重難點07函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題（四大題型）

重難點07函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題【題型歸納目錄】題型一：零點問題題型二：函數(shù)嵌套問題題型三：共零點問題題型四：等高線問題【典型例題】題型一：零點問題例1．函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，可得，因為，所以，，可得，所以；令，可得，因為，所以，，可得，所以；令，可得，因為，所以，，可得，所以；綜上，．故選：A．例2．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)是滿足的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，則當(dāng)時，，因為函數(shù)是滿足的偶函數(shù)，所以函數(shù)的一個周期為，所以函數(shù)的圖像如下：函數(shù)有個零點即為的圖像有個交點，當(dāng)時顯然不符合題意；當(dāng)時，與函數(shù)的圖像如圖：有且只有個交點，與題意不符；當(dāng)時，若滿足題意，則與函數(shù)的圖像如圖：即，解得．故選：D．例3．已知，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題設(shè)，當(dāng)時且遞減，當(dāng)時且遞減，令，則，可得或，如下圖示：由圖知：時有一個零點，時有兩個零點，故共有3個零點．故選：C變式1．已知定義在上的偶函數(shù)的圖像是連續(xù)的，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個周期為6 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上共有100個零點【答案】C【解析】因為，所以令，得，故，又為偶函數(shù)，所以，所以，即，故，所以的一個周期為12，故A錯誤；又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，由周期性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；因為為偶函數(shù)，所以圖像關(guān)于y軸對稱，由周期性可知圖像關(guān)于直線對稱，故C正確；因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，又，所以由周期性可知，在區(qū)間上，，而區(qū)間上有168個周期，故在區(qū)間上有336個零點，又，所以在區(qū)間上有337個零點，由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上有674個零點，故D錯誤；故選：C．變式2．若函數(shù)滿足，且時，，已知函數(shù)則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為（

）A．14 B．13 C．12 D．11【答案】C【解析】因為，則，所以是周期為2函數(shù)，因為時，則、的圖象如下：時且遞增，時且遞減，時且遞增，又，，，由圖知：區(qū)間上函數(shù)交點共有12個．故選：C．變式3．已知函數(shù)在恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時為減函數(shù)，且，若，此時當(dāng)時，無零點，所以當(dāng)時，有兩個零點，由，得，此時滿足條件，當(dāng)時，當(dāng)時，只有一個零點，要使恰有2個零點，則只需當(dāng)時，只有一個零點即可，由，得，當(dāng)時，由，得，只有一個零點，滿足條件，當(dāng)時，因為，所以要使當(dāng)時只有一個零點，則且，得，此時或，綜上，或，即實數(shù)的取值范圍是，故選：D變式4．已知函數(shù)恰有3個不相等的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，為減函數(shù)，且，若，此時當(dāng)時，沒有零點，則必須當(dāng)時，有3個零點，由，得，，不滿足；當(dāng)時，當(dāng)時，只有1個零點，要使恰有3個零點，則需當(dāng)時，有2個零點，由得或，∴要使當(dāng)時有2個零點，且，得，綜上，實數(shù)的取值范圍是，故選：A．變式5．函數(shù)，若有個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得，解得或，如下圖所示：由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，又因為函數(shù)有四個零點，故直線與函數(shù)有兩個零點，且，所以，且，因此，實數(shù)的取值范圍是．故選：D．題型二：函數(shù)嵌套問題例4．已知函數(shù)若方程有4個不同的零點，且，則（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【解析】由題意，方程有4個不同的零點，即曲線與直線有4個不同的交點，如下圖因為，所以由圖知，且，可得：，∴，解得：，則，∴.故選：A.例5．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有且只有2個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知函數(shù)，有2個不同的零點；令，得，有2個對應(yīng)的根，根據(jù)判別式法則有與兩種情況：當(dāng)時，即，得，即，解得，即，此時無解，所以此種情況不符題意；當(dāng)時，即，得；設(shè)的實根為：和，不妨設(shè)，則，則方程與一共有兩個不等實根．進一步可知：方程和有且僅有一個方程有兩個不等實根．即和中一個方程有兩不等實根，另一個方程無實根．因為，所以，即，即，則，設(shè)，則，則，所以，解得，，，即．故選：B.例6．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】函數(shù)的零點，即方程和的根，函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖可得方程和的根，共有4個根，即函數(shù)有4個零點．故選：C．變式6．已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則（

）A．6 B． C．2 D．【答案】B【解析】由函數(shù)的圖象，經(jīng)過沿軸翻折變換，可得函數(shù)的圖象，再經(jīng)過向右平移1個單位，可得的圖象，最終經(jīng)過沿軸翻折變換，可得的圖象，如下圖：則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，則，由圖可知，當(dāng)時，有個零點，當(dāng)時，有個零點，因為函數(shù)有6個不同的零點，所以函數(shù)有兩個零點，一個等于，一個大于，又因為的最小的零點為，且，所以函數(shù)的兩個零點，一個等于，一個等于，根據(jù)韋達定理得，，即，，則．故選：B．變式7．已知函數(shù)，則函數(shù)零點個數(shù)最多是（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】畫出的圖像，如圖所示，由，令，得，設(shè)，由圖像可知，則，得的圖像，如圖所示，由圖像可知，，①當(dāng)時，即，沒有根；②當(dāng)時，即，此時有3個根，，，當(dāng)時，即，有3個根，當(dāng)時，即，有4個根，當(dāng)時，即，有4個根，故時，有11個根；③當(dāng)時，，此時有三個根，，當(dāng)時，即，有4個根，當(dāng)時，即，有4個根，當(dāng)時，即，有4個根，故時，有12個根；綜上所述，最多有12個根，故選：B．變式8．函數(shù)，則函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【解析】令，由得或，所以或，當(dāng)時，或，當(dāng)時，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點之和為.故選：D.變式9．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知得，所以或，作出函數(shù)的圖象，得的圖象與直線恰有2個交點，所以由題意知直線與的圖象沒有交點，所以或，故選：B．變式10．已知函數(shù)，若函數(shù)有七個不同的零點，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得或，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，與有4個交點，即方程有4個不相等的實根，由題意可得：方程有3個不相等的實根，即與有3個交點，故實數(shù)t的取值范圍是.故選：D.變式11．已知函數(shù)，若恰有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則恰有3個零點，即的圖象與的圖象恰有3個不同的交點.的圖象如圖所示.不妨設(shè)，所以，所以，即，即，所以，所以，故選：A.題型三：共零點問題例7．若關(guān)于的方程有三不等的實數(shù)根，，，且滿足其中兩根，，則的取值范圍是A． B．， C． D．【解析】解：設(shè)，滿足其中兩根，，，（1），，，即，，，當(dāng)時，有一個根，不滿足題意，故，，即，解得，故選：．例8．（2023?永州校級月考）已知函數(shù)，且（1）（2）（3），則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：由（1）（2）（3），得，解得，則，由（1），得．即．故選：．例9．在下列各圖中，與的圖象只可能是A． B． C． D．【解析】解：在中，由二次函數(shù)開口向上，故故此時一次函數(shù)應(yīng)為單調(diào)遞增，故不正確；在中，由，則二次函數(shù)圖象必過原點故也不正確；在中，由二次函數(shù)開口向下，故故此時一次函數(shù)應(yīng)為單調(diào)遞減，故不正確；故選：．變式12．（2023?浙江）已知，且，對于任意均有，則A． B． C． D．【解析】解：設(shè)，可得的圖象與軸有三個交點，即有三個零點，，且，由題意知，在上恒成立，則，，，可得，恒成立，排除，；我們考慮零點重合的情況，即中間和右邊的零點重合，左邊的零點在負半軸上．則有或或三種情況，此時顯然成立；若，則不成立；若，即，可得，且和都在正半軸上，符合題意，綜上恒成立．故選：．變式13．（2023?海南）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且（2），則滿足的的取值范圍是A．，， B．，， C．，， D．，，【解析】解：定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且（2），的大致圖象如圖：在上單調(diào)遞減，且；故；當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)或時，即或時，不等式成立，當(dāng)時，不等式等價為，此時，此時，當(dāng)時，不等式等價為，即，得，綜上或，即實數(shù)的取值范圍是，，，故選：．變式14．（2023?長沙期末）設(shè)，若時，均有，則．【解析】解：當(dāng)時，均有，（1）時，代入題中不等式，明顯不成立．（2），構(gòu)造函數(shù)，，它們都過定點．考查函數(shù)：令，得，，．考查函數(shù)，時均有，故的圖象經(jīng)過，代入得，，解之得：，或（舍去）．故答案為：．變式15．（2023?杭州期末）若不等式對任意實數(shù)恒成立，則A． B．0 C．1 D．2【解析】解：不等式對任意實數(shù)恒成立，由于的解集為，，可得在，恒成立，可得，且，即且，解得，又的解集為，，，可得在，，恒成立，可得，或，即或，解得，綜上可得，故選：．題型四：等高線問題例10．已知函數(shù)，若存在四個實數(shù)a，b，c，d，滿足，，則的取值范圍為（

）A．(0，+∞) B． C． D．【答案】C【解析】依題意，可得的圖象如圖所示：所以時，與的圖象有四個交點，又因為，由圖象及函數(shù)性質(zhì)知:，易知:，，所以，又因為，所以，則.故選：C.例11．已知函數(shù)，若存在四個實數(shù)，，，，滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，由的圖象可知所以時，與的圖象有四個交點，不妨假設(shè)，由圖象及函數(shù)性質(zhì)知：，易知：，，所以，，則．故選：C例12．函數(shù)若,且,則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解:由題知,所以,畫出圖象如下:由圖象可知:,且有即,因為,所以,即,所以,因為,所以,因為,所以,由可得,即,所以,即.故選:B變式16．已知函數(shù)，若方程有四個不同的解且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意作函數(shù)與的圖象，∵方程有四個不同的解且，∴關(guān)于對稱，即，當(dāng)?shù)没?，則，由題知，，故，所以，故，因為，設(shè)，則由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在單調(diào)遞增，所以，的取值范圍是故選：B.變式17．已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出函數(shù)的圖象如圖，若，由，即，即，即，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，令，則，所以，.故選：D.變式18．已知函數(shù)，若??均不相等且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，不妨設(shè)，則所以，則．故選：．變式19．已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且，則abc的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)已知畫出函數(shù)圖象：不妨設(shè)，（a）（b）（c），，，解得，，．故選：B變式20．已知函數(shù)，若（)，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【解析】畫出圖像,結(jié)合圖像即可推出,,從而可得結(jié)論.畫出圖像如下圖所示:由圖可知,,即,又,所以,故選:C.變式21．已知，若存在三個不同實數(shù)，，使得，則的取值范圍是（

）A．(0,1) B．[2,0) C． D．（0,1）【答案】C【解析】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，故.故選：.變式22．函數(shù)，若且，，互不相等，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象（如圖所示），∵且，，互不相等，不妨令，∴，∴由得，即，即，∴，由函數(shù)