第4.2講指數(shù)函數(shù)新高一數(shù)學寶典（人教A版2019）

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)第4.2講指數(shù)函數(shù)一、學習目標1．了解指數(shù)函數(shù)的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念，重點發(fā)展數(shù)學抽象核心素養(yǎng)．2．掌握指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，初步學會運用指數(shù)函數(shù)解決簡單問題，重點提升直觀想象、數(shù)學運算核心素養(yǎng)．3．能利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式，比較大小，重點提升數(shù)學運算核心素養(yǎng)．4．指數(shù)函數(shù)與函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應用，重點提升邏輯推理核心素養(yǎng)．二、重點難點1、指數(shù)函數(shù)概念的應用2、指數(shù)函數(shù)的圖像問題3、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用三、核心知識指數(shù)函數(shù)的定義某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…，一個這樣的細胞分裂x次以后，得到的細胞個數(shù)y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式是什么？與二次函數(shù)y＝x2有什么區(qū)別？提示：y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x(x∈N*)，y＝2x與y＝x2的區(qū)別在于前者的自變量在指數(shù)位置上，而y＝x2的自變量在底數(shù)位置上．一般地，函數(shù)y＝ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a＞0且a≠1，x是自變量．指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．函數(shù)y＝2x與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖像及函數(shù)y＝3x與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的圖像有什么關(guān)系？提示：函數(shù)y＝2x與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，y＝3x與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的圖像也關(guān)于y軸對稱．2．指數(shù)函數(shù)圖像的上升、下降與底數(shù)a有怎樣的關(guān)系？對應的函數(shù)的單調(diào)性如何？提示：它們的圖像都在x軸上方，向上無限伸展，向下無限接近于x軸；當?shù)讛?shù)a大于1時圖像上升，為增函數(shù)；當?shù)讛?shù)a大于0小于1時圖像下降，為減函數(shù)．3．指數(shù)函數(shù)圖像過哪些定點？這與底數(shù)的大小有關(guān)系嗎？提示：無論底數(shù)a＞1還是0＜a＜1，圖像都過定點(0，1)。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)圖像a＞10＜a＜1性質(zhì)定義域R，值域(0，＋∞)圖像都過點(0，1)當x＞0時，y＞1；x＜0時，0＜y＜1當x＞0時，0＜y＜1；x＜0時，y＞1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)y＝ax與y＝a－x的圖像在同一坐標系中關(guān)于y軸對稱設x1，x2∈R，則f(x1＋x2)＝f(x1)·(x2)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)1．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)，當?shù)讛?shù)變化時，各函數(shù)圖像間有怎樣的關(guān)系？提示：(1)當a＞1時，a的值越大，圖像越靠近y軸，遞增速度越快．(2)當0＜a＜1時，a的值越小，圖像越靠近x軸，遞減速度越快．(3)底數(shù)互為倒數(shù)時，圖像關(guān)于y軸對稱．2．當a＞b＞0(a≠1，且b≠1)時，對任意一個實數(shù)x0，什么時候ax0＞bx0？什么時候ax0＜bx0？什么時候ax0＝bx0?提示：由圖像可知：①當a＞b＞1時，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0；②當1＞a＞b＞0時，x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0.綜上可知：對a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始終有x0∈(0，＋∞)，ax0＞bx0；x0∈(－∞，0)，ax0＜bx0；x0＝0，ax0＝bx0.三、核心例題題型1指數(shù)函數(shù)概念的應用1．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或 B．C． D．且【答案】C【詳解】因為函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以，解得.故選：C.2．若指數(shù)函數(shù)的圖象過點，則的解析式為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設（且），則，解得，故.故選：D3．函數(shù)，且的圖象經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．9【答案】D【詳解】由題意可知，，，且，得，所以，.故選：D4．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【詳解】由得，由得，若，則，解得，舍去；若，則，解得，符合題意；故選：C.5．下列函數(shù)中，滿足的是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：D.題型2指數(shù)函數(shù)的圖像問題6．函數(shù)恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】指數(shù)函數(shù)（且）過定點，所以，當時的值恒為2，即過定點，故選：B7．若，則函數(shù)與的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以是增函數(shù)，的圖象與軸上的交點為故只有A項正確．故選：A.8．指數(shù)函數(shù)與的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當時，指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)；當時，指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，所以根據(jù)函數(shù)的圖象可知，．故選：C．9．函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數(shù)：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】C【詳解】解：直線與函數(shù)圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，而，所以a，b，c，d的值分別是，，，，故選：C.10．函數(shù)y=2|x|的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】y=2|x|=，故當時，函數(shù)圖象同單調(diào)遞增；當時，函數(shù)圖象同單調(diào)遞減，且時，.滿足以上條件的只有.故選：B.題型3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用11．已知，那么的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，又，所以.故選：B.12．函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為是定義域在上的增函數(shù)．所以當時，，，所以的值域為．故選：C.13．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上為減函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于選項A，當時，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以選項A錯誤；對于選項B，易知的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，故為奇函數(shù)，所以選項B錯誤；對于選項C，易知定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以為偶函數(shù)，又當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以選項C正確；對于選項D，，易知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以選項D錯誤.故選：C.14．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖象過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或．當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，故，此時，當時，，即的圖象過定點．故選：A15．已知函數(shù)，是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由函數(shù)，是上的增函數(shù)，得，解得，即，故選：D.當堂達標一、單選題1．設，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，由于函數(shù)在R上是增函數(shù)，且，所以，即.故選：D.2．如圖的曲線是冪函數(shù)分別取四個值，與曲線相應的依次為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為函數(shù)為增函數(shù)，所以，所以作直線分別與曲線相交，交點由上到下分別對應的n值為，由圖可知，曲線相應n值為.故選：A3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則的值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，又為偶函數(shù)，所以，故選：D4．要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】D【詳解】因為，，所以，為了得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象向右平移個單位，故選：D.5．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】要使函數(shù)有意義，則故或，所以的定義域為．故選：C.6．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令，則二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，因為外層函數(shù)為上的減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，解得.故選：A.7．已知函數(shù)，則（

）A． B．1516 C． D．1517【答案】D【詳解】由題意，在中，因為當時，，所以是以為周期的周期函數(shù)，故，，所以.故選：D.8．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【詳解】的定義域為，，所以是奇函數(shù)，由于，所以在上單調(diào)遞增.故選：A二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域為 B．若函數(shù)是奇函數(shù)，則C．函數(shù)在定義域上是減函數(shù) D．若，則【答案】AB【詳解】A：由，所以本選項正確；B：因為是奇函數(shù)，所以，所以本選項正確；C：，顯然，所以本選項不正確；D：，因此本選項不正確，故選：AB10．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，，已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．的值域是【答案】ACD【詳解】對于A中，函數(shù)，其定義域為，則，即，所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，所以A正確；對于B中，由，可得，，所以不是偶函數(shù)，所以B錯誤；對于C中，由函數(shù)，因為，可得為單調(diào)遞增函數(shù)，則為增函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以C正確；對于D中，因為，可得，所以，則，可得，即，所以D正確.故選：ACD.三、填空題11．函數(shù)且的圖象經(jīng)過點，則.【答案】【詳解】因為函數(shù)且的圖象經(jīng)過點，所以，解得，所以.故答案為：12．已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù).【答案】1【詳解】因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，解得，可知，則，即，可知是奇函數(shù)，故符合題意，綜上所述：.故答案為：1.四、解答題13．已知指數(shù)函數(shù)（，且）的圖象過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）∵指數(shù)函數(shù)（，且）過點，∴，∴解得，∴函數(shù)的解析式為.（2）若，則，∴，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，∴，解得，∴實數(shù)的取值范圍是.14．已知函數(shù)在上的最小值是，最大值是，求的值.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，所以最小值，最大值，所以.15．已知函數(shù)，且.(1)求a及的值；(2)判斷的奇偶性并證明.【詳解】（1）由已知可得，，解得，，所以，