江蘇省連云港市2024屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市2024屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，則，解得：，所以，由可得，即，則，解得：，故，故B錯(cuò)誤；故A或，故A錯(cuò)誤；或，，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.已知，，若，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小值為.故選：D.3.在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則（）A.1 B. C. D.-1〖答案〗B〖解析〗點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，如圖所示，所以.故選：B.4.“”是“直線：與：平行”的（）A充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗時(shí)，直線：即，與直線：平行，充分性成立；直線：與：平行，有，解得或，其中時(shí)，兩直線重合，舍去，故，必要性成立.“”是“直線：與：平行”的充要條件.故選：A.5.塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達(dá)200~400年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合印度《關(guān)于禮實(shí)推進(jìn)型科技染物理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時(shí)間年之間的關(guān)系為，其中為初始量，為光解系數(shù).已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過（）年，其殘留量為初始量的10%.（參考數(shù)據(jù)：，）A.20 B.16 C.12 D.7〖答案〗B〖解析〗依題意有時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，有，，.故選：B.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與另一漸近線交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.3〖答案〗B〖解析〗如圖所示，由題意可知，，又因?yàn)槿羰堑闹悬c(diǎn)，,所以,所以根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的漸近線方程為：，，所以因?yàn)?，所以故選：B.7.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，其中正整數(shù)，則該數(shù)列的首項(xiàng)為（）A.-5 B.0 C.3 D.5〖答案〗D〖解析〗，又，兩式相減得：，解得：故選：D.8.已知函數(shù)，若對任意，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對函數(shù)求導(dǎo)得，對函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)得，由基本不等式得，所以在上單調(diào)遞增，又注意到，所以、隨的變化情況如下表：由上表可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知，成立當(dāng)且僅當(dāng)，而成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以原問題轉(zhuǎn)化成了對任意，不等式組恒成立，將不等式組變形為，所以對任意，只需，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，綜上所述：滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9.若，為空間中兩條不同的直線，，，為空間三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗BC〖解析〗對于A，若，，則可能，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，則能在內(nèi)找一條直線，使得，因?yàn)?，則，因?yàn)?，由面面垂直的判定定理可得，故B正確；對于C，若，則能在內(nèi)找一條直線，使得，，，則，又因?yàn)?，所以，故C正確；對于D，若，，，則可能異面，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后與原圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為〖答案〗AB〖解析〗函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則時(shí)，取最值，，則有或，解得，A選項(xiàng)正確；，，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B選項(xiàng)正確；時(shí)，，正弦函數(shù)在上不單調(diào)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得函數(shù)的圖象，由與的圖象關(guān)于y軸對稱，則，即，則或，，

又不恒成立，

即，，

則，由，則時(shí)的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB．11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)是上異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且與相切的直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，，為垂足，則（）A.當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的方程為B.設(shè)，則的最小值為4C.D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，則，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡可得：，故A正確；對于B，的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的最小值，所以的最小值為，故B錯(cuò)誤；對于C，不妨設(shè)點(diǎn)在一象限，則點(diǎn)，所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡可得：，令，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，，，所以，所以，故C正確.對于D，因?yàn)椋?，，，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，又由拋物線的定義可得：，所以四邊形是菱形，所以平分，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗已知，則，有，由，得，則，即，所以，A選項(xiàng)正確；函數(shù)，有，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，，，即，時(shí)等號成立，已知，由，所以，B選項(xiàng)正確；已知，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，所以，有，得，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，有，則，，有，設(shè)，有，由，有，，，在上恒成立，得在上單調(diào)遞增，，即，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題13.已知向量，，則____________.〖答案〗5〖解析〗向量，，則，.故〖答案〗為：5.14.已知，則____________.〖答案〗〖解析〗已知，.故〖答案〗為：15.已知直線分別與曲線，相切于點(diǎn)，，則的值為____________.〖答案〗1〖解析〗由，，有，，在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，則有，得，所以，可得.故〖答案〗為：1.16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，過點(diǎn)動(dòng)直線與圓交于點(diǎn)，，若的面積最大值為，則的最大值為____________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閳A：，即，可知圓心，半徑，設(shè)圓心到動(dòng)直線的距離為d，設(shè)其最大值為，可知，則，可得的面積，令，可知在上的最大值為，令，解得或，結(jié)合二次函數(shù)對稱性可知，即，即圓心到動(dòng)直線的距離的最大值為2，此時(shí)點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓M上，又因?yàn)榧礊辄c(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，顯然當(dāng)直線與圓M相切于第一象限時(shí)，斜率最大，此時(shí)，可知，即的最大值為為.故〖答案〗為：.四、解答題17.在正方體中，設(shè)，分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：連接交于，連接，，.在正方體中，，，四邊形平行四邊形，所以，.正方形中，，故是的中點(diǎn)，所以，且，在中，，分別是，的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面.（2）解：法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方體的棱長為2，故，，，，.在正方體中，平面，故是平面的一個(gè)法向量.設(shè)是平面的法向量，，，故即取，則所以是平面的一個(gè)法向量.故，設(shè)二面角的大小為，據(jù)圖可知，，所以二面角的余弦值為.法二：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，.在正方體中，，，又，分別是，的中點(diǎn)，故，，四邊形是平行四邊形，所以，又，，故，，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，?在正方形中，，在中，，分別是，的中點(diǎn)，故，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?所以是二面角的平面角.不妨設(shè)正方體的棱長為2，在中，，，故，所以，所以二面角的余弦值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄A與圓內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.解：（1）設(shè)圓的半徑為，圓的圓心，半徑為1，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，且與直線相切，所以圓心到直線的距離為，因此圓心到直線的距離為，且，故圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，據(jù)拋物線的定義，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，.聯(lián)立方程組整理得，故所以.因?yàn)?，直線的方程為，同理可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號.所以四邊形面積的最小值為32.19.在中，，，所對的邊分別為，，，已知.（1）若，求的值；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.解：（1）在中，，據(jù)余弦定理可得，又，故，即，又，故，得.（2）在中，據(jù)余弦定理可得，又，故，即，又，故.據(jù)正弦定理，可得，所以，即，所以，，因?yàn)?，所以，或，即或（舍?所以.因?yàn)槭卿J角三角形，所以得，所以，故，，所以的取值范圍是.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）證明：.（1）解：由數(shù)列的前項(xiàng)積為，得，又，所以，當(dāng)時(shí)，，整理得，即，所以，當(dāng)時(shí)，為定值，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）證明：因?yàn)?，令，得，，故，結(jié)合（1）可知，是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，得.所以，當(dāng)時(shí)，，顯然符合上式，所以.所以，故.因?yàn)椋?，所?21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)，之間）.（1）記直線，的斜率分別為，，求的值；（2）設(shè)直線與交于點(diǎn)，求的值.解：（1）設(shè)直線l的方程為，，.聯(lián)立方程組，整理得，則，即，所以；（2）由（1）可知，，故直線與關(guān)于直線對稱，設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，則與關(guān)于軸對稱，設(shè)，則.所以直線的方程為，直線的方程為，故點(diǎn)滿足方程組，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，即，整理得，所以點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，且，恰好為該雙曲線的焦點(diǎn)，依題意，點(diǎn)在，之間，所以，得，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng)，所以.22.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)存在極大值，且極大值小于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）依題意，，，即，.令，，故，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.所以，得，所以實(shí)數(shù)的最小值為2.（2）依題意，，，故，令，則，①若，，則即在上單調(diào)遞增；因?yàn)椋?，且在上的圖象不間斷，據(jù)零點(diǎn)存在性定理，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上不存在極大值，