2021中考數(shù)學-圓的綜合題訓練（有答案）

2020中考數(shù)學——圓的綜合題訓練

班級姓名完成情況

1.如圖，四邊形“88是。，AD=BD>為直徑，DELBC,垂足為￡

(1)求證：8平分

(2)若HC=8,CE=3,求

(1)證明：?四邊形

.,./必/>/88=18?0°,

■：ABCl>ADCE=180°,

/DCE—/BAD,

AD=BD)

/BAD—NACD,

.,,ZDCE=ZACD,

.■.8平分

(2)解：:4C為直徑，

.,.NOC=90°,

■：DELBC,

:./DEC=90°,

ZDEC=NADC,

/DCE=ZACD,

:ADCESRACD、

.CECDBn3CD

CDCACD8

--CD=2A/6.

2.如圖，為。。的直徑，C、尸為OO上兩點，且點C為前的中點，過點。作力尸的

垂線，交工廠的延長線于點￡交的延長線于點2

(1)求證：。萬是的切線t

(2)當8。=2,sinO=1■時，求的長.

5

(1)證明：連接OC如圖，

???點C為弧8廠的中點，

，弧8C=弧。尸.

：.LBAC=/.FAC,

■：OA=OC,

ZOCA=ZOAC.

NOCA=/FAC,

1

OCIIAE,

■：AE1DE,-

:.OCLDE.

石是。。的切線;

⑵?.?sinO=史3

OD5

，設(shè)OC=3x,OD=5x,

貝ij5x=3x+2,

/.x=1,

.0.C?C=3,OD-5,

AD—8,

AE_AE_3

'.'sinZ?=

AD

???心絲.

5

3.如圖，已知，直線/切。。于點力,8為。，。上一點，過點8作8C_L/,垂足為點C,連

接力8、OB.

(1)求證：ZABC=ZABO\

(2)若而，AC=1,求。。的半徑.

(1)證明：連接04

OB=OA,

NOBA=N0/48,

???/4C切。。于“，

OA_LAC,

\'BCLAC,

???OAIIBC,

NOBA=NABC、

AABC=/_ABO\

(2)解：過O作。。18c于。

\'OD]_BC,8clscOALAC,

ZODC=ZDCA=ZOAC=90°,

:.OD=AC=],

在Rt2XXC8中，/45--710，AC=1,由勾股定理得：BC=V(Vio)2-i2=3'

■：OD1.BC,過O,

2

BD=DC=工X3=1.5,

22

在中，由勾股定理得：O8=yJ]2+i.52=零，

即。。的半徑是逗.

2

4.如圖，為。。的直徑，。為。。上一點，經(jīng)過點。的切線交48的延長線于點￡

/ZZLEC交Q的延長線于點D,連接/C.

(1)求證：SC平分/以￡

⑵若cos/。/(金焉BE=2,求。。的半徑.

(1)證明：連接OC

???上是。。的切線，

:.OC]_DE,

■：ADLDE,

OCIIAD,

/_OCA=/_DAC,

?：OA=OC,

/OCA—NOAC,

ADAC=Z.OAC,

，工。平分/。力￡

(2)解：設(shè)。。的半徑為r,

■：OCIIAD,

ZDAE=ZCOE,

9

/.cosZDAE=cos/COE=—,BE=2,

3

,r.2

-'r+2"3'

解得：r=4,

即。。的半徑為4.

3

5.如圖a,為0。直徑，/C為。。的為弦，Q4為。。的切線，Z^C=2Z1.

(1)求證：QC是。。的切線.

(2)當/1=30。，48=4時，其他條件不變，求圖匕中陰影部分的面積.

(1)證明：連結(jié)OC

在圓O中，OA=OC,

...N8OC=2/1=ZAPC,N8OC+N工0c=180°,

：.AAPC+/_AOC=\^°,

??,以為。。的切線，

OAP=90°

又四邊形內(nèi)角和為360°,

，/。6=90°,OC為。。的半徑，

二戶。為。。的切線；

(2)解：以為0。的切線，QC為。。的切線.

PA=PC,

?."1=30°,N"C=2/1,

ZAPC=60°,

.?.△/PC為等邊三角形,

連結(jié)OROC,

四邊形AOCP-2X,X2X2=4,S扇形go。xnx4=n,

?'?S陰影部分的面積二4-TT.

4

6.如圖，線段經(jīng)過。。的圓心，交。。于。兩點，BC=],為OO的弦，連

接BD,￡BAD=±ABD=30°,連接。。并延長交。。于點E,連接8f交。。于點M.

(1)求證：直線6。是。。的切線；

(2)求切線8。的長；

(3)求線段8/W的長.

(1)證明：,.?/8/4。=/48。=30°,

008=2/845=60°,

008=180°-30°-60°=90°,

即BD,

:。。過。，

???直線6。是。。的切線；

(2)解：設(shè)OD=OC=r,

在中，sin30°=毀=工，

OBr+1

解得：r=l,

即OD=1,OB=1+1=2,

由勾股定理得：8。=料2_]2=?；

(3)解：連接。用，

???止是。。的直徑，

：./.DME=90°,

即N。例8=N8OF=90°,

ZDBM=ZDBE,

:ABMDSABDE,

,BMBD

"BD"BE'

.B見一五

FF

解得：

7

一7.如圖，四邊形468為0。的內(nèi)接四邊形,且/C為。。的直徑，AD=CD＞延長6c

到￡使得8三=/8,連接?！?/p>

(1)求證：AD=DE;

(2)若上為。。的切線，旦DE=2M，求前的長度.

5

(1)證明：連接8。，

AD=CD，

Z.ABD=/.DBE,

?：AB=BE,80=8。，

:.△ABD^REBD(SAS),

：.AD=DE;

(2)解：連接OD,

AD=CD，

AD=CD、

?:AD=DE、

??.CD=DE、

..YC為。。的直徑，

/.Z5=Z/IZ9C=90°,

?:AD=CD、。為的中點，

:.^ODE=^ADC=45°,

為。。的切線，

/.ZODE=90,

:./_CDE=45°,

,\/_ADE=90°+45°=135°,

??,CD=DE,

:./_DCE=Z.DEC=030,

/.Z5/4Z?=67.5°,

?:AD=CD,NZOC=90°,

.,.ZZ?/4C=45°,

:./_BAC=72.5°,

AD=CZ9=2j^,

AC=4,

OC=2,

?貢的長度是氣薩受

8.如圖，。。是△48C的外接圓，S8是直徑，ODVAC,垂足為D

點，直線。。與OO相交于￡尸兩點，尸是。。外一點，戶在直線

。。上，連接以，PB,PC,且滿足NQd=NS8C

(1)求證：PA=PC,

(2)求證：必是。。的切線；

(3)若8c=8,總舊，求。E的長.

Dr2

6

(1)證明??.OOl/C,

AD=CD,

，也是4c的垂直平分線，

PA=PC,

(2)證明：由(1)知：PA=PC,

/_PAC=/.PCA.

.?.48是。。的直徑，

:.AACB=90°,

^CAB+^CBA=90°.

又?：乙PCA=(ABC、

:.^PCA+ACAB=9QQ,

ACAB+APAC=9GO,BPABLPA,

..?%是。。的切線；

(3)解：；AD=CD,OA=OB,

ODIIBC,O￡?=■^■8C=X8=4,

,.AB_2

.DF-2'

設(shè)48=3a,DF=2a,

?:AB=EF,

:.DE-3a-2o=a,

.,.。。=4=至-a,

2

<7=8,

:.DE=8.

9.如圖，C是盤上的一定點，。是弦力8上的一定點，尸是弦C8上的一動點，連接。冗

將線段叨繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD1,射線PD'與溫交于點Q.已知

BC=6cm,設(shè)Q,C兩點間的距離為xs,P,。兩點間的距離為hcm,P,Q兩點

間的距離為y2cm.

小石根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)看,為隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探

究，下面是小石的探究過程，請補充完整：

7

(1)按照下表中自變量X的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了必，力與X的幾組對

應(yīng)值：

x!cm0123456

y}/cm4.293.331.651.221.502.24

ydcm0.882.843.574.044.173.200.98

(2)在同一平面直角坐標系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(x,7,),

(X,為)，并畫出函數(shù)片,為的圖象;

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：連接。Q,當△。尸Q為等腰三角形時，尸C的長度約為

1.3或5.7cm.(結(jié)果保留一位小數(shù))

解：(1)觀察圖象發(fā)現(xiàn)規(guī)律可知：

表格數(shù)據(jù)為：2.44;

(2)如圖所示：

即為兩個函數(shù)片,發(fā)的圖象；

(3)觀察圖象可知：

兩個圖象的交點的橫坐標即為△。尸。為等腰三角形4

時，尸C的長度，

兩個交點的橫坐標為L3和5.7.-2

-3

故答案為：1.3或5.7.-W4

8

10.如圖(1),某數(shù)學活動小組經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：在。。中，直徑與弦8相交于點尸，此

忖PA?PB=PC?PD

(1)如圖(2),若與8相交于圓外一點尸，上面的結(jié)論是否成立？請說明理由.

(2)如圖(3),將也繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)至與OO相切于點C,直接寫出外、PB、PC

之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖(3),直接利用(2)的結(jié)論，求當尸C=?,21=1時，陰影部分的面積.

解：(1)成立.理由如下：

如圖(2),連接4。、BC,

則N8=ZD

,:乙P=LP

:ZADs^PCB

,PA_PD

-PC-PB

:.PA*PB=PC?PD\

(2)PC1=PA?PB

理由如下：

如圖(3),連接8C,OC,

???QC與OO相切于點C,

，"CO=90°,

,二"是直徑，

;./ACB=9b

,1.ZPCA=ZOCB

■：OC=OB

,■,ZOCB=zOBC

/PCA=/OBC

?：/P=NQ

:APCAs4PBe

PC\PB=PA\PC

9

：.PC^=PA?PB.

(3)如圖(3),連接OC,

■：P(^=PA?PB,PA=\

PB—3,AO—CO—1

:?PO=2

?.?9C與。。相切于點C,

??.△PC。是直角三角形

:.s\n/_CPO=—=—

PO2

60=30°,ZCOP=60°

.?.△4OC為等邊三角形

—XIX返考

2

60?兀XF71

S扇形QOC二

360T

S陰影=S扇形AOC~S&AOC

二三一返.

64

11.在平面直角坐標系xOy中，已知點工(0,2),點8在x軸上，以48為直徑作。C,

點尸在y軸上，且在點力上方，過點尸作。C的切線尸Q,。為切點，如果點。在第一

象限，則稱。為點尸的離點.例如，圖1中的。為點尸的一個離點.

(1)已知點尸(0,3),々為尸的離點.

①如圖2,若8(0,0),則圓心C的坐標為(0,1),線段尸Q的長為；

②若8(2,0),求線段化？的長；

(2)已知直線/:?y=kx+k+3(幺片0).

①當左=1時，若直線/上存在尸的離點Q,則點Q縱坐標f的最大值為6;

②記直線/：y=kx+k+3(ZxO)在-lvx<l的部分為圖形G,如果圖形G上存在P

10

的離點，直接寫出左的取值范圍.

解：(1)①如圖可知：C(0,1),

在Rt△產(chǎn)GC中，CQ=],PC=2,

-t-PQ-

故答案為(0,1)；V3；

②如圖，過C作CVLLy軸于點M,連接CP,CQ.

■.-A(0,2),B(2,0),

.-.C(l,1).

：.M(0,1).

在^△4。的中，由勾股定理可得C4=&.

-1.CQ=1\[2.

■：P(0,3),M(0,1),

：.PM=2.

在Rt△尸OW中，由勾股定理可得尸。=旄.

22

在Rt△9中，由勾股定理可得PQ=VPC-CQ=V3-

(2)①如圖1:當Z=1時，％戶4,

.?.O(/-2,f),

.?.CQ=、2t2-8t+10,

當/=2時，CG最大，

在RtZ\C7?Q中，CD=aCQ最大則。Q最大，

.?.Q(2,6),故答案為6;

②；-1wxv1,

Q點的在端點(-1,3)和(1,2Z+4)之間運動,

當。在(1,2Z+4),P(0,4)時，

直線9Q的解析式/=(24-1)x+4,

點C(l,1)到直線尸。的距離為加時，可得幺=?；蜃?4,

.,.0<k<4.

12.已知為。。的直徑.

(1)如圖。，點。為余的中點，當弦&?=SC時，求N4

(2)如圖b點。為宸的中點，當48=6,點5為8。的中點時，求OE的長.

(3)如圖G點。為左上任意一點(不與力、C重合)，若點C為的中點，探求8。、

AD.8之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你探求的結(jié)論，不要求證明.

解：(1)如圖1,連結(jié)OC,

點。為眾的中點,

?-AD=D(rBC

O

Z/1=—ZCO5=^XAX180=30°.

223

(2)如圖2,連結(jié)OD,BC,交/IC于點尸，

48為。。的直徑，

.1,ZC=900

點。為眾的中點，半徑。。所在的直線為。。的對稱

軸，

則點力的對應(yīng)點為C,

：.OD^AC,平分/C,即：AF=CF,

在叢DEF和叢BEC中,

rDE=BE

<ZDFE=ZC=90°,

ZDEF=ZBEC

:.XDEPAXBEC{AAS).

/.CE=EF,BC=DF,

12

-：AO=BO,AF=CF,

:.OF=—BC=—DF,又45=6,

22

OD—3

/.OF=1,BC=DF=2.

在RtA/IBC中，AB=6,5C=2,

???"C=VAB2-BC2=VB2-22=4V2，

??.點尸為方C的中點，點f■為fC的中點

圖3

:.EF=M，

在Rtao任中，EF=M、OF=I,

:QE=VOF2+EF2=V2+1=??

(3)BD、AD.C。之間的關(guān)系為：BD-AD=MCD,

如圖3,連接8C,OC,

.?."8為0。的直徑，點C為眾的中點，

:"ACB=90°,AC=BC,

Z.BAC=/.BDC=A5°,

過點C作CF1CD交BD于點F,

.?.△OC廠是等腰直角三角形，

.,.CD=CF,DF=&CD,

■：Z.ACD=Z.BCF=90°-/.ACF,

又...工C=8C,CD=CF

:./XACD^ABCF(SAS)?,

:.AD=BF,

■：BD=BF+DF,

BD=Agyf^CD,

即BD-AD=42CD-

13.如圖，在△46C中，AB^AC,/4=30°,48=10,以46為直徑的。。交8c于

點。，交/C于點￡連接?！赀^點8作8尸平行于?！?/p>

交。。于點尸，連接CROP.

(1)求證：點。為8c的中點；

(2)求?戶的長度;

(3)求證：6是。。的切線.

解：(1)BD=DC.理由如下：

如圖1,連接力。，

13

?.Y8是直徑,

408=90°,

:.ADLBC.

(2)如圖1,連接

..?/。是等腰△Z8C底邊上的中線,

ZBAD=ZCAD,

?1?BD=DE'

BD=DE.

BD=DE=DC,

NDEC-ZDOE,圖1

△/8C中，AB=AC,Z/=30°,

：.ADCE=AABC=^(180°-30°)=75°,

.1.ZDEC=75°,

:./_EDC=180°-75°-75°=30°,

■：BPIIDE,

ZPBC=ZEDC=30°,

ZABP=ZABC-ZPBC=75°-30°=45°,

08=OP,

：./_OBP=￡OPB=45°,

ZBOP=90°.

.?.△/。尸是等腰直角三角形.

■：AO=—AB=5.

2

；AP=MAO=5M；

(3)解法一：設(shè)。尸交SC于點G,如圖1,則N/IOG=/8O尸=90°,

在RtaZOG中，NO/4G=30°,

.0G_1

一前一5

又?巫=史二

ACAB2

.O