人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義第21講 棱柱、棱錐、棱臺(tái)（含解析）

第21課棱柱、棱錐、棱臺(tái)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.通過對實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系.3.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．1.通過對實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系.學(xué)會(huì)用連續(xù)變化的觀點(diǎn)，或者函數(shù)的思想找到他們之間的區(qū)別與聯(lián)系.3.在熟悉基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01空間幾何體、多面體、旋轉(zhuǎn)體的定義1．空間幾何體：如果我們只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體．2．多面體、旋轉(zhuǎn)體類別多面體旋轉(zhuǎn)體定義由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體圖形相關(guān)概念面：圍成多面體的各個(gè)多邊形；棱：相鄰兩個(gè)面的公共邊頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)軸：形成旋轉(zhuǎn)體所繞的定直線【即學(xué)即練1】有兩個(gè)面平行的多面體不可能是()A．棱柱B．棱錐C．棱臺(tái)D．以上都錯(cuò)答案B解析由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可得．知識(shí)點(diǎn)02棱柱的結(jié)構(gòu)特征1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱圖形及表示定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱如圖可記作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′相關(guān)概念：底面(底)：兩個(gè)互相平行的面；側(cè)面：其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)分類：按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……2.幾個(gè)特殊的棱柱(1)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如圖①③)；(2)斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如圖②④)；(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱(如圖③)；(4)平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體(如圖④)．反思感悟棱柱結(jié)構(gòu)的辨析方法(1)扣定義：判定一個(gè)幾何體是不是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除．【即學(xué)即練2】下列關(guān)于棱柱的說法：①所有的面都是平行四邊形；②每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；④被平面截成的兩部分可以都是棱柱．其中正確的說法的序號是________．答案③④解析①錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形．②錯(cuò)誤，棱柱的底面可以是三角形．③正確，由棱柱的定義易知．④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱．所以說法正確的序號是③④.知識(shí)點(diǎn)03棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐圖形及表示定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐如圖可記作：棱錐S—ABCD相關(guān)概念：底面(底)：多邊形面；側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)分類：(1)按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……，其中三棱錐又叫四面體；(2)底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐【即學(xué)即練3】(多選)下列說法中，正確的是()A．棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形B．四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面C．棱錐的側(cè)棱平行D．有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐答案AB解析由棱錐的定義，知棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形，故A正確；四面體就是由四個(gè)三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個(gè)面都可以作為三棱錐的底面，故B正確；棱錐的側(cè)棱交于一點(diǎn)，不平行，故C錯(cuò)．棱錐的側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，故D錯(cuò)．知識(shí)點(diǎn)04棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征棱臺(tái)圖形及表示定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)如圖可記作：棱臺(tái)ABCD—A′B′C′D′相關(guān)概念：上底面：平行于棱錐底面的截面；下底面：原棱錐的底面；側(cè)面：其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……【即學(xué)即練4】(多選)下列說法錯(cuò)誤的是()A．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的多面體是棱錐B．有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D．如果一個(gè)棱柱的所有面都是長方形，那么這個(gè)棱柱是長方體答案ABC解析有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，即其余各面的三角形必須有公共的頂點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；棱臺(tái)是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，而有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺(tái)，因?yàn)樗膫?cè)棱長延長后不一定交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)棱錐的各個(gè)側(cè)面的共頂點(diǎn)的角之和是360°時(shí)，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個(gè)棱錐不可能為六棱錐，故C錯(cuò)誤；若每個(gè)側(cè)面都是長方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方體的定義，故D正確．能力拓展能力拓展考法01棱柱的結(jié)構(gòu)特征【典例1】如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1，M，N分別為棱A1B1，C1D1的中點(diǎn)．①這個(gè)長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？②用平面BCNM把這個(gè)長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由．解①是棱柱，并且是四棱柱，因?yàn)橐蚤L方體相對的兩個(gè)面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四條側(cè)棱互相平行，符合棱柱的定義．②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.【變式訓(xùn)練】下列命題中正確的是()A．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形答案D考法02棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【典例2】有下列四種敘述：①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；②兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)．其中正確的有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)答案B解析①中的平面不一定平行于底面，故①錯(cuò)；由棱臺(tái)的定義知，④正確；②③可用反例去檢驗(yàn)，如圖所示，側(cè)棱延長線不能相交于一點(diǎn)，故②③錯(cuò)．反思感悟判斷棱錐、棱臺(tái)的方法(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接排除關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些不正確說法．(2)直接法棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)【變式訓(xùn)練】下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法：①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；②由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說法的序號是________．答案①②解析①正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個(gè)平面圍成的封閉圖形是四面體也就是三棱錐；③錯(cuò)誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．下列命題：①有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】①如圖1，滿足有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形，顯然不是棱柱，故①錯(cuò)誤；②如圖2，滿足兩側(cè)面SKIPIF1<0與底面垂直，但不是直棱柱，②錯(cuò)誤；③如圖3，四邊形SKIPIF1<0為矩形，即過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形可能是矩形，③錯(cuò)誤；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因?yàn)閮傻酌娌灰欢ㄊ钦叫?，④錯(cuò)誤．故選：A2．一個(gè)棱錐所有的棱長都相等，則該棱錐一定不是（

）A．正三棱錐 B．正四棱錐 C．正五棱錐 D．正六棱錐【答案】D【詳解】因?yàn)檎冃蔚闹行牡降酌骓旤c(diǎn)的距離等于邊長，所以正六棱錐的側(cè)棱必大于底面棱長，故選：D.3．如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，則圖中“0”在正方體中所在的面的對面上的是（

）A．2 B．1 C．高 D．考【答案】C【詳解】解：將展開圖還原成正方體可知，“0”在正方體中所在的面的對面上的是“高”，故選:C.4．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的最長棱的長度為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【詳解】由三視圖可知，該四棱錐為正四棱錐，正方形底面的邊長為SKIPIF1<0側(cè)棱長為SKIPIF1<0，即最長棱的長度為SKIPIF1<0故選：C5．如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是（

）A．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱B．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱C．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐D．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)【答案】C【詳解】圖中的幾何體為一個(gè)棱柱截去一個(gè)角，截去的角是一個(gè)棱錐.故選C.6．棱臺(tái)不具備的特點(diǎn)是（

）A．兩底面相似 B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱長都相等 D．側(cè)棱延長后都交于一點(diǎn)【答案】C【詳解】根據(jù)棱臺(tái)的定義知，棱臺(tái)底面相似，側(cè)面都是梯形，側(cè)棱延長后都交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等，故選：C7．下列判斷正確的是（）A．正三棱錐一定是正四面體B．底面是正方形的四棱錐是正四棱錐C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱D．底面是正方形的棱臺(tái)是正四棱臺(tái)【答案】C【詳解】正三棱錐不一定是正四面體，側(cè)棱長與底面邊長可能不相等，故A錯(cuò)誤；底面是正方形的四棱錐不一定是正四棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影不一定是底面的中心，故B錯(cuò)誤；由正四棱住的概念可知，底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，故C正確；底面是正方形的棱臺(tái)不一定是正四棱臺(tái)，原因是棱臺(tái)的側(cè)棱延長后的交點(diǎn)在兩底面的射影不一定為正方形的中心，故D錯(cuò)誤．故選：C8．過棱錐的高的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別作與底面平行的兩個(gè)平行截面，則自上向下的兩個(gè)截面與底面的面積之比是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如圖所示：當(dāng)棱錐為三棱錐時(shí)，易知SKIPIF1<0，相似比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，相似比為SKIPIF1<0，故面積比為SKIPIF1<0，當(dāng)棱錐為SKIPIF1<0棱錐，SKIPIF1<0時(shí)，可以看成是多個(gè)三棱錐的組合體，面積比不改變.綜上所述：兩個(gè)截面與底面的面積之比是SKIPIF1<0.故選：C.9．三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若三角形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，則SKIPIF1<0可能的不同取值有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．至少4種【答案】C【詳解】根據(jù)題意可畫簡圖如下,SKIPIF1<0為等邊三角形，且SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，分類討論如下：SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0此時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,此時(shí)SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0;SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值有3種不同情況.故選：C.二、多選題10．下列說法中正確的是（

）A．長方體是直四棱柱B．兩個(gè)面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D．平行六面體不是棱柱【答案】AC【詳解】長方體是直四棱柱，A正確；兩個(gè)平面平行，其余各面是梯形的多面體，當(dāng)側(cè)棱延長后不交于同一點(diǎn)時(shí)，就不是棱臺(tái)，B錯(cuò)；正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，C正確；平行六面體一定是棱柱，D錯(cuò)．故選：AC．11．一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過球心作一個(gè)截面，則截面的圖形可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)正方體截面過外接球球心，討論截面是否過頂點(diǎn)及所過頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、是否與側(cè)面平行，即可判斷截面圖形的元素.【詳解】當(dāng)過球心的截面不平行于側(cè)面且不過頂點(diǎn)時(shí)，截面圖形為A；當(dāng)過球心的截面平行于一對側(cè)面時(shí)，截面圖形為C；當(dāng)過球心的截面過其中4個(gè)頂點(diǎn)，則截面圖形為圓中含一個(gè)長方形，B正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題12．關(guān)于棱柱，下列說法正確的是______．（選填序號）①所有的棱長都相等；②相鄰兩個(gè)面的交線叫做側(cè)棱；③棱柱中任意兩個(gè)側(cè)面都不可能互相平行；④棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同；⑤在斜棱柱的所有側(cè)面中，矩形最多有2個(gè)．【答案】④⑤【分析】依據(jù)棱柱的定義和分類去判斷即可解決.【詳解】①棱柱的所有的側(cè)棱長都相等，所有的棱長不一定相等.判斷錯(cuò)誤；②相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做側(cè)棱，相鄰兩個(gè)面的交線可能是底面的邊.判斷錯(cuò)誤；③正四棱柱中相對的兩個(gè)側(cè)面互相平行.判斷錯(cuò)誤；④棱柱的兩個(gè)底面全等，則棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同.判斷正確；⑤在斜棱柱的所有側(cè)面中，最多互相平行的兩個(gè)側(cè)面可以是矩形，則矩形最多有2個(gè)．判斷正確；故答案為：④⑤13．下列說法中，正確的個(gè)數(shù)為________．（1）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；（2）有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)；（3）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；（4）棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐．【答案】0【分析】根據(jù)棱錐的概念可判斷（1）；根據(jù)棱臺(tái)的概念可判斷（2）；根據(jù)正三棱錐的概念可判斷（3）；根據(jù)正六棱錐的側(cè)棱長一定大于底面邊長可判斷（4）.【詳解】對于（1），棱錐的定義是：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐，故錯(cuò)誤；對于（2），有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺(tái)，只有當(dāng)四個(gè)等腰梯形的腰延長后交于一點(diǎn)時(shí)，這個(gè)六面體才是棱臺(tái)，如圖1，側(cè)棱延長線可能不交于一點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對于（3），底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，只有當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心時(shí)，才是正三棱錐，不一定是正三棱錐，故錯(cuò)誤；對于（4），因?yàn)檎忮F的底面是正六邊形，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影與底面邊長相等，所以正六棱錐的側(cè)棱長一定大于底面邊長，故錯(cuò)誤.故答案為：0.14．面數(shù)最少的棱柱為________棱柱，共有________個(gè)面圍成．【答案】

三

5【詳解】棱柱有相互平行的兩個(gè)底面，其側(cè)面至少有3個(gè)，故面數(shù)最少的棱柱為三棱柱，共有5個(gè)面圍成．故答案為：三，5四、解答題15．已知一個(gè)直四棱柱的底面邊長為5cm的正方形，側(cè)棱長都是8cm，回答下列問題：(1)這個(gè)直四棱柱一共有幾個(gè)面？幾個(gè)頂點(diǎn)？幾條棱？(2)將這個(gè)直四棱柱的側(cè)面展開成一個(gè)平面圖形，這個(gè)圖形是什么形狀？面積是多少？【答案】(1)6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱(2)是長方形，SKIPIF1<0【分析】(1)由直四棱柱的特征即可得出答案.(2)由直四棱柱的特征可知側(cè)面展開圖為長方形，求出長方形面積即可.【詳解】（1）由直四棱柱的特征可知直四棱柱一共有6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱.（2）將直四棱柱的側(cè)面展開是一個(gè)長方形.長方形的寬為直四棱柱的側(cè)棱長，所以寬為8cm，長為直四棱柱的底邊邊長的四倍，即SKIPIF1<0，所以長為20cm，所以側(cè)面展開圖面積為SKIPIF1<0題組B能力提升練一、單選題1．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面 B．長方體、正方體都是棱柱C．三棱柱的側(cè)面是三角形 D．六棱柱有6條側(cè)棱、6個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形【答案】C【詳解】選項(xiàng)A：一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面.判斷正確；選項(xiàng)B：長方體、正方體都是棱柱.判斷正確；選項(xiàng)C：三棱柱的側(cè)面是平行四邊形.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：六棱柱有6條側(cè)棱、6個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形判斷正確.故選：C2．下面圖形中，為棱錐的是（

）A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②【答案】C【詳解】一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，顯然①②④滿足棱錐定義，③不滿足棱錐定義，所以①②④是棱錐，③不是棱錐.故選：C3．下列命題正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形【答案】C【詳解】有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體，A錯(cuò)；有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體如圖所示，B錯(cuò)；棱柱的側(cè)面不一定是全等的平行四邊形，D錯(cuò)；由棱柱的定義，C正確.故選：C.4．如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征是（

）A．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱柱B．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)圓柱C．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱錐D．一個(gè)棱柱中截去一個(gè)棱臺(tái)【答案】C【詳解】圖中的幾何體為一個(gè)棱柱截去一個(gè)角，截去的角是一個(gè)棱錐.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的組成，難度較易.5．如圖，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法師為保存經(jīng)卷佛像而主持修建的，是我國現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔．塔頂可以看成一個(gè)正四棱錐，其側(cè)棱與底面所成的角為SKIPIF1<0，則該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】塔頂是正四棱錐SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0是正四棱錐的高，設(shè)底面邊長為SKIPIF1<0，底面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：D．6．下列判斷正確的是（）A．正三棱錐一定是正四面體B．底面是正方形的四棱錐是正四棱錐C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱D．底面是正方形的棱臺(tái)是正四棱臺(tái)【答案】C【詳解】正三棱錐不一定是正四面體，側(cè)棱長與底面邊長可能不相等，故A錯(cuò)誤；底面是正方形的四棱錐不一定是正四棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影不一定是底面的中心，故B錯(cuò)誤；由正四棱住的概念可知，底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，故C正確；底面是正方形的棱臺(tái)不一定是正四棱臺(tái)，原因是棱臺(tái)的側(cè)棱延長后的交點(diǎn)在兩底面的射影不一定為正方形的中心，故D錯(cuò)誤．故選：C7．下列說法正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．過空間內(nèi)不同的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．棱錐的所有側(cè)面都是三角形D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)【答案】C【詳解】如下圖，兩個(gè)三棱柱合在一起，仍然滿足有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，但它不是棱柱，A錯(cuò)；當(dāng)空間三點(diǎn)共線時(shí)，過這三點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面，B錯(cuò)；根據(jù)棱錐的定義，C正確；用一個(gè)與底面平行的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才叫棱臺(tái)，不是任意平面都能截出棱臺(tái)的，D錯(cuò)．故選：C．8．已知正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)M是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段SKIPIF1<0上靠近D的三等分點(diǎn)，若正四棱柱SKIPIF1<0被過點(diǎn)SKIPIF1<0，M，N的平面所截，則所得截面的周長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：作出圖形如圖所示．延長SKIPIF1<0至Q，使得SKIPIF1<0，連接MQ，NQ，則截面四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形；記MQ與BC交于點(diǎn)R，NQ與CD交于點(diǎn)P，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所得截面的周長為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B．9．如圖，在正方體SKIPIF1<0中，E是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則過三點(diǎn)A、D1、E的截面過（

）A．AB中點(diǎn) B．BC中點(diǎn)C．CD中點(diǎn) D．BB1中點(diǎn)【答案】B【詳解】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在截面上,故選：B二、多選題10．如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（

）（多選）A．①是棱臺(tái) B．②是圓臺(tái) C．③是棱錐 D．④是棱柱【答案】CD【詳解】題圖①中的幾何體不是由棱錐被一個(gè)平面所截得到的，且上、下底面不是相似的圖形，所以不是棱臺(tái)；題圖②中的幾何體上、下兩個(gè)面不平行，所以②不是圓臺(tái)；圖③中的幾何體是三棱錐；題圖④中的幾何體前、后兩個(gè)面平行，其他面都是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊都互相平行，所以④是棱柱.故選:CD.11．下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)C．四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，側(cè)面是等腰梯形【答案】ABD【詳解】棱柱的側(cè)棱都相等，但側(cè)面不一定是全等的平行四邊形，A錯(cuò)誤；用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺(tái)，B錯(cuò)誤；四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面，C正確；棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，但側(cè)面不一定是等腰梯形，D錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題12．①直四棱柱一定是長方體；②正方體一定是正四棱柱；③底面是正多邊形的棱柱是正棱柱；④有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；⑤平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形；⑥直棱柱的側(cè)棱長與高相等．以上說法中正確的命題有_________．【答案】②④⑤⑥【詳解】①側(cè)棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是長方形的直四棱柱才是長方體.底面如果不是長方形，則該直四棱柱不是長方體，故①錯(cuò)誤；②上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方體是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方體，故②正確；③底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，底面是正多邊形且側(cè)棱與底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③錯(cuò)誤；④有兩個(gè)相鄰的側(cè)面是矩形，說明側(cè)棱與底面兩條相交直線垂直，則側(cè)棱與底面垂直，所以，有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正確；⑤底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，而棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，故⑤正確；⑥直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，因此側(cè)棱長與高相等，故⑥正確.故答案為：②④⑤⑥四、解答題13．已知正六棱柱SKIPIF1<0的底面邊長為SKIPIF1<0，側(cè)棱長為1，則動(dòng)點(diǎn)從A沿側(cè)面移到點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)的最短的路程是多長？【答案】SKIPIF1<0.【詳解】將正六棱柱側(cè)面展開，只需展開一半，即可求得A與SKIPIF1<0之間的距離.如圖所示：則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即動(dòng)點(diǎn)從A沿側(cè)面移到點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)的最短路程為SKIPIF1<0題組C培優(yōu)拔尖練一、單選題1．下列關(guān)于棱臺(tái)的說法中錯(cuò)誤的是（

）A．所有的側(cè)棱所在直線交于一點(diǎn)B．只有兩個(gè)面互相平行C．上下兩個(gè)底面全等D．所有的側(cè)面不存在兩個(gè)面互相平行【答案】C【詳解】由棱臺(tái)的定義可知：A.所有的側(cè)棱所在直線交于一點(diǎn)，正確；B.只有兩個(gè)面互相平行，就是上、下底面平行，正確；C.棱臺(tái)的上下兩個(gè)底面不全等，故C不正確；D.所有的側(cè)面不存在兩個(gè)面互相平行，正確.故選：C.2．側(cè)面都是矩形的棱柱一定是（

）A．長方體 B．三棱柱 C．直平行六面體 D．直棱柱【答案】D【詳解】側(cè)面都是矩形的棱柱，只需側(cè)棱和底面垂直，即側(cè)面都是矩形的棱柱一定是直棱柱.故選：D3．在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，且SKIPIF1<0．若點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】把四棱錐SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0展開，得到如圖所示圖形：SKIPIF1<0的最小時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線時(shí)，所以求SKIPIF1<0的最小值即求SKIPIF1<0的長度，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，結(jié)合余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故選：C.4．如圖是一個(gè)正方體展開圖，把展開圖折疊成正方體后“抗”字一面相對面上的字是（

）A．新 B．冠 C．病 D．毒【答案】C【詳解】將展開圖折疊成正方體可得“擊”字與“冠”字相對，“抗”字與“病”字相對，“新”字與“毒”字相對，故選：C.5．如圖所示是一個(gè)正方體，它的展開圖可能是下面四個(gè)展開圖中的（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由原正方體的特征可知，含有4,6,8的數(shù)字的三個(gè)面一定相交于一點(diǎn)，而選項(xiàng)B，C，D中,經(jīng)過折疊后與含有4,6,8的數(shù)字的三個(gè)面一定相交于一點(diǎn)不符.故選：A6．已知正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)M是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段SKIPIF1<0上靠近D的三等分點(diǎn)，若正四棱柱SKIPIF1<0被過點(diǎn)SKIPIF1<0，M，N的平面所截，則所得截面的周長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：作出圖形如圖所示．延長SKIPIF1<0至Q，使得SKIPIF1<0，連接MQ，NQ，則截面四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形；記MQ與BC交于點(diǎn)R，NQ與CD交于點(diǎn)P，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所得截面的周長為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B．7．直三棱柱SKIPIF1<0的底面是以C為直角的等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，在面對角線SKIPIF1<0上存在一點(diǎn)P使P到SKIPIF1<0和P到A的距離之和最小，則這個(gè)最小值是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)橹比庵鵖KIPIF1<0的底面是以C為直角的等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所在平面沿SKIPIF1<0攤平得四邊形SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0是這個(gè)四邊形的對稱軸，SKIPIF1<0即為所求最小值．故選：D．二、多選題8．下列關(guān)于棱柱的說法中不正確的是（

）A．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它一定不是矩形B．棱柱的一條側(cè)棱的長叫作棱柱的高C．棱柱的兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面D．棱柱的所有面中，至少有兩個(gè)面互相平行【答案】ABC【詳解】A.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，所以可以是矩形，例如直棱柱，故不正確；B.在直棱柱中，側(cè)棱的長叫做棱柱的高，不是直棱柱，側(cè)棱的長不叫做棱柱的高，故錯(cuò)誤；C.棱柱中，也有可能存在兩個(gè)側(cè)面互相平行，故錯(cuò)誤；D.棱柱中，上下底面一定平行，所以至少有兩個(gè)面互相平行，故正確.故選：ABC9．已知正方體SKIPIF1<0中，設(shè)與對角線SKIPIF1<0垂直的平面α截正方體表面所得截面多邊形記為M，則關(guān)于多邊形M的說法正確的是（

）A．M可能為正三角形 B．M可能為正方形C．若M為六邊形，則面積為定值 D．若M為六邊形，則周長為定值【答案】AD【詳解】對于A，M為SKIPIF1<0知M能為正三角形對于B，截面要么與正方體的三個(gè)面相截，要么與正方體的六個(gè)面相截，從而截面為三角形或六邊形知B錯(cuò)誤對于C，D，當(dāng)截面M為六邊形SKIPIF1<0時(shí)，如圖，由于截面SKIPIF1<0與截面SKIPIF1<0都與直線SKIPIF1<0垂直，因此它們平行，它們與正方體的在同一表面上交線必平行，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，設(shè)正方棱長a．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為六邊形時(shí)周長為SKIPIF1<0為定值，但六邊形變形時(shí)面積不為定值，當(dāng)SKIPIF1<0為各棱中點(diǎn)時(shí)面積最大為SKIPIF1<0，當(dāng)截面向平面SKIPIF1<0靠攏時(shí)，SKIPIF1<0是其極限位置，但SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0與最大值不相同，C錯(cuò)，D正確故選：AD．三、填空題10．如圖，位于山西省朔州市應(yīng)縣佛宮寺內(nèi)的釋迦塔，俗稱應(yīng)縣木塔，是我國現(xiàn)存最高最古老的木結(jié)構(gòu)塔式建筑，木塔頂部可以近似地看成一個(gè)正八棱錐，其側(cè)面和底面的夾角大小為SKIPIF1<0，則該正八棱錐的高和底面邊長之比為________.(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0)【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)底面邊長為a，根據(jù)正八棱錐底邊所對的圓心角為SKIPIF1<0，求得圓心到底邊的距離，再由側(cè)面與底面成SKIPIF1<0求解.【詳解】如圖所示:點(diǎn)SKIPIF1<0是正八棱錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是底面的中心，SKIPIF1<0是底面的一條邊，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn),根據(jù)題意知SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)槎娼荢KIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即正八棱錐的高和底面邊長之比為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<011．在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，SKIPIF1<0.過點(diǎn)A作與棱PC垂直的平面α，則四棱錐P﹣ABCD截平面α所得截面的面積為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】作AM⊥PC，垂足為M，作MH⊥PC，交