2023-2024學年湖北省荊州市高三上冊10月月考數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年湖北省荊州市高三上冊10月月考數(shù)學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的）1．已知集合.若，則（

）A． B．C． D．2．已知是第三象限角，那么是（

）A．第二象限角 B．第三象限角C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角3．設，若復數(shù)的虛部為(其中為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．C． D．4．下列不等式中成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．已知圓，直線過點，且交圓于兩點，使弦長為整數(shù)的直線的條數(shù)為（

）A．18 B．20 C．22 D．246．已知等比數(shù)列的首項，前項和為，且成等差數(shù)列，則（

）A． B．C． D．7．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（

）A． B．C． D．8．三棱錐的四個頂點都在表面積為的球O上，點A在平面的射影是線段的中點，，則平面被球O截得的截面面積為（

）A． B．C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．已知空間中異面直線所成的角為，若過空間中某點A的直線與所成的角都為，則（）A．滿足直線有且只有1條 B．滿足的直線有且只有1條C．滿足的直線有且只有1條 D．10．在中，下列說法正確的有（

）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定是等腰三角形D．若為鈍角三角形，且，，，則的面積為11．已知實數(shù)，，滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．12．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，若為奇函數(shù)，的圖象關于軸對稱，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知點，，為坐標原點，在方向上的投影向量為，則.14．若函數(shù)為偶函數(shù)，則.15．一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等7名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有種16．已知，過軸上一點分別作兩圓的切線，切點分別是，當取到最小值時，點坐標為.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．甲、乙二人進行一場比賽，該比賽采用三局兩勝制，即先獲得兩局勝利者獲得該場比賽勝利.在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲獲勝的概率都為.（1）求甲在第一局失利的情況下，反敗為勝的概率；（2）若，比賽結(jié)束時，設甲獲勝局數(shù)為，求其分布列和期望；（3）若甲獲得該場比賽勝利的概率大于甲每局獲勝的概率，求的取值范圍.18．如圖，在正三棱柱中，點在棱上，且.

(1)求證：平面；(2)若正三棱柱的底面邊長為，二面角的大小為，求直線到平面的距離.19．在中，角所對的邊分別為，若且.(1)求的值；(2)若平分，且交于點，求的面積.20．已知為曲線上兩點，的中點在直線上.(1)求直線的斜率；(2)過點分別作曲線的切線，交于點，連接，交曲線于點，求點的坐標.21．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，是否存在，使得?若存在，給出符合條件的一組的值；若不存在，請說明理由.22．設函數(shù).(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若在上恒成立，求的取值范圍.1．A【分析】根據(jù)子集、交集、并集、補集等知識確定正確答案.【詳解】由于，所以，所以，A選項正確，B選項錯誤.與不一定成立，所以CD選項錯誤.故選：A2．D【分析】先寫出的范圍，再計算出的范圍，分是奇數(shù)和偶數(shù)討論即可求解.【詳解】因為是第三象限角，所以，則，當時，，此時是第二象限角，當時，，即，此時是第四象限角，綜上所述：是第三象限角，是第二或第四象限角，故選：D.3．A【分析】應用復數(shù)乘方、除法運算化簡復數(shù)，結(jié)合已知虛部即可得答案.【詳解】由，故虛部.故選：A4．B【分析】A，如時，，所以該選項錯誤；BCD，利用作差法比較大小分析得解.【詳解】A.若，則錯誤，如時，，所以該選項錯誤；

B.若，則，所以該選項正確；C.若，則，所以該選項錯誤；D.若，則，所以該選項錯誤.故選：B5．B【分析】根據(jù)已知條件做出圖形，利用弦長、弦心距、半徑之間的關系及勾股定理，結(jié)合兩點間的距離公式及圓的對稱性即可求解.【詳解】過點作，垂足為，連接，如圖所示，設，圓半徑為，則有,所以當即兩點重合時，取得最小值為，因為圓直徑為，所以，當或時，分別代表圓內(nèi)過點的最短弦和最長弦，這兩條弦分別只有條，其余長度為、、7、8、9、10、11、12、13的弦由于圓的對稱性分別有兩條，故該圓內(nèi)過點且長度為整數(shù)的弦共有條.故答案為.6．B【分析】求得等比數(shù)列的公比，然后根據(jù)等比數(shù)列前項和公式求得正確答案.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由于成等差數(shù)列，所以，由于，所以，所以，所以，，所以.故選：B7．A【分析】根據(jù)雙曲線以及橢圓的定義可得，，進而在焦點三角形中運用余弦定理即可得，再結(jié)合均值不等式即可求解.【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義，得，，所以，，設，，則在△中由余弦定理，得，化簡得：，即，又，，，則，當且僅當，即時，等號成立，所以橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為．故選：A.關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用橢圓與雙曲線的定義得到，，從而利用余弦定理構(gòu)造得關于的齊次方程，由此得解.8．C【分析】分別找出和的外接圓圓心和，通過過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐外接球球心，再通過幾何關系求出外接圓半徑，即可求其被球截得的圓的面積．【詳解】設中點為，點在平面的射影是線段的中點，平面，，，又，是等邊三角形．取中點為，連接交于，則是外心．連接，在上取，使得，則為外心．過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐外接球球心，則四邊形是矩形，．連接，，設外接圓半徑，設球半徑為．球的表面積為，．在中，，平面被球截得的截面面積．故選：C9．ACD【分析】根據(jù)異面直線所成角的概念，以及兩直線的夾角的概念，平移兩異面直線，即可求解.【詳解】把異面直線平移到相交直線，設其交點為，此時，過點作直線平分，這時與所成的角為，所以滿足的直線只有一條，故A正確.把異面直線平移到直線，設其交點為，則所成的角角為，其補角為，當經(jīng)過點且為的角平分線時，與均成角，設角的平分線為，把繞旋轉(zhuǎn)，且再旋轉(zhuǎn)過程中保持與所成角等于，則逐漸增大，上下旋轉(zhuǎn)各能得到一個位置，使與均成角，所以這的直線有3條，所以B錯誤.把異面直線平移到相交直線，設其交點為，此時，作直線垂直相交直線所在的平面，所以滿足的直線只有一條，所以C正確.把異面直線平移到相交到直線，設其交點為，此時，過點作直線平分，這時與所成的角為最小角，且為，作直線垂直相交直線所在的平面，這時與所成的角取得最大角，且為，綜上，所以D正確.故選：ACD.10．AB【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理逐個判斷即可.【詳解】對于A：因為，所以，所以，A正確；對于B：因為是銳角三角形，所以，即，因為且，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，B正確；對于C：，即，即，所以，而A,B為三角形內(nèi)角，所以或者，所以是等腰三角形或者直角三角形，C錯誤；對于D：易求出，而，所以，化簡可得，解得或者，當時此時是最大角且，所以滿足鈍角三角形，此時，當時此時為最大角且，所以滿足鈍角三角形，此時，所以D錯誤，故選：AB11．BD【分析】根據(jù)指對數(shù)互化可得，，，故可據(jù)對數(shù)的單調(diào)性直接判斷選項A；用換底公式計算，A選項結(jié)論即可判斷選項B；用換底公式計算，由對數(shù)單調(diào)性可判斷選項C；用基本不等式式得到，對應用基本不等式可判斷選項D.【詳解】由得，由得，由得，，故A錯誤；，因為，所以，所以，即，故B正確；，故C錯誤；，因為，故，所以，故D正確.故選：BD.12．ABD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性以及對稱性等性質(zhì)，再結(jié)合函數(shù)求導的運算即可判斷各個選項.【詳解】為奇函數(shù),,令得,,即,故A正確;的圖象關于軸對稱,為偶函數(shù),,令時,,故B正確,由，可得,兩邊同時求導可得,令得,,故C錯誤；令得,,即,故D正確，故選:ABD.關鍵點睛：學會利用題干已知條件結(jié)合奇偶性和對稱性，對抽象函數(shù)進行推導及其運算是解題關鍵；本題考查了抽象函數(shù)的應用，考查奇偶性和對稱性的綜合運用以及利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于綜合題，較難題.13．【分析】根據(jù)投影向量公式得：在方向上的投影向量為，代入公式求解即可.【詳解】因為，，所以,，所以在方向上的投影向量為：,所以.故14．【分析】由題意可知為偶函數(shù)，所以，根據(jù)，有.【詳解】，，為偶函數(shù)，，，.故答案為.15．60【分析】按“問題元素”優(yōu)先的原則，進行分類，然后計算求解即可.【詳解】此題的難度主要是來自分類，按“問題元素”優(yōu)先的原則，對甲進行分類：甲照看第一道工序（甲1丙4）、甲照看第四道工序（甲4乙1）、甲“不照看第一和第四道工序”（乙1丙4）三種..故6016．【分析】設，由，得到，取，利用三點共線時求解.【詳解】解：如圖所示：設，則，，，取，則，當且僅當三點共線時，取等號，此時，直線AB的方程為，令，得，所以，故.17．（1）；（2）詳見解析；（3）.【分析】（1）設甲在第一局失利，甲獲得了比賽的勝利，利用條件概率的概率公式可求得所求事件的概率；（2）根據(jù)題意可知隨機變量的可能取值為、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，列出分布列，進而可計算出隨機變量的數(shù)學期望；（3）計算出甲獲得該場比賽的概率，根據(jù)題意得出關于的不等式，即可解得的取值范圍.【詳解】（1）設甲在第一局失利，甲獲得了比賽的勝利，則；（2）由題意可知，隨機變量的可能取值為、、，則，，.隨機變量的分布列如下：則；（3）甲獲得該場比賽勝利的概率為，則.即，解得，所以的取值范圍是.本題考查條件概率的計算，同時也考查了隨機變量分布列與數(shù)學期望的計算，考查計算能力，屬于中等題.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正三棱柱和得，即可得D是AB的中點，從而由中位線得，證明結(jié)論.（2）由二面角的大小為，解得平面的一個法向量，根據(jù)第一問的平行和點到平面的距離公式得出答案.【詳解】（1）在正三棱柱中，是側(cè)棱，所以平面ABC，又平面ABC，所以.又，，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，所以D是AB的中點.如圖，連接，交于點M，連接DM.因為M是的中點，所以DM是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面.

（2）取的中點，可知，所以平面ABC.以D為原點，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設三棱柱的高為h，則，，，，，，，，.設平面的一個法向量為，則，取，得.設平面的一個法向量為，則，取，得.所以，解得，所以，由（1）知平面，所以直線到平面的距離即點A到平面的距離，因為，所以直線到平面的距離為.

19．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡，可得，利用余弦定理化簡，并把代入即可求得的值；（2）設,利用，結(jié)合三角形面積公式可求得繼而可求得的值，并進一步計算即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，則，又，由余弦定理得：化簡為，把代入上式，并化簡可得：；（2）設,因為平分，且交于點，則，即，又，，化簡為，又，所以則所以的面積20．(1)(2)【分析】（1）設出兩點坐標，結(jié)合點在拋物線上及中點的橫坐標，利用兩點斜率公式求解即可；（2）利用導數(shù)求出切線斜率，根據(jù)點斜式寫出兩切線方程，從而求出點E的橫坐標，進而求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立即可求解點的坐標.【詳解】（1）設，則，又的中點在直線上，所以，所以直線的斜率為.（2）設，，由拋物線方程可得，所以點處的切線方程為，所以，同理可得點處的切線方程為，聯(lián)立兩條切線方程得，所以，則，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，所以.21．(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意利用構(gòu)造關于數(shù)列的方程組，從而進行求解出通項公式；（2）根據(jù)題意先求出數(shù)列的公式，然后分情況討論，從而求解；【詳解】（1）解：由題意知

①，得

②將②與①式相減得：，所以得，所以，當時，也滿足；所以的通項公式為.（2）解：不存在，理由如下：設數(shù)列的通項為，則，得，所以得即即，當為偶數(shù)時：，得，當為奇數(shù)時：，得，所以得：當，都為偶數(shù)時，得，，此時：，此情況不符合題意；當，都為奇數(shù)時，得：，，此時：，此情況不符合題意；當為奇數(shù)，都為偶數(shù)時，得：，，此時：，此情況不符合題意；當為偶數(shù)，都為奇數(shù)時，得，，此時：，此情況不符合題意；綜上所述：不存在，使得.思路點睛：用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的．22．(1)在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）求導得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，從而得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，再求導得，從而利用導數(shù)得到在上單調(diào)遞增且，分類討