微專題02 與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的綜合問(wèn)題通關(guān)專練解析版

微專題02與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的綜合問(wèn)題通關(guān)專練一、單選題1．（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)校考期中）如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，連接ED，下列結(jié)論正確的有（）個(gè)．①△BED是等邊三角形；②AE∥BC；③△ADE的周長(zhǎng)等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BD，AE=CD，∠DBE=60°，于是可判斷△BDE為等邊三角形，則有DE=BD，所以△AED的周長(zhǎng)=BD+AC，且∠C=∠BAE=∠ABC=60°得①②③正確；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ADE=∠ABE，結(jié)合∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°，可得④正確.【詳解】∵在等邊△ABC中，△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，∴BE=BD，AE=CD，∠DBE=60，∠C=∠BAE=60°∴△BDE為等邊三角形，∠ABC=∠BAE=60°∴DE=BD，AE∥BC；∴△AED的周長(zhǎng)=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC=BD+BC故①②③正確∵△ABC，△BDE為等邊三角形，∴∠BED=∠BAC=60°又∵對(duì)頂角相等∴∠ADE=∠ABE∵∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°∴∠ADE＝∠DBC．故④正確故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．2．（2022秋·廣西河池·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，B在y軸正半軸上，D在x軸負(fù)半軸上，將正方形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至AB'C'D'，CD與B'A．-1,33 B．-1,12 C．【答案】A【分析】連接AE，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，證Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE=12∠B′AD=30°，由DE=ADtan∠DAE【詳解】如圖：連接AE∵將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形AB∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADE和Rt△AB′E中，∵AD=A∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），∴∠DAE=∠B′AE=12∠B′AD=30°∴DE=ADtan∠DAE=1×33=∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，33故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形旋轉(zhuǎn)．圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，則B，D兩點(diǎn)間的距離為（

）A．10 B．22 C．3 D．【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，則可求得BE，連接BD，在Rt△BDE中可求得BD的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接BD．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AED，∴∠DEA=∠C=90°，AE=AC=4，DE=BC=3，∴BE=AB-AE=5-4=1，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=DE即B、D兩點(diǎn)間的距離為10，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理．掌握旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·福建福州·九年級(jí)校考期末）如圖，AB＝BC=2，∠ABC＝90°，EC＝EF，∠FEC＝90°，直線BEA．1 B．2 C．2 D．2【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形斜邊與一直角邊的比是2，先證明△ACF∽△BCE，得∠EBC＝∠CAF，根據(jù)8字形和三角形的內(nèi)角和定理得出△BGH【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AF于G，如圖，∵AB＝∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∵△CEF是等腰直角三角形，∴FCEC=2∴ACBC=FC∴△ACF∽△BCE，∴∠EBC＝∴∠AHB＝∴△BGH是等腰直角三角形，∴BH=2∵BG⊥AF，∴AB≥BG，∵AB=2∴BG≤2∴2BG≤2，即BH≤2∴線段BH的最大值是2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)變換等，解題的關(guān)鍵有兩個(gè)：①找出BH為最大值的位置，②證明兩個(gè)三角形相似．5．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）直線y=-33x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，把△AOB繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△AO'B'，則點(diǎn)A．(4,?2) B．(4,?-2) C．(43,?2) D【答案】D【分析】先根據(jù)直線的函數(shù)解析式求得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，則可得到OA=23，OB=2，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AO′=AO=23，O′B′=OB=2，∠AO′B′=∠AOB=90°，然后根據(jù)第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出點(diǎn)B'的坐標(biāo)即可.【詳解】解：當(dāng)y=0時(shí)，-33解得：x=23，即A（23，0），∴OA=23，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，則B（0,2），∴OB=2，∵△AOB繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△AO'B'∴AO′=AO=23，O′B′=OB=2，∠A′OB′=∠AOB=90°，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(43故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵在于先根據(jù)題意求得A、B坐標(biāo)，然后畫(huà)出圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答.6．（2022秋·四川德陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF．則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DF的最小值是（

）A．6 B．3 C．2 D．1.5【答案】D【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∴∠DCF=∠GCE，∵AD是等邊△ABC的對(duì)稱軸，∴CD=12BC∴CD=CG，又∵CE旋轉(zhuǎn)到CF，∴CE=CF，在△DCF和△GCE中，CE=CF∠DCF=∠GCE∴△DCF≌△GCE(SAS)，∴DF=EG，根據(jù)垂線段最短，EG⊥AD時(shí)，EG最短，即DF最短，此時(shí)∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=1∴EG=12AG=12∴DF=1.5.故答案為：D7．（2023·山東青島·中考真題）如圖，若將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°則頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，圖形如下圖所以B1的坐標(biāo)為故選B考點(diǎn)：1、同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算法則；2、積的乘方運(yùn)算法則；3、冪的乘方運(yùn)算8．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）A．332 B．233 C．【答案】D【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，∴當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=23，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=43．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=13CE=4故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·山東德州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥AB于點(diǎn)E，將△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接AE、DF，則在圖2中，有以下說(shuō)法：①FD=2AE；②∠AEB=135°；③S△AEB:S△DFB=1：A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【分析】先證△ABE∽△DBF，求得其相似比，再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)逐一判斷之．【詳解】如圖2由圖1和已知條件知△EFB為等腰直角三角形∴BEBF由正方形性質(zhì)易得△ABD為等腰直角三角形∴ABDB=∴BE由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠∴∠∴△ABE∽△DBF且相似比為1∴AEFD=得到①FD=2AE、③S△AEB:S△DFB由△ABE∽△DBF和∠EFB=45°知只有當(dāng)E、F、D三點(diǎn)共線時(shí)，∠AEB=∠DFB=135°其它情況下∠AEB不能為135°，故②錯(cuò)誤；要使AE∥BF，需使∠AEF=∠EFB=45°，又由于∠FEB=90°，所以需使∠AEB=135°，由于②錯(cuò)誤，得④錯(cuò)誤．綜上所述知只有①③正確．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，還有旋轉(zhuǎn)變換的知識(shí)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)M在CD的邊上，且DM=1，ΔAEM與ΔADM關(guān)于AM所在的直線對(duì)稱，將ΔADM按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到ΔABF，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)為（

）A．3 B．23 C．13 D．【答案】C【分析】連接BM.證明△AFE≌△AMB得FE=MB，再運(yùn)用勾股定理求出BM的長(zhǎng)即可.【詳解】連接BM，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AM=AF.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM與ΔADM關(guān)于AM所在的直線對(duì)稱，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=BC∴FE=13.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．二、填空題11．（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將矩形ABCD點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后，BC的對(duì)應(yīng)邊B1C1交CD邊于點(diǎn)G，AB1=B1G時(shí)，AD=31【答案】47【分析】連接AC，AG，AC1，由旋轉(zhuǎn)可得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，證明ΔABB1～ΔACC1，得出CC1BB1=ACAB，證明ΔAB1G是等腰直角三角形，得出AG=2AB1，設(shè)AB=AB1=x，則AG=2【詳解】解：連接AC，AG，AC1，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)可得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，∴ABAC∴ΔABB1∴CC1BB1∵AB1=B1G，∴ΔAB1G是等腰直角三角形，∴AG=2設(shè)AB=AB1=x，則AG=∵在RtΔADG中，∴312解得：x=4，或x=-10（舍去），∴AB=4，∴在RtΔABC中，∴CC1BB1故答案為：474【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，掌握翻折變換的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·天津南開(kāi)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，O是邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC三邊中垂線的交點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°，得到△A1B1C1，則圖中陰影部分的面積為．【答案】63【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，觀察圖形易得，圖中空白部分的小三角形也是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，且面積是△ABC的19．重疊部分的面積是△ABC【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，圖中空白部分的小三角形也是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為13×6＝2，且面積是△ABC的1觀察圖形可得，重疊部分的面積是△ABC與三個(gè)小等邊三角形的面積之差，∴△ABC的高是32×6=33∴△ABC的面積是12×6×33＝93，一個(gè)小等邊三角形的面積是12×2×3＝所以重疊部分的面積是93﹣3×3＝63．故答案為63．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．13．（2023春·遼寧錦州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將線段BO逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，連接AO′．則下列結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到；②連接OO′，則OO′=4；③∠AOB=150°；④S四邊形AOBO′=6+43．其中正確的結(jié)論是．【答案】①②③④【詳解】試題解析：如圖，連接OO′；∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，AB=CB；由題意得：∠OBO′=60°，OB=O′B，∴△OBO′為等邊三角形，∠ABO′=∠CBO，∴OO′=OB=4；∠BOO′=60°，∴選項(xiàng)②正確；在△ABO′與△CBO中，{AB=AC∴△ABO′≌△CBO（SAS），∴AO′=OC=5，△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到，∴選項(xiàng)①正確；在△AOO′中，∵32+42=52，∴△AOO′為直角三角形，∴∠AOO′=90°，∠AOB=90°+60°=150°，∴選項(xiàng)③正確；∵S四邊形AOBO′=12∴選項(xiàng)④正確．綜上所述，正確選項(xiàng)為①②③④．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．14．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，AC=4，BC=33，將Rt△ABC以點(diǎn)A為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，則線段BE的長(zhǎng)度為．【答案】7【分析】連接CE，作EF⊥BC于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到∠CAE=60°，AC=AE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE=AC=4，∠ACE=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接CE，作EF⊥BC于F，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠CAE=60°，AC=AE，∴△ACE是等邊三角形，∴CE=AC=4，∠ACE=60°，∴∠ECF=30°，∴EF=12CE=2由勾股定理得，CF=CE2+EF∴BF=BC-CF=3，由勾股定理得，BE=EF2+BF故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)變換對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·八年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，DF=1．將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，連接EF，則EF=．【答案】25【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠EAF=90°，AF=AE，然后根據(jù)勾股定理求出AF即可求出EF.【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠EAF=90°，AF=AE∵DF=1，AD=3∴AF=A∴EF=AE故答案為：25【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出∠EAF=90°，AF=AE是解題的關(guān)鍵.16．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，線段BP以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．

【答案】2【分析】連接BM，將BM以B中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，由P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，可得：Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，再根據(jù)“圓外一定點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)的距離，在圓心、定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線時(shí)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離最短”，所以當(dāng)M、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，MQ的值最小，可求ME=2【詳解】解，如圖，連接BM，將BM以B中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，

∵P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，∴Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，如圖，當(dāng)M、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，MQ的值最小，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC=4，∠C=90°，∵M(jìn)是CM的中點(diǎn)，∴CM=2，∴BM==2由旋轉(zhuǎn)得：BM=BE，∴ME=2∴MQ=ME-EQ=210∴MQ的值最小為210故答案：210【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最小值問(wèn)題，掌握相關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)題意找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°AB<AD，△ADE繞點(diǎn)A（1）如圖1，若連接BD、CE，求證：BD=CE,BD⊥CE；（2）如圖2，若連接CD、BE，取BE中點(diǎn)F，連接AF，試探究AF與CD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，點(diǎn)D落在BC延長(zhǎng)線上，若AF=1.5,AC=22，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）CD=2AF,CD⊥AF，證明見(jiàn)解析；（3）29【分析】（1）由“SAS”可證△BAD?△CAE，可得BD=EC,∠ABD=∠ACE，即可得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)EA至H，使AH=AE，連接BH，延長(zhǎng)FA交CD于G，由三角形中位線定理可得BH=2AF，BH∕∕AF，由“SAS”可證△ABH?△ACD，可得BH=CD=2AF,∠ADC=∠H，即可得結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于N，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求AN=CN=2，由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，設(shè)EC與BD交于點(diǎn)O，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AD=AE∠BAD=∠CAE∴△BAD?△CAESAS∴BD=EC,∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BOC=90°，∴BD⊥CE；（2）CD=2AF,CD⊥AF，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)EA至H，連接BH，∵BF=EF,AE=AH，∴BH=2AF,BH∕∕AF，∴∠EAF=∠H，∵∠DAH=∠BAC=90°，∴∠BAH=∠DAC，又∵AB=AC,DA=AE=AH，∴△ABH?△ACDSAS∴BH=CD,∠ADC=∠H，∴∠EAF=∠ADC,CD=2AF，∵∠EAF+∠DAG=90°，∴∠ADC+∠DAG=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥CD；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于N，由（2）可知：CD=2AF=3，∵AB=AC=52∴BC=4,AN=BN=CN=2，∴DN=5，∴AD=A【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．18．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0)，點(diǎn)B是直線y=-x+4上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為a．(1)如圖1，當(dāng)a=2時(shí)，以AB為直角邊在AB下方作等腰直角三角形ABC，使∠BAC=90°，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)如圖2，把線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，當(dāng)點(diǎn)B在直線y=-x+4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，連接OD，求△AOD的面積（用含a(3)在圖3中以AB為直角邊作等腰直角三角形ABE，當(dāng)點(diǎn)E落在直線y=-x-5上時(shí)，求a的值．【答案】(1)C(2)S=(3)a的值為-72或-12或?3或【分析】（1）如圖1，過(guò)A作一條平行與y軸的直線DE，作BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，證明△ABD≌△CAEAAS，有AE=BD，EC=AD，進(jìn)而可表示C（2）如圖2，過(guò)A作一條平行與y軸的直線EF，作BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，連接OD，可證△ABE≌△DAFAAS，進(jìn)而可得D（3）①當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，AB=AE，如圖①，根據(jù)三角形全等可得E1，E2點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入y=-x-5中，計(jì)算求解即可；當(dāng)∠ABE=90°時(shí)，AB=BE，如圖②，當(dāng)∠AEB=90°時(shí)，AE=BE，如圖③，求解方法同（1）解：∵a=2∴B如圖1，過(guò)A作一條平行與y軸的直線DE，作BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，∴D∴BD=3，AD=2∵∠DBA+∠BAD=90°,∠BAD+∠EAC=90°,∴∠DBA=∠EAC在△ABD和△CAE中∵∠DBA=∠EAC∴△ABD≌△CAE∴AE=BD=3，EC=AD=2∴C1,-3（2）解：如圖2，過(guò)A作一條平行與y軸的直線EF，作BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，連接OD，∴Ba,-a+4，∴BE=a+1，AE=-a+4同（1）可知△ABE≌△DAF∴AF=BE=a+1，F(xiàn)D=AE=-a+4∴D∴S當(dāng)a<-1時(shí)，S△AOD當(dāng)a≥-1時(shí)，S△AOD∴S△AOD（3）解：①當(dāng)∠BAE=90°時(shí)，AB=AE，如圖①，由（2）可知E1-a+3,-a-1將點(diǎn)E1、E2分別代入y=-x-5得-解得a=72和②當(dāng)∠ABE=90°時(shí)，AB=BE，如圖②，由（2）可知E1-1,-2a+3將點(diǎn)E1、E2分別代入y=-x-5得-解得a=72和③當(dāng)∠AEB=90°時(shí)，AE=BE，如圖③，由（2）可知E13將點(diǎn)E1、E2分別代入y=-x-5得-解得a=8和a=9綜上所述，a的值為72或-12或-3或8【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于分情況求解．19．（2022秋·湖南岳陽(yáng)·九年級(jí)岳陽(yáng)市弘毅新華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．①求證：BD⊥CF；②當(dāng)AB=4，AD=2時(shí)，求線段BG的長(zhǎng)．【答案】解：（1）BD=CF成立．理由見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②8【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得BD=CF；（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對(duì)頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF；②首先過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長(zhǎng)，繼而求得AN，CN的長(zhǎng)，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM=13AB=43，然后利用△BMA∽△CMG【詳解】解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB=AC∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M．∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=2，∴AE=∵在等腰直角△ABC中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，BC=∴在Rt△ABM中，tan∴在Rt△ABM中，tan∴AM=∴CM=AC-AM=4-∵△BMA∽△CMG，∴∴∴CG=∴在Rt△BGC中，BG=【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．20．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，正方形BDEF的邊長(zhǎng)為2，將正方形BDEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接AE、BE、CD．（1）請(qǐng)判斷線段AE和CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求CD的長(zhǎng)；（3）設(shè)AE的中點(diǎn)為M，連接FM，試求線段FM長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）AE=2CD，理由見(jiàn)解析；（2）14-2或14+2【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證△ABE∽△CBD，再由相似三角形的判性質(zhì)即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB=2BC=42，根據(jù)勾股定理得到AF=AB2-BF2=27，接下來(lái)分兩種情形：如圖1，當(dāng)AE在AB左上方時(shí)，如圖2，當(dāng)（3）如圖3，延長(zhǎng)EF到G使FG=EF，連接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG=2BF=22，設(shè)M為AE的中點(diǎn)，連接MF，根據(jù)三角形中位線的定理得到AG=2FM，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）結(jié)論：AE=2CD．理由：∵在Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠EBD=45°，∴∠ABE=∠CBD，∵四邊形BDEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，∴ABBC=2，BEBD=∴ABBC∴△ABE∽△CBD，∴AECD∴AE=2CD．（2∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB=2BC=42，∵當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)，∵∠AFB=90°，∴AF=AB=27，如圖1，當(dāng)AE在AB左上方時(shí)，AE=AF﹣EF=27﹣2，∵AE=2CD，∴CD=22AE=14﹣如圖2，當(dāng)AE在AB右下方時(shí)，同理，AE=AF+EF=27+2，∴CD=22AE=14+2綜上所述，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)，CD的長(zhǎng)為14﹣2或14+2．（3）如圖3，延長(zhǎng)EF到G使FG=EF，連接AG，BG，則△BFG是等腰直角三角形，∴BG=2BF=22，設(shè)M為AE的中點(diǎn)，連接MF，∴MF是△AGE的中位線，∴AG=2FM，在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，∴22≤AG≤62，∴2≤FM≤32，∴FM的最小值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）“數(shù)學(xué)建?！笔侵袑W(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中能歸納一些幾何模型，解決幾何問(wèn)題就能起到事半功倍的作用．（1）如圖1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，且DE=BF，求證：EG=AG；（2）如圖2，正方形ABCD中，∠EAF=45°，延長(zhǎng)EF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3在（2）的條件下，作GQ⊥AE，垂足為點(diǎn)Q，交AF于點(diǎn)N，連結(jié)DN，求證：∠NDC=45°．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論依然成立，理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)半角旋轉(zhuǎn)模型，把△ABF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則AB與AD重合，設(shè)F對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，即可證明△AME?△AFE，得到∠AEM=∠AEF，再結(jié)合∠AEM=∠EAG，可得∠AEM=∠AEF，可得EG=AG；（2）結(jié)論依然成立，證明方法與（1）一樣；（3）又等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得GQ垂直平分EA，可得△ANE是等腰直角三角形，可得A、D、E、N四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角∠NDC=∠EAN=45°【詳解】（1）把△ABF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則AB與AD重合，設(shè)F對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，∴△AMD?△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三點(diǎn)共線∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME?△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（2）結(jié)論依然成立，EG=AG把△ABF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則AB與AD重合，設(shè)F對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，∴△AMD?△AFB∴∠MDA=∠FBA=90°,AM=AF,∠MAD=∠FAB∴M、D、C三點(diǎn)共線∵∠EAF=45°∴∠EAD+∠FAB=∠EAD+∠MAD=∠MAE=45°∴△AME?△AFE(SAS)∴∠AEM=∠AEG∵AB∥CD∴∠AEM=∠EAG∴∠AEG=∠EAG∴EG=AG（3）連接EN由（2）得EG=AG∵GQ⊥AE∴GQ垂直平分AE∴EN=AN∵∠EAF=45°∴∠ANE=90°=∠ADE∴A、D、E、N四點(diǎn)在以AE為直徑的同一個(gè)圓上，∴∠NDC=∠EAN=45°．【點(diǎn)睛】本題考查半角旋轉(zhuǎn)模型，熟練根據(jù)模型做出輔助線是解題的關(guān)鍵．第（3）問(wèn)根據(jù)四點(diǎn)共圓證明是本題的難點(diǎn)．22．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別為邊AB、BC上的一動(dòng)點(diǎn)（且滿足∠CED<90°），連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF、BF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：①CE=BF；②∠CBF=90°；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合時(shí)，結(jié)論∠CBF=90°是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由：(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BF，垂足為M．試探究線段BE、BF、MF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見(jiàn)見(jiàn)詳解(2)成立；理由見(jiàn)詳解(3)BF=2MF+BE；理由見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△FAB≌△EAC即可；（2）過(guò)D作DH∥AC，可得出△BHD為等腰直角三角形，再根據(jù)第一問(wèn)的方法證全等即可；（3）過(guò)D作DN⊥BC，可得四邊形DNBM是正方形，再證Rt△FDM≌【詳解】（1）∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠C=45°∵將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF∴AF=AE,∠FAE=∠BAC=90°∴∠FAB=∠EAC∵AB=AC∴△FAB≌△EAC∴CE=BF，∠FBA=∠C=∠ABC=45°∴∠CBF=90°（2）過(guò)D作DH∥AC∵DH∥AC∴∠BDH=∠BAC=90°,∠EHD=∠C=45°∴△BHD為等腰直角三角形同理可得：△FDB≌△EDH∴∠FBA=∠EHD=∠HBA=45°∴∠CBF=90°（3）BF=2MF+BE；理由如下：過(guò)D作DN⊥BC，∵DN⊥BC，DM⊥BF，∴∠DNB=∠DMB=∠CBF=90°∴四邊形DNBM是矩形∵∠FBA=∠CBA=45°∴四邊形DNBM是正方形∴DN=DM=BM=BN又∵DF=DE∴Rt∴MF=EN∵BM=BN∴BF=2MF+BE【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．23．（2022秋·福建福州·九年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€方程為y=ax2a>0（1）我們稱F0,14a為拋物線y=ax2a>0的焦點(diǎn)，直線l:y=-1求證：PF=PH；（2）已知拋物線y=ax2過(guò)點(diǎn)①求拋物線的解析式，并求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F；②將M-4,4繞焦點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)N，求△PNF③直線l：y=kx+m與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB．求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①y=14x2，點(diǎn)F(0,1)；【分析】（1）PF2=（2）①將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：4=a(-4)2，解得②求出N(3,5)，當(dāng)N、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)ΔPNF周長(zhǎng)最小值=FN+PF+NP=NH+FN，即可求解；③聯(lián)立y=kx+m與y=14x2并整理得：x2-4kx-4m=0，則xAxB【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)P(m,am則PF2=而PF=am（2）①將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：4=a(-4)2，解得故拋物線的表達(dá)式為y=14x②如圖2，將圖形MFN向下平移1個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)M(-4,3)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)N(3,4)，再將該圖形向上平移1個(gè)單位，則此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,5)，即為題干要求點(diǎn)N的位置，即點(diǎn)N(3,5)，由（1）知，PF=PH，而FN為常數(shù)，故當(dāng)N、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，PF+NP=NH為最小，此時(shí)ΔPNF周長(zhǎng)最小值=FN+PF+NP=NH+FN=(5+1)+3③如圖3，聯(lián)立y=kx+m與y=14x2并整理得：過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為M、N，∵∠AOM+∠BON=90°，∠BON+∠OBN=90°，∴∠AOM=∠OBN，∴tan∠AOM=tan則yA-x整理得：xAxB故直線l的表達(dá)式為y=kx+4，當(dāng)x=0時(shí)，y=kx+4=4，故直線l過(guò)定點(diǎn)(0,4)．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、圖形的平移和旋轉(zhuǎn)、新定義等，有一定的綜合性，難度較大．24．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）在△ABC中，AB＝AC，M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段AM繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與∠BAC相等的角度，得到線段AN，連結(jié)NB．【感知】如圖①，若M是線段BC上的任意一點(diǎn)，易證△ABN≌△ACM，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．【探究】（1）如圖②，點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若點(diǎn)M是∠CBE內(nèi)部射線BD上任意一點(diǎn)，連結(jié)M