數(shù)列通項的求法

數(shù)列通項的求法

注：①有的數(shù)列沒有通項公式，如：3，π，e，6；②有的數(shù)列有多個通項公式,如：

數(shù)列的通項公式:是一個數(shù)列的第n項（即an）與項數(shù)n之間的函數(shù)關系

下面我就談一談數(shù)列通項公式的常用求法：一觀察、歸納法：觀察數(shù)列中各項與其序號間的關系，歸納出變化規(guī)律,寫出通項公式.

解：變形為：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通項公式為：例1：數(shù)列9，99，999，9999，……

注意：用觀察歸納法，只從數(shù)列的有限項來歸納數(shù)列所有項的通項公式是不一定可靠的，如2，4，8，……。可歸納成或者兩個不同的數(shù)列（便不同）二公式法：

提問：（1）我們已經(jīng)學過哪些數(shù)列的通項公式？等差數(shù)列：

等比數(shù)列：（2）如何判定？

等差數(shù)列：

等比數(shù)列：推導方法：①等差數(shù)列通項公式的推導方法_______

②等比數(shù)列通項公式的推導方法_______疊加法疊乘法解：∵為等差數(shù)列∴

…即：把上面n-1個式子左右兩邊同時相加得：解：∵為等比數(shù)列,∴

把1，2…，n分別代入上式得：

，，…，把上面n-1個式子左右兩邊同時相乘得：∴例2（1）在等差數(shù)列中，若

則_________

（2）某工廠2000年底的產(chǎn)量為a,

若產(chǎn)量的年平均增長率為x,則2010年

底的產(chǎn)量為_____________

答案（1）

（2）

當所給數(shù)列每依次相鄰兩項之間的差不是一個常數(shù)時，怎么求通項？例3.已知分析：探求三疊加法解：由已知，當……將上邊n-1個式子相加得：∴又n=1時，=1適合上式想一想：你有什么解題方法上的收獲？四疊乘法

類比上例，當一個數(shù)列每依次相鄰兩項之商不是一個非零常數(shù)時，怎么求通項呢？

例4、已知數(shù)列中，求通項.

分析：探求

解由已知，

將左邊n-1個式子相乘\212=aa得：)2(113-=-nnnaann想一想：比較上述兩例的解法，你有什么收獲？

疊加法與疊乘法是探求數(shù)列通項的兩種常用基本方法。它們的相同點都是探求與的關系，不同點是：當與的差是特殊數(shù)列時用疊 加法，當與的商是特殊數(shù)列時用疊 乘法。解：得：試一試：已知數(shù)列中，， 求通項.

把上面n-1個式子左右兩邊同時相乘得：

，，…，五.已知，求.基本方法是：

注意：要先分n=1和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一。例5已知數(shù)列的前n項和滿足求的通項公式。

由于=0不適合上式解當時六.轉(zhuǎn)化、換元法

當已知遞推關系比較復雜時，上面的方法還能用嗎？試試看：

例6已知數(shù)列的遞推關系為，且求通項公式。解：∵則輔助數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列∴令∴∴即∴你還有不同的解法嗎？

想一想：這個問題比較難吧，你有什么感受呢？

當已知遞推關系比較復雜時，主要掌握：通過變形，引進輔助數(shù)列后能轉(zhuǎn)化成公式法的特征形式，或是疊加、疊乘法的特征形式，所以上述基本方法的特征和步驟一定要熟練！

2已知滿足

1）證明數(shù)列為等比數(shù)列

2）求

挑戰(zhàn)自我：1已知滿足求1解由已知2解：

一觀察歸納法

二公式法特征：

三疊加法特征:

四疊乘法特征：

五已知求

六轉(zhuǎn)化、換元法類比！轉(zhuǎn)化換元!學貴：本節(jié)課你學習了哪些求數(shù)列通項反思的方法？它們的特征是什么？

一觀察歸納法

二公式法特征：

三疊加法特征:

四疊乘法特征：

五已知求

六轉(zhuǎn)化、換元法

一觀察歸納法

二公式法特征：

三疊加法特征:

四疊乘法特征：

五已知