專題02 垂徑定理及其應(yīng)用（解析版）

專題02垂徑定理及其應(yīng)用圓的對(duì)稱性圓的軸對(duì)稱性：過圓心的任一條直線（直徑所在的直線）都是它的對(duì)稱軸。垂徑定理垂徑定理包含兩個(gè)條件和三個(gè)結(jié)論，即條件結(jié)論符號(hào)語言：推論1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意兩個(gè)成立，都可以推出另外三個(gè)都成立。推論2：平行的兩弦之間所夾的兩弧相等。相關(guān)概念：弦心距：圓心到弦的距離（垂線段OE）。應(yīng)用鏈接：垂徑定理常和勾股定理聯(lián)系在一起綜合應(yīng)用解題（利用弦心距、半徑、半弦構(gòu)造Rt△OAE）。圓的對(duì)稱性以及垂徑定理例題講解概念考察【例1】下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)是（）A．平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B．平分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦C．弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心D．在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和它所對(duì)弦的直線必過這個(gè)圓的圓心【答案】D【解析】平分弦（不是直徑）的直徑，垂直于弦，A說法錯(cuò)誤過圓心且平分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦，B錯(cuò)誤弦的垂直平分線必經(jīng)過這條弦所在圓的圓心，C錯(cuò)誤【例2】下列命題中，正確的是（）．A．過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的弧B．過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心C．弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦，且過圓心D．弦的垂線平分弦所對(duì)的弧【答案】C【解析】A、B都未指出這條直線應(yīng)該為垂線，所以AB都錯(cuò)誤D未說明過弦的中點(diǎn)，所以錯(cuò)誤【例3】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A、AE=BEB、=C、△BOC是等邊三角形D、四邊形ODBC是菱形【答案】B【解析】∵AB⊥CD，AB過O，∴DE=CE，=，(垂徑定理）不能推出DE=BE，△BOC是等邊三角形，四邊形ODBC是菱形．【例4】如圖，已知在⊙O中，AB是弦，半徑OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，要使四邊形OACB為菱形，還需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（）AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB【答案】B【解析】OC＝2CD．理由如下：∵在⊙O中，AB是弦，半徑OC⊥AB，∴AD＝DB，∵OC＝2CD，∴AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，∴四邊形OACB為菱形．【例5】下列命題：（1）垂直于弦的直線平分弦；（2）平分弦的直徑必垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）平分弦的直線必過圓心；（4）弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦。其中正確的命題有（

)A.

1個(gè)

B.

2個(gè)

C.

3個(gè)

D.

4個(gè)【答案】A【解析】（1）垂直于弦的直徑平分弦，錯(cuò)誤；（2）平分弦（不是直徑）的直徑必垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，錯(cuò)誤；（3）垂直于弦且平分弦的直線必過圓心，錯(cuò)誤；（4）弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦．正確；其中正確的命題有1個(gè).故答案為：A．求弦長(zhǎng)【例1】．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE交⊙O于點(diǎn)F，若AE＝2，⊙O的直徑為10，則AC長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】解：連接OF，如圖：∵DE⊥AB，AB過圓心O，∴DE＝EF，＝，∵D為弧AC的中點(diǎn)，∴＝，∴＝，∴AC＝DF，∵⊙O的直徑為10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝4，∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故選：D．【例2】如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE=2，DE=8，那么AB的長(zhǎng)為〔〕A、2B、4C、6D、8【答案】D【解析】解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8【例3】把半徑長(zhǎng)為2.5的球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知CD＝4，則EF＝（）A．2 B．2.5 C．4 D．5【答案】C【解析】設(shè)球的平面投影圓心為O，過點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，延長(zhǎng)NO交BC于點(diǎn)M，連接OF，如圖所示：則NF＝EN＝EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，【例4】如圖，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分別是AB，AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，PQ＝16，以PQ為直徑的⊙O與BD交于點(diǎn)M，N，則MN的最大值為．【答案】8【解析】過A點(diǎn)作AH⊥BD于H，連接OM，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，∵×AH×BD＝×AD×AB，∴AH＝＝12，∵⊙O的直徑為16，∴⊙O的半徑為8，∴點(diǎn)O在AH上時(shí)，OH最短，∵HM＝，∴此時(shí)HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，則最大值為＝4，∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值為2×4＝8．故答案為：8．【例5】如圖，點(diǎn)E在y軸上，⊙E與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），則線段AB的長(zhǎng)度為（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】連接EB，如圖所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD＝1，OC＝9，∴CD＝10，∴EB＝ED＝CD＝5，OE＝5﹣1＝4，∵AB⊥CD，∴AO＝BO＝AB，OB＝＝＝3，∴AB＝2OB＝6；故選：C．【例6】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)A（13，0），直線與O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為______．【答案】24【解析】解：∵直線y＝kx﹣3k+4＝k（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）＝y(tǒng)﹣4，∵k有無數(shù)個(gè)值，∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，解得x＝3，y＝4，∴直線必過點(diǎn)D（3，4），∴最短的弦CB是過點(diǎn)D且與該圓直徑垂直的弦，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，4），∴OD＝5，∵以原點(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)A（13，0），∴圓的半徑為13，∴OB＝13，∴BD＝12，∴BC的長(zhǎng)的最小值為24；故答案為：24．【例7】如圖，AB為⊙O的直徑，弦AB與CD交于點(diǎn)P，且∠BPD=30°，AP=3，BP=7，求CD的長(zhǎng)．【答案】【解析】解：作OH⊥CD于H，連結(jié)OC，如圖，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝3，BP＝7，∴AB＝10，∴OA＝5，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝5，OH＝1，∴，∴CD＝2CH＝求半徑（直徑）【例1】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半徑．【答案】16.9【解析】解：連接OA交BC于點(diǎn)D，連接OC，OB，∵AB=AC=13，∴=，∴∠AOB=∠AOC，∵OB=OC，∴AO⊥BC，CD=BC=12在Rt△ACD中，AC=13，CD=12所以AD=設(shè)⊙O的半徑為r那么在Rt△OCD中，OD=r﹣5，CD=12，OC=r所以〔r﹣5〕2+122=r2解得r=16.9．答：⊙O的半徑為16.9．【例2】如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧〔圖中的弧AB〕，點(diǎn)O是這段弧的圓心，點(diǎn)C是弧AB上的一點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為D，如AB=60m，CD=10m，求這段彎路的半徑．【答案】50【解析】解：∵OC⊥AB，∴AD=DB，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，設(shè)半徑為r得：r2=〔r﹣10〕2+302，解得：r=50，∴這段彎路的半徑為50m．【例3】如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的弦，C為優(yōu)弧ABE的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D．若AE＝8，DB＝2，則⊙O的半徑為（）A．6 B．5 C．4 D．4【答案】B【解析】解：如圖，連接CO，延長(zhǎng)CO交AE于點(diǎn)T．設(shè)⊙O的半徑為r．∵＝，∴CT⊥AE，∴AT＝TE＝AE＝4，在△AOT和△COD中，，∴△AOT≌△COD（AAS），∴CD＝AT＝4，在Rt△COD中，OC2＝CD2+OD2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，【例4】如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm，水面最深地方的高度為2cm，則該輸水管的半徑為cm．【答案】5【解析】如圖所示：過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝×8＝4cm，設(shè)OA＝r，則OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5cm．∴該輸水管的半徑為5cm；【例5】用工件槽（如圖1）可以檢測(cè)一種鐵球的大小是否符合要求，已知工件槽的兩個(gè)底角均為90°，尺寸如圖（單位：cm）．將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖1所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖2是過球心O及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，求這種鐵球的直徑．【答案】20【解析】解：連接OA、OE，設(shè)OE與AB交于點(diǎn)P，如圖∵AC＝BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四邊形ACDB是矩形∵CD＝16cm，PE＝4cm∴PA＝8cm，BP＝8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2＝PA2+OP2即OA2＝82+（OA﹣4）2解得：OA＝10．答：這種鐵球的直徑為20cm．求弦心距【例1】如圖，⊙O的半徑為13，弦AB長(zhǎng)為24，那么點(diǎn)O到AB的距離是〔〕A、6B、5C、4D、3【答案】B【解析】解：過O作OC⊥AB于C，∵OC過O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．應(yīng)選：B．【例2】如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OC，則OC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，AC＝BC＝4，OA＝5，∴OC＝＝＝3，【例3】在直徑為10cm的圓中，弦的長(zhǎng)為8cm，則它的弦心距為cm【答案】3【解析】先畫出圖形，如圖，然后連接AO，作OC垂直于AB，根據(jù)垂徑定理得到AC=4，由題目得半徑為5，根據(jù)勾股定理算出弦心距為3.【例4】如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），下列符合條件的OP的值是（）A．5.8 B．3.8 C．1.3 D．2.5【答案】B【解析】當(dāng)OP垂直于AB時(shí)，此時(shí)最短。此時(shí)根據(jù)勾股定理可得OP=3；當(dāng)P點(diǎn)與A、B重合時(shí)此時(shí)最長(zhǎng)為5，所以，3≤OP＜5，由此可得只有B選項(xiàng)滿足答案。求拱高【例1】一根橫截面為圓形的下水管道的直徑為1米，管內(nèi)有少量的污水〔如圖〕，此時(shí)的水面寬AB為0.6米．〔1〕求此時(shí)的水深〔即陰影局部的弓形高〕；〔2〕當(dāng)水位上升到水面寬為0.8米時(shí)，求水面上升的高度．【答案】（1）0.4（2）當(dāng)MN及AB在圓心同側(cè)時(shí)，水面上升的高度為0.1米；當(dāng)MN及AB在圓心異側(cè)時(shí)，水面上升的高度為0.7米．【解析】解：〔1〕作半徑OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，連接OA，那么CD即為弓形高∵OC⊥AB，∴∵AO=0.5，AB=0.6，∴AD=AB=×0.6=0.3，∴OD===0.4，〔2〕當(dāng)水位上升到水面寬MN為0.8米時(shí)，直線OC及MN相交于點(diǎn)P同理可得OP=0.3，當(dāng)MN及AB在圓心同側(cè)時(shí)，水面上升的高度為0.1米；當(dāng)MN及AB在圓心異側(cè)時(shí)，水面上升的高度為0.7米．【例2】如圖是一個(gè)裝有水的水管的截面，已知水管的直徑是100cm，裝有水的液面寬度為AB＝60cm，CD為過圓心且CD⊥AB，則水管中水的最大深度為多少？【答案】90【解析】解：連接OA，根據(jù)題意得：CD⊥AB，∴AD＝AB＝×60＝30（cm），∵水管的直徑是100cm，∴OA＝50cm，在Rt△AOD中，OD＝＝40（cm），∴CD＝OC+OD＝90（cm）．∴水管中水的最大深度為90cm．【例3】如圖，在一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為60m，拱高PM為18m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30m時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有64m，即PN=4m時(shí)，試通過計(jì)算說明是否需要采取緊急措施?！敬鸢浮坎恍枰窘馕觥拷猓涸O(shè)圓弧所在圓的圓心為O，連結(jié)OA，OA'，如圖所示設(shè)半徑為x(m)則OA=OA’=OP=x(m)由垂徑定理可知AM=BM

A’N=B’N∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2即x2=(x-18)2+302，解得x=34∴ON=OP-PN=34-4=30（m)在△A'ON中，由勾股定理可得A'N===16(m)A'B'=32m>30m∴不需要采取緊急措施。求兩平行線之間的距離【例1】已知圓心到圓的兩條平行弦的距離分別是2和3，則兩條平行弦之間的距離為．【答案】1或5【解析】?jī)蓷l平行弦在圓心的同側(cè)時(shí)，則兩條平行弦間的距離＝3﹣2＝1；當(dāng)兩條平行弦在圓心的兩側(cè)時(shí)，則兩條平行弦間的距離＝3+2＝5．【例2】已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，則CD與AB之間的距離是________.【答案】3【解析】解：過點(diǎn)作于，連接，如圖，則，在中，，所以與之間的距離是3.故答案為3.【例3】如圖，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為_____．【答案】【解析】解：連結(jié)BC，BC與EF的交點(diǎn)為P時(shí)，PA﹢PC最短連結(jié)OA，OC，由勾股定理得OE=3，OF=4∴EF=7∵AB∥CD∴∴EP﹢PF=7∴EP=4，PF=3∴BP=，PC=∴PA＋PC的最短距離=BC=【例4】在直徑為10厘米的圓中,兩條分別為6厘米和8厘米的平行弦之間的距離是厘米【答案】1或7【解析】當(dāng)兩條平行弦在圓心同側(cè)，根據(jù)勾股定理，最后得到平行弦之間距離為4-3=1當(dāng)兩條平行弦在圓心異側(cè)，根據(jù)勾股定理，最后得到平行弦之間距離為4+3=7綜合簡(jiǎn)答題【例1】如圖，⊙O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E．（1）OM⊥CD于點(diǎn)M，CD＝24，⊙O的半徑長(zhǎng)為4，求OM的長(zhǎng)．（2）點(diǎn)G在BD上，且AG⊥BD交CD于點(diǎn)F，求證：CE＝EF．【答案】（1）4（2）見解析【解析】（1）解：如圖，連接OD，∵OM⊥CD，OM過圓心，CD＝24，∴DM＝CM＝CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM＝＝＝4，即OM的長(zhǎng)為4；（2）證明：如圖，連接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．【例2】如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長(zhǎng)度．【答案】3【解析】解：∵E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，，∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝＝＝3【例3】如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，連接AD．（1）求證：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）證明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵，∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：設(shè)OE的長(zhǎng)為x，連接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合題意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半徑為．課后練習(xí)題：1．在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數(shù)y＝x的圖象被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為，則a的值是．【答案】2+．【解析】解：過P點(diǎn)作PE⊥AB于E，過P點(diǎn)作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．∵AB＝2，∴AE＝，PA＝2，∴PE＝1．∵點(diǎn)D在直線y＝x上，∴∠AOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∴PD＝．∵⊙P的圓心是（2，a），∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，∴OC＝2，∴DC＝OC＝2，∴a＝PD+DC＝2+．2、 如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為cm．【答案】2【解析】解：過點(diǎn)O作OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，連接OA，∵OA＝2OD＝2cm，∴AD＝＝＝cm，∵OD⊥AB，∴AB＝2AD＝cm．3．下列語句中不正確的有（）①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等?。瓵．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】①和④、錯(cuò)誤，應(yīng)強(qiáng)調(diào)在同圓或等圓中；②、錯(cuò)誤，應(yīng)強(qiáng)調(diào)不是直徑的弦；③、錯(cuò)誤，應(yīng)強(qiáng)調(diào)過直徑所在的直線才是它的對(duì)稱軸．4、如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB于點(diǎn)E，若∠BAD＝30°，且BE＝2．（1）求⊙O半徑；（2）求弦CD的長(zhǎng)．【答案】（1）4（2）4．【解析】解：（1）連接OD，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝r﹣2，∵∠BAD＝30°，∴∠DOE＝60°，∵CD⊥AB，∴CD＝2DE，∠ODE＝30°，∴OD＝2OE，即r＝2（r﹣2），解得r＝4；（2）∵由（1）知r＝4，BE＝2，∴OE＝4﹣2＝2，∴DE＝＝＝2，∴CD＝2DE＝4．5.如圖，在⊙O內(nèi)有折線OABC，點(diǎn)B、C在圓上，點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，其中OA＝4cm，BC＝10cm，∠A＝∠B＝60°，則AB的長(zhǎng)為（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】B【解析】解：延長(zhǎng)AO交BC于D，作OE⊥BC于E，設(shè)AB的長(zhǎng)為xcm，∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB為等邊三角形；∴BD＝AD＝AB＝x；∵OA＝4cm，BC＝10cm，∴BE＝5cm，DE＝（x﹣5）cm，OD＝（x﹣4）cm，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD，∴x﹣5＝（x﹣4），解得：x＝6．故選：B．6、如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD＝8，EB＝2，則⊙O的半徑為．【答案】5【解析】解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝R﹣2，∵CD⊥AB，∴CE＝CD＝4，由勾股定理得，OC2＝OE2+CE2，即R2＝（R﹣2）2+42，解得，R＝5，則⊙O的半徑為5，7、如圖，已知AB，CG是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD于點(diǎn)E，CG⊥AD于點(diǎn)F．（1）求∠AOG的度數(shù)；（2）若AB＝2，求CD的長(zhǎng)． 【答案】見解析【解析】解：（1）連接OD，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，由圓周角定理得，∠A＝∠BOD，∴∠A＝∠BOD，∵∠AOG＝∠BOD，∴∠A＝∠AOG，∵∠OFA＝90°，∴∠AOG＝60°；（2）∵∠AOG＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠C＝30°，∴OE＝OC＝，