5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（精講）

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（精講）三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無二．周期函數(shù)條件①對于函數(shù)f(x)，存在一個非零常數(shù)T(T>0)②當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)結(jié)論函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期條件如果周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)結(jié)論這個最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期一．用三角函數(shù)圖象解三角不等式(1)作出相應(yīng)正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象；(2)寫出適合不等式在區(qū)間[0，2π]上的解集；(3)根據(jù)公式一寫出不等式的解集.二．求三角函數(shù)周期(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解.(2)公式法，對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝eq\f(2π,|ω|).(3)觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期.三．判斷函數(shù)奇偶性(1)看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；(2)看f(－x)與f(x)的關(guān)系.對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.四．單調(diào)區(qū)間的求法求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要先把ω化為正數(shù)．(1)當(dāng)A>0時，把ωx＋φ整體代入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，求得的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．(2)當(dāng)A<0時，把ωx＋φ整體代入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，求得的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；代入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．五．比較三角函數(shù)值大小(1)異名函數(shù)化為同名函數(shù)．(2)利用誘導(dǎo)公式把已知角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上．(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．六．求三角函數(shù)值域或最值（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函數(shù)，令t＝ωx＋φ，根據(jù)題中x的取值范圍，求出t的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y＝sint的最值(值域).(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx，將函數(shù)y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化為關(guān)于t的二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值).(3)對于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函數(shù)的最值還要注意對a的討論.考點一“五點法”作圖的應(yīng)用【例11】（2022·全國·高一專題練習(xí)）作出下列函數(shù)在一個周期圖象的簡圖：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】函數(shù)圖象見解析【解析】（1）解：因為，取值列表：0000描點連線，可得函數(shù)圖象如圖示：（2）解：因為，取值列表：00200描點連線，可得函數(shù)圖象如圖示：（3）解：因為，取值列表：01311描點連線，可得函數(shù)圖象如圖示：（4）解：因為，取值列表：0202描點連線，可得函數(shù)圖象如圖示：【例12】（2023秋·高一課時練習(xí)）當(dāng)時，作出下列函數(shù)的圖象，把這些圖象與的圖象進(jìn)行比較，你能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？（1）；（2）；（3）.【答案】答案見解析【解析】（1）該圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，故將的圖象作關(guān)于軸對稱的圖象即可得到的圖象.（2）將的圖象在軸上方部分保持不變，下半部分作關(guān)于軸對稱的圖形，即可得到的圖象.（3）將的圖象在軸右邊部分保持不變，并將其作關(guān)于軸對稱的圖形，即可得到的圖象.【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習(xí)）用“五點法”作出下列函數(shù)的簡圖.(1)，；(2)，.（3）在一個周期（）內(nèi)的圖像．(4),;(5),．（6），【答案】圖象見解析圖象見解析【解析】（1）列表：描點、連線、繪圖，如圖所示.（2）列表：1－1描點連線如圖.（3）列表:001010圖像如圖所示：（4）解:由題知,,列表如下:21232根據(jù)表格畫出圖象如下:（5）解:由題知,,列表如下:10101根據(jù)表格畫出圖象如下:（6）根據(jù)五點法作圖列表得：畫圖像得：考點二正弦、余弦函數(shù)的周期【例21】（2023湖南）下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是（

）A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin D．y＝cos【答案】D【解析】A.y＝sinx的最小正周期為，故錯誤；B.y＝cosx的最小正周期為，故錯誤；C.y＝sin的最小正周期為，故錯誤；D.y＝cos，故正確；故選：D【例22】（2023秋·高一課時練習(xí)）下列函數(shù)，最小正周期為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的最小正周期為，故A不符合；函數(shù)，其最小正周期為，故B不符合；因為函數(shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故C符合；因為函數(shù)的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故D不符合.故選：C.【一隅三反】1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，則其最小正周期.故選：B.2．（2023北京）下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，函數(shù)的最小正周期為，故A不符合題意；對于B，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，故B符合題意；對于C，函數(shù)的最小正周期為，故C不符合題意；對于D，函數(shù)，其圖象如圖，由圖可知，函數(shù)不是周期函數(shù)，故D不符合題意.故選：B.3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）（多選）下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，，的最小正周期為；對于B，，的最小正周期為；對于C，，的最小正周期為；對于D，∵，∴函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，不具有奇偶性，故錯誤.故選：ABC4．（2023春·江西上饒·高一校聯(lián)考期中）（多選）下列函數(shù)，最小正周期為的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于A，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，其圖象如下，不是周期函數(shù)，故A錯誤；對于B，作出函數(shù)的圖象如下，觀察可得其最小正周期為，故B正確；對于C，由周期公式可得，可得的最小正周期為，故C正確；對于D，由周期公式可得，可得的最小正周期為，故D錯誤.故選：BC考點三正弦、余弦函數(shù)的奇偶性【例31】7．（2023春·四川眉山·高一?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，∵，∴函數(shù)是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，∵，∴函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，函數(shù)是偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，函數(shù)是奇函數(shù)，最小正周期，故D正確．故選：D.【例32】（2021春·陜西榆林·高一校考階段練習(xí)）若函數(shù)）是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)）是奇函數(shù)，所以，解得，所以的最小值為，故選：A【例33】（2023秋·高一課時練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3).【答案】(1)偶函數(shù)(2)奇函數(shù)(3)非奇非偶函數(shù)．【解析】（1）的定義域為，，因為，所以為偶函數(shù)，（2）的定義域為，，因為，所以為奇函數(shù)，（3）由，得，解得，所以函數(shù)的定義域為，因為定義域不關(guān)于原點對稱，所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習(xí)）函數(shù)（

）A．是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)【答案】A【解析】由可知是奇函數(shù)．故選:A2．（2023春·云南·高一?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A，定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因為的圖象是由的圖象在軸下方的關(guān)于軸對稱后與軸上方的圖象共同組成（如下圖所示），又的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A正確；對于B：為最小正周期為的奇函數(shù)，故B錯誤；對于C：定義域為，，即為偶函數(shù)，又，所以為的周期，故C錯誤；對于D：為最小正周期為的偶函數(shù)，故D錯誤；故選：A3．（2023秋·高一課時練習(xí)）（多選）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（

）A．0 B．C． D．【答案】BD【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，解得，當(dāng)時，，所以B滿足題意；當(dāng)時，，所以D滿足題意；故選：BD.4．（2023秋·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學(xué)?？计谀ǘ噙x）以下函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】四個選項中函數(shù)的定義域均為全體實數(shù)，滿足關(guān)于原點對稱，對于:,,所以為奇函數(shù),故錯誤對于:,所以為偶函數(shù),故正確;對于:,,所以為偶函數(shù),故正確;對于:,,所以為偶函數(shù),故正確;故選:考點四正弦、余弦函數(shù)的對稱性【例41】（2023春·北京·高一北京市第一六一中學(xué)校考期中）函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于點對稱【答案】B【解析】A.，所以函數(shù)不關(guān)于直線對稱，故A錯誤；B.，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，故B正確；C.，所以函數(shù)不關(guān)于點對稱，故C錯誤；D.，所以函數(shù)不關(guān)于點對稱，故D錯誤；故選：B【例42】（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？计谀┮阎?shù)，如果函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，所以，，所以，，所以當(dāng)時，當(dāng)時，時，所以的最小值為.故選：C【一隅三反】1．（2023云南）函數(shù)圖象的一個對稱中心可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，由，得，，則不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故A錯誤；對于B，由，得，則不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故B錯誤；對于C，由，得，則不是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故C錯誤；對于D，，得，，則是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故D正確.故選：D.2．（2023春·四川成都·高一?？计谥校┫铝兄本€中，可以作為曲線的對稱軸的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，對于A，當(dāng)時，，則是曲線的對稱軸，A是；對于B，當(dāng)時，，則不是曲線的對稱軸，B不是；對于C，當(dāng)時，，則不是曲線的對稱軸，C不是；對于D，當(dāng)時，，則不是曲線的對稱軸，D不是.故選：A3．（2023春·河南駐馬店·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱C．的圖象關(guān)于點對稱 D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BD【解析】因為，令，則，所以的對稱軸方程為：，令，則D正確，A錯誤；令，則，所以的對稱軸中心為：，令，則的一個對稱中心為，則B正確，C錯誤.故選：BD.考點五正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性【例51】（2023春·重慶江津·高一?？计谥校ǘ噙x）函數(shù)在（

）A．區(qū)間上是增函數(shù) B．區(qū)間上是增函數(shù)C．區(qū)間上是減函數(shù) D．區(qū)間上是減函數(shù)【答案】BC【解析】.A選項，因在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上無單調(diào)性，故A錯誤；B選項，因在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，故B正確；C選項，因在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，故C正確；D選項，因在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上無單調(diào)性，故D錯誤.故選：BC【例52】（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】【解析】由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：【例53】（2023春·廣西欽州·高一?？计谥校ǘ噙x）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A選項，時，，單調(diào)遞增，故A符合.B選項，時，，單調(diào)遞減，故B不符合.C選項，時，，，單調(diào)遞減，故C不符合.D選項，時，，，單調(diào)遞增，故D符合.故選：AD.【例54】（2023春·安徽馬鞍山·高一安徽省當(dāng)涂第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由題意有,可得,又由，在上為減函數(shù)，故必有,可得.故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【一隅三反】1．（2023春·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的一個單調(diào)減區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，A、B都不是單調(diào)區(qū)間，D是單調(diào)增區(qū)間，C是單調(diào)減區(qū)間．故選：C2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，取可得，為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，B正確；取可得，為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，取可得，為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，A錯誤；因為在上單調(diào)遞增，C錯誤；取可得，為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以在上單調(diào)遞增，D錯誤故選：B.3．（2023秋·高一課時練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】因為，所以的單調(diào)遞增區(qū)間就是的單調(diào)遞減區(qū)間．令，解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.4．（2023·全國·高一課堂例題）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】，【解析】由題意，得，所以，，解得，．令，，則，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．故答案為：，5．（2023秋·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.當(dāng)時，由在區(qū)間上單調(diào)遞增可知，得；當(dāng)時，由解得；當(dāng)時，無實數(shù)解.易知，當(dāng)或時不滿足題意.綜上，ω的取值范圍為.故選：D6．（2023·全國·高一課堂例題）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的圖象的對稱軸為直線，，因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以對稱軸，在直線與直線之間，即，，化簡得，，因為，所以令，得，又當(dāng)時，，綜上.故選：B．考點六正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用【例61】（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，因為，，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B錯誤；對于C，因為，，又，所以，故C錯誤；對于D，因為，，又，所以，即，故D正確.故選：D.【例62】（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，，所以，所以.故選：C.【一隅三反】1．（2023春·廣西欽州·高一校考期中），，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增，又易知，所以.故選：B2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列選項中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，在上單調(diào)遞增，所以，故A正確；因為，所以比1距離正弦函數(shù)的對稱軸近，所以，故B正確；因為，而，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故C正確；因為，而，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，故D錯誤.故選：D3．（2023春·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，則大小關(guān)系（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，且在上單調(diào)遞增，則，即；又因為，且在上單調(diào)遞減，則，即，且，所以.故選：B.考點七正弦、余弦函數(shù)的最值(值域)問題【例71】（2023春·四川眉山·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，所以的值域是.故選：C.【例72】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是．【答案】【解析】函數(shù)，，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.故答案為：【例73】（2023春·河南周口·高一周口恒大中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域為．【答案】【解析】令，，則，即，所以，又因為，所以，即函數(shù)的值域為．故答案為：.【例74】（2023春·四川眉山·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，可得，因為函數(shù)的值域為，所以，解得.故選：C.【一隅三反】1（2022秋·江蘇常州·高一常州高級中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以，因為函數(shù)在上遞增，上遞減，又，，，所以即.故選：A．2．（2023秋·陜西安康·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的最小值是．【答案】【解析】由，又，則，所以，所以函數(shù)的最小值是．故答案為：．3．（2023春·江西宜春·高一江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在上的值域是，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，令則,如圖所示，∵的值域是，，∴，即：∴由圖可知，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.4．（2