人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義第25講 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積（原卷版）

第25課圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積的計算公式.2.理解并掌握側(cè)面展開圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積．本節(jié)的主要內(nèi)容是圓柱、圓錐、圓臺、球等旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積教材首先利用圓柱、圓錐、圓臺的展開圖，得出它們的表面積公式，然后根據(jù)以前學(xué)習(xí)過的圓柱、圓錐的體積公式推導(dǎo)出圓臺的體積公式，再結(jié)合棱柱、棱錐、校臺的體積公式將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體的體積公式最后給出了球的表面積公式，并由球的表面積公式推導(dǎo)出了球的體積公式2.本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是圓柱、圓錐、圓臺及球的表面積和體積公式及其應(yīng)用，難點(diǎn)是推導(dǎo)體積和面積公式中空間想象能力的形成，以及與球等有關(guān)的組合體的表面積和體積的計算3.本節(jié)內(nèi)容所涉及的主要核心素養(yǎng)有：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等知識精講知識精講知識點(diǎn)01圓柱、圓錐、圓臺的表面積圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝2πr2側(cè)面積：S側(cè)＝表面積：S＝圓錐底面積：S底＝側(cè)面積：S側(cè)＝表面積：S＝圓臺上底面面積：S上底＝下底面面積：S下底＝側(cè)面積：S側(cè)＝表面積：S＝【即學(xué)即練1】已知圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且圓錐的母線長為2，則圓錐的側(cè)面積是（

）．A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知識點(diǎn)02圓柱、圓錐、圓臺的體積幾何體體積說明圓柱V圓柱＝Sh＝圓柱底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓錐V圓錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圓錐底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓臺圓臺上底面圓的半徑為r′，面積為S′，下底面圓的半徑為r，面積為S，高為h【即學(xué)即練2】甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為SKIPIF1<0，側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知識點(diǎn)03球的表面積和體積公式1．球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑)．2．球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3.反思感悟計算球的表面積與體積，關(guān)鍵是確定球心與半徑．【即學(xué)即練3】生活中有很多球缺狀的建筑．一個球被平面截下的部分叫做球缺，截面做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高．球冠的面積公式為SKIPIF1<0，球缺的體積公式為SKIPIF1<0，其中R為球的半徑，H為球缺的高．現(xiàn)有一個球被一平面所截形成兩個球缺，若兩個球冠的面積之比為SKIPIF1<0，則這兩個球缺的體積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【即學(xué)即練4】已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．圓柱SKIPIF1<0的母線長為1，圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是圓柱的軸截面，若SKIPIF1<0是下底面圓SKIPIF1<0的內(nèi)接正三角形，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)G，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2能力拓展能力拓展考法01圓柱、圓錐、圓臺的表面積【典例1】已知二面角SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0與兩個半平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別相切于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且球心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式訓(xùn)練】已知圓錐的頂點(diǎn)為點(diǎn)SKIPIF1<0，高是底面半徑的SKIPIF1<0倍，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面圓周上的兩點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0是等邊三角形時面積為SKIPIF1<0，則圓錐的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考法02圓柱、圓錐、圓臺的體積【典例2】一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑SKIPIF1<0相等，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0 B．圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等 D．球的體積是圓錐體積的兩倍【變式訓(xùn)練】如果三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長度都是2，則它的外接球的體積是___________.考法03球的表面積與體積【典例3】已知三棱錐SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式訓(xùn)練】如圖，已知圓錐的底面半徑為4，母線長為8，P為母線SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求圓錐的表面積和體積；(2)若SKIPIF1<0為底面直徑，求沿圓錐表面，點(diǎn)P到點(diǎn)B的最短距離．考法04簡單組合體的表面積與體積典例如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2，深為4的圓柱形孔，求打孔后的幾何體的表面積和體積．[變式訓(xùn)練]玉琮是中國古代玉器中重要的禮器，神人紋玉琮王是新石器時代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遺址．玉琮王通高8.8cm，孔徑4.9cm、外徑17.6cm.琮體四面各琢刻一完整的獸面神人圖象，獸面的兩側(cè)各淺浮雕鳥紋，器形呈扁矮的方柱體，內(nèi)圓外方，上下端為圓面的射，中心有一上下垂直相透的圓孔．試估計該神人紋玉琮王的體積約為(單位：cm3)()A．6250 B．3050C．2850 D．2350反思感悟(1)求組合體的表面積與體積的關(guān)鍵是弄清組合體中各簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及組合形式，對于與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問題，要根據(jù)條件分清各個簡單幾何體的底面半徑及母線長，再分別代入公式求解．(2)識別幾何體的結(jié)構(gòu)特征，提升直觀想象素養(yǎng)．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．已知四面體SKIPIF1<0的棱長都等于2，那么它的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個面積為SKIPIF1<0的半圓，則該圓錐的高為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．圓柱SKIPIF1<0的母線長為1，圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是圓柱的軸截面，若SKIPIF1<0是下底面圓SKIPIF1<0的內(nèi)接正三角形，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)G，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．24．已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖的圓心角為SKIPIF1<0，則此圓錐的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．已知某球的表面積為SKIPIF1<0，則下列說法中正確的是（

）A．球的半徑為2 B．球的體積為SKIPIF1<0 C．球的體積為SKIPIF1<0 D．球的半徑為18．如圖，四邊形SKIPIF1<0是圓柱的軸截面，SKIPIF1<0是圓柱的一條母線，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0 B．圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0C．圓柱的表面積為SKIPIF1<0 D．圓柱的表面積為SKIPIF1<0三、填空題9．若一個長方體的長、寬，高分別為4，2，3，則這個長方體外接球的表面積為______________．10．如圖，SKIPIF1<0是邊長為1的正方形，SKIPIF1<0是四分之一圓弧，則圖中陰影部分繞軸SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為________________.11．將一個邊長為2的正三角形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為_____________.12．四面體A﹣BCD中，AB＝CD＝5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為_____．四、解答題13．已知圓錐的底面半徑為1，高為SKIPIF1<0，求圓錐的表面積.14．如圖，△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在三角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，與BC交于點(diǎn)N），將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體(1)求該幾何體中間一個空心球的表面積的大小；(2)求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．15．已知圓錐的表面積為SKIPIF1<0，其側(cè)面展開圖是一個半圓，求該圓錐的體積．16．已知球與正四面體的六條棱都相切，求球與正四面體的體積之比．題組B能力提升練一、單選題1．圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比值為（

）A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶32．已知球的內(nèi)接圓柱（圓柱的底面圓周在球面上）的高恰好是球的半徑，則圓柱側(cè)面積與球的表面積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．一個圓柱內(nèi)接于一個底面半徑為2，高為4的圓錐，則內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，C點(diǎn)變?yōu)镋點(diǎn)，當(dāng)四面體SKIPIF1<0的體積最大時，四面體SKIPIF1<0的外接球的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知三棱錐SKIPIF1<0的四個頂點(diǎn)在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則過點(diǎn)SKIPIF1<0的平面截球SKIPIF1<0所得截面面積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題6．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體.已知SKIPIF1<0，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（

）A．該半正多面體的體積為SKIPIF1<0B．該半正多面體過SKIPIF1<0三點(diǎn)的截面面積為SKIPIF1<0C．該半正多面體外接球的表面積為SKIPIF1<0D．該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)SKIPIF1<0、面數(shù)SKIPIF1<0、棱數(shù)SKIPIF1<0滿足關(guān)系式SKIPIF1<07．已知三棱柱SKIPIF1<0的SKIPIF1<0個頂點(diǎn)全部在球SKIPIF1<0的表面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)面積為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0體積可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題8．表面積為SKIPIF1<0的球的體積是__________SKIPIF1<0．9．已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為____________．10．已知球SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球，球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，正三角形SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值為______．11．中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若鱉臑SKIPIF1<0的外接球的體積為SKIPIF1<0，則陽馬SKIPIF1<0的外接球的表面積等于_____