高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義解三角形大題教師

課題：解三角形大題知識(shí)點(diǎn)：解三角形大題的基本規(guī)律1．三角形面積，不僅僅有常見(jiàn)的“底乘高”，還有以下：①S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R) ②S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是切圓的半徑)【注1】選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（5）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到2．解三角形求最值，主要是兩個(gè)思路：（1）利用余弦定理，借助均值不等式來(lái)求。（2）利用正弦定理，邊角互化來(lái)求。化角時(shí)，要注意角的取值范圍限制3．利用均值求周長(zhǎng)的范圍時(shí)，注意利用三角形“兩邊之和大于第三邊（任意三角形）4．“非對(duì)稱”型，多用正弦定理來(lái)“邊化角”，最后消角時(shí)要注意消去的角與剩下的角對(duì)應(yīng)的取值范圍。特別是題中有“銳角或者鈍角三角形”這類限制條件時(shí)。5．正弦定理是解三角形的有力工具，其常見(jiàn)用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；6．求三角形外接圓半徑.（1）構(gòu)造正余弦定理，特別是余弦定理。（2）要主語(yǔ)三角形中條件，判定是銳角還是鈍角。7．利用正余弦定理判斷：（1）邊化角或者角化邊，轉(zhuǎn)化為邊的勾股或者相等，或者求角度相等（互余）（2）注意條件合理的分析轉(zhuǎn)化（3）角與對(duì)邊型：正弦定理（4）對(duì)稱邊，可以余弦定理+均值不等式典型例題例1在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，=．（1）求的值；（2）若的面積為3，求的值．【答案】（1）2；（2）3【解析】試題分析：（1）由余弦定理可得：，已知．可得．利用余弦定理可得cosC．可得，即可得出；（2）由三角形面積公式得可得c，即可得出b試題解析：（1）由及正弦定理得，又∵，即，得（2），又由正弦定理得又∵，，∴，故。例2已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）由正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理，化簡(jiǎn)可得，又，從而可求得，結(jié)合為三角形內(nèi)角，即可求解的值；（2）由為邊的中點(diǎn)，可得，兩邊平方，設(shè)，可得，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用可得的最大值，利用三角形的面積公式即可求解．試題解析：（1）因?yàn)?，由正弦定理知，即，，．又由為的?nèi)角，故而，所以．又由為的內(nèi)角，故而（2）如圖4，因?yàn)辄c(diǎn)為邊的中點(diǎn)，故而，兩邊平方得，又由（1）知，設(shè)，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又，故而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值例3在的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若，求的值；（2）若的面積，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由，求得的值，再利用正弦定理，即可求解的值；（2）由三角形的面積，求得，再由余弦定理，即可求解的值．試題解析：（1）∵cosB＝>0，且0<B<π，∴sinB＝＝.由正弦定理得＝，所以sinA＝sinB＝.（2）∵S△ABC＝acsinB＝c＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.例4在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由正弦定理將邊化為角得，即得．再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍得．（2）由正弦定理將角化為邊得，再根據(jù)余弦定理得，解方程組可得．試題解析：解：（1）由及正弦定理，得．在中，，∴，∴．∵，∴．（2）由及正弦定理，得，①由余弦定理得，即，②由①②，解得．例5?ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面積的2倍。（Ⅰ）求（Ⅱ）若，求BD和AC的長(zhǎng)【解析】（1）S△ABD=QUOTE12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=QUOTE12AC·ADsin∠CAD,因?yàn)镾△ABD=2S△ADCsinBsinC=ACAB=12.（2）因?yàn)镾△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD22AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC22AD·DCcos∠ADC,故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2（1）知AB=2AC,所以AC=1.例6在中，、、分別為角、、所對(duì)的邊，．（1）求角的大??；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理將已知等式邊化角，再由兩角和的正弦公式，即可求解；（2）利用余弦定理，建立邊方程關(guān)系，再由三角形面積公式，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由，得，，∴，又∵在中，，∴，∵，∴．（2）在中，由余弦定理得，即，∴，解得或（舍），∴的面積．【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理以及兩角和差公式解三角形，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．例7在△中，，，分別是角，，的對(duì)邊，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求和的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）在△ABC中有B+C＝π﹣A，由條件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2＝7，解方程求得cosA的值，即可得到A的值．（2）由余弦定理及a，b+c＝3，解方程組求得b和c的值．【詳解】（1）由，得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2＝7，，因?yàn)?，所以，故，所以，，．?）由余弦定理，，得，，得由解得或【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理，二倍角公式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．例8（1）求證：..（2）在銳角三角形中，已知，且，求的范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）把分解成，然后再利用兩角和差的余弦公式即可證出結(jié)論；（2）用換，再利用兩角和的余弦公式代入可得到，再由正弦定理可得到，再由三角形的面積公式以及銳角三角形中的角的范圍可求出結(jié)論.【詳解】（1），（2）,又是三角形的內(nèi)角，，即，由正弦定理可得：，則，，是銳角三角形的內(nèi)角且，即，，，例9在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用降冪公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)余弦定理即可求解；（2）根據(jù)正弦定理及三角恒等變換可化為，結(jié)合即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由所以，可得，即．由余弦定理得，又，所以．（2）由．因?yàn)?，所以，又，所以，所以，得，所以，所以．舉一反三1．在△ABC中，，，（1）求的值；（2）求的值?！敬鸢浮浚?）（2）或【解析】試題分析：（1）由正弦定理代入已知條件可得到的值；（2）由余弦定理代入已知條件可得到的值試題解析：（1）由正弦定理得：∵∴，得∴（2）由余弦定理得：則，解得或2．已知函數(shù)其中在中，分別是角的對(duì)邊，且．（1）求角A；（2）若，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）代入可得.（2）根據(jù)題中所給條件以及角,利用余弦定理,聯(lián)立可得.最后根據(jù)求得面積.試題解析：（1）因?yàn)?且.所以,可得或.解得或（舍）（2）由余弦定理得，整理得聯(lián)立方程解得或。所以3．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．[來(lái)．Com]（1）求的值；（2）若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解析】試題分析:（１）先用二倍角的余弦公式對(duì)等式的右邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用兩角和的正弦公式分析求解；（２）先運(yùn)用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再借助（1）的結(jié)論將其化為角的方程求解：（Ⅰ），；（Ⅱ），由（Ⅰ）知，，或，或．4．已知：在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)，是和的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的面積，且，求的周長(zhǎng)．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)正弦定理得到，即，解得答案.（Ⅱ）根據(jù)面積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，得到周長(zhǎng).【詳解】（Ⅰ）由已知得，由正弦定理得，即．∵，∴，∴．由于，∴．∵，∴．（Ⅱ）由得，，代入上式得．由余弦定理得，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，等差中項(xiàng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.5．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（1）求的值（2）若，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換求出結(jié)果．（2）首先利用（1）的結(jié)論和余弦定理求出和的值進(jìn)一步求出三角形的面積．【詳解】解：（1）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．則：，整理得：，即，由正弦定理得：；（2）由（1）得：，，，由余弦定理得：，解得：，所以：，則：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．6．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的邊化角公式，結(jié)合兩角和的正弦公式，求解即可；（2）利用余弦定理以及題設(shè)條件得出，最后由三角形面積公式求解即可.【詳解】解：（1）在中，由條件及正弦定理得∴∵，∴∵，∴.（2）∵，由余弦定理得∴.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.7．△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為（1）求;（2）若求△ABC的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）.【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長(zhǎng)為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長(zhǎng)為.8.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，．（1）求；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積．解析（1）由，得，即，又，所以，得.由余弦定理得.又因?yàn)榇氩⒄淼?，解?（2）因?yàn)?，由余弦定理?因?yàn)椋礊橹苯侨切?，則，得.從而點(diǎn)為的中點(diǎn)，.9．在中，.（1）求的值；（2）若，的面積為，求邊長(zhǎng)的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，將，變形為，再化簡(jiǎn)利用平方關(guān)系求解.（2）由確定角A的范圍，得到，再根據(jù)的面積為，利用正弦定理求得，再結(jié)合，利用余弦定理求解.【詳解】（1）由已知得，，因?yàn)椋?，兩邊平方得，，?）由得，，從而，于是，因?yàn)榈拿娣e為，所以由余弦定理得，，.10．已知中，、、是三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，關(guān)于的不等式的解集是空集．（Ⅰ）求角的最大值；（Ⅱ）若，的面積，求當(dāng)角取最大值時(shí)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】【詳解】試題分析：（1）若解集為空，則，解得.則C的最大值為.（2）＝，得，由余弦定理得：，從而得則.考點(diǎn)：解三角形及不等式點(diǎn)評(píng)：解三角形的題目常用到正弦定理，余弦定理，，三角形面積公式11．的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且，.（1）求；（2）若邊上的中線，求的面積.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理，得到，進(jìn)而可得，再由，即可得出結(jié)果；（2）先由余弦定理得，，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可得，從而可求出，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以?（2）在和中，由余弦定理得，.因?yàn)?，，，，又因?yàn)?，即，所以，所以，又因?yàn)?，所?所以的面積.12．在中，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的取值范圍；（Ⅲ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用及誘導(dǎo)公式可得，進(jìn)一步可得即可得到角B；（Ⅱ）由余弦定理得到，結(jié)合可得的范圍，進(jìn)一步得到b的范圍；（Ⅲ）由正弦定理可得，，，又由余弦定理及基本不等式得到，即，代入中即可得到答案.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋?，所以，即，又，，所以，即，因?yàn)?，所?（Ⅱ）由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，即，所以的取值范圍?（Ⅲ）由正弦定理，得，所以，，所以，又由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.13．三角形的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，，，且（1）若三角形是銳角三角形，且，求的取值范圍；（2）若，，求三角形的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用得出，再解出，將用含的式子表示，然后根據(jù)角的范圍，求的取值范圍；（2）利用余弦定理將化為關(guān)于三邊的關(guān)系式，代入，，解出，然后再設(shè)法求其面積.【詳解】又，且都為銳角，故，，又，所以又，所以，得，，所以，故.（2）由余弦定理得，代入，整理得：，解得：則△為直角三角形，面積為.14．如圖，在中，角的對(duì)邊分別為,.（1）求角的大??；（2）若為外一點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)正弦定理將條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系再利用三角形內(nèi)角關(guān)系、誘導(dǎo)公式及兩角和正弦公式化簡(jiǎn)得即得，.（2），由余弦定理得，將數(shù)據(jù)代入可得，利用配角公式得，最后根據(jù)三角形有界性可得四邊形的面積最大值。試題解析：解：（1）在中，.有，，則，即，則.（2）在中，，又，則為等腰直角三角形，，又，，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大值，最大值為.15．在中，設(shè)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的平方關(guān)系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域即可得出.【詳解】（1）由題意知，即，由正弦定理得由余弦定理得，又.（2），則的周長(zhǎng).，，周長(zhǎng)的取值范圍是.課后練習(xí)1．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，，．（I）求邊的值．（II）若，求的面積．【答案】（I）；（II）.【解析】試題分析：（I）由正弦定理將角化邊即可得結(jié)論；（2）由余弦定理求得b，用三角形的面積公式可得解。試題解析：（I）由及正弦定理得,∴（II）在中，由余弦定理得，所以整理得，解得或（舍去）因?yàn)?，所以。所以面積。2．設(shè)向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）中邊所對(duì)的角為，若，當(dāng)取最大值時(shí)，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)三角函數(shù)化一公式將f（x）化簡(jiǎn)成y=Asin（ωx+φ）形式，帶入周期公式求出；（2）利用正弦定理將條件化簡(jiǎn)得到，從而得出C，根據(jù)f（）取最大值求出B，然后解三角形．（1）的最小正周期是.（2）即又，時(shí)取到最大值，此時(shí)，又.3．已知，，分別為銳角內(nèi)角，，的對(duì)邊，.（1）求角；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得到，即可求得角的值；（2）由（1）和三角形的面積公式，可得，再由余弦定理和基本不等式，求得的范圍，即可求得的最大值.【詳解】（1）由題意，在中，因?yàn)楦鶕?jù)正弦定理，可得，因?yàn)槭卿J角三角形，可得，所以，即，又由三角形是銳角三角形，則，所以.（2）由（1）和三角形的面積公式，可得，由余弦定理得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以的最大值為：.4．在中，角的對(duì)邊分別為，的外接圓半徑，且滿足.（1）求角和邊的大??；（2）求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將已知等式化簡(jiǎn)，結(jié)合兩角和的正弦公式，求出，進(jìn)而求出角，再由正弦定理，求出；（2）要使面積最大，只需求出最大，由余弦定理結(jié)合基本不等式，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由，得，，，的外接圓半徑，由正弦定理可得，；（2）根據(jù)余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，所以的面積的最大值為.5．在銳角中，分別為角所對(duì)的邊，且．（1）確定的大??；（2）若，且的周長(zhǎng)為，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合正弦定理可得．結(jié)合△ABC為銳角三角形可得．（2）由題意結(jié)合周長(zhǎng)公式和余弦定理求得ab的值，然后求解三角形的面積即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?所以．所以或．因?yàn)槭卿J角三角形，所以．（2）因?yàn)?且的周長(zhǎng)為，所以①由余弦定理得，即②由②變形得，所以，由面積公式得．6．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角的對(duì)邊分別為，若，，，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用倍角公式降冪化一，可求周期和單調(diào)區(qū)間.（2）由求出C的值，結(jié)合正余弦定理求得a，b的值．【詳解】（1），周期為.因?yàn)?，所以，所以所求函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?，所以，所以，①又因?yàn)?，由正弦定理可得，，②由①②可?7．中，角A，B，C所對(duì)邊分別是a、b、c，且．（1）求的值；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將化簡(jiǎn)代入數(shù)據(jù)得到答案.（2）利用余弦定理和均值不等式計(jì)算，代入面積公式得到答案.【詳解】；（2）由，可得，由余弦定理可得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)．則面積為．即有時(shí)，的面積取得最大值．8．在銳角中，分別為所對(duì)的邊，已知.（1）求的值；（2）為中點(diǎn)，，，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式整理即可求得結(jié)果；（2）利用，平方后可構(gòu)造方程求得，由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得：，即，，，.（2）為中點(diǎn)，，兩邊平方得：，，解得：，由（1）知：，又，，.9．在中，角所對(duì)的邊分別是，已知，.（1）若，求的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求，求出,再用正弦定理求；或直接用余弦定理求（2）消元代入運(yùn)用三角恒等公式化成【詳解】解：（Ⅰ）解法一：由余弦定理得，所以或.解法二：由正弦定理得，∴或.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，綜上，或.（Ⅱ）因?yàn)?，，所以，所以的取值范圍?10．在中，角的對(duì)邊分別為，.（1）求角的大小；（2）若的外接圓直徑為2，