再任意添加非零向量c+fi則可判斷必然線性相關。綜上所述,在處理與線性空間有關的問題時,涉及到數(shù)乘向量的運算的時候,其中數(shù)的范圍均不能離開線性空間依賴的數(shù)域,而這一點也正是從線性空間的定義中來。二、線性空間的基本結(jié)構1.關向量組都可以作為1基根據(jù)基的定義,只要是線性空間中的極大線性無關向量組都可以作為的一組基。但是,為了用坐標(維向量)表示向量的方便,基的選取要盡量簡單,但都要符合這一基線性無關的基本要求。2.復歸線性空間在線性空間中任取一向量α,將其表成線性空間一線性無關向量組的線性組合的形式,必要的話需說明向量組是線性無關的。這一線性無關向量組就是我們要找的基。例5:求與的交的基和維數(shù)。例6:確定復數(shù)域作為復數(shù)域上的線性空間和實數(shù)域上的線性空間的維數(shù)和基解:可先用擴充的方法尋求復數(shù)域上的極大無關向量組,進而知道線性空間的維數(shù)。由上例3可知,復數(shù)域作為一個線性空間,在復數(shù)域上是一維的,而實數(shù)域上是二維的。線性空間作為高等代數(shù)一個重要的概念,這個概念在后續(xù)概念的學習中均有滲透。本文主要從數(shù)域?qū)σ恍﹩栴}的判斷的影響上探討它在線性空間中的作用,同時結(jié)合例題指出了求維數(shù)與基的一般方法。通過這樣系統(tǒng)的討論,希望能對學生認識線性空間及其他的一些相關概念有一定的積極作用,同時能夠彌補教材對于這一方面內(nèi)容處理不夠具體的欠缺。例1:把復數(shù)域看作復數(shù)域上的線性空間,,而,顯然,故變換不是線性的。例2:把復數(shù)域看作實數(shù)域上的線性空間,,容易驗證也保持向量的加法,故是線性的。文獻1中關于線性變換特征值的定義是要求符合等式中的是取自線性空間所依賴的數(shù)域的,也就是說線性空間的線性變換特征值的求解范圍數(shù)域。進而,根據(jù)同一線性變換在不同基下矩陣相似的性質(zhì)將任一矩陣對角化的時候,也就會產(chǎn)生不同的結(jié)果?？梢?復數(shù)域在復數(shù)域上考慮極大線性無關組是任意非零復數(shù)a+bi,而在實數(shù)域上考慮極大線性無關組則是任意兩個非零復數(shù)a+bi和cdi。解:任取,則且,,(注:此時α雖然已表成一線性組合的形式,但它僅僅是在V1、V2中的表示,并非本題所求,即要在空間V1∩V2中將線性表出)現(xiàn)