【數(shù)學(xué)】河北省保定市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考試題（解析版）

河北省保定市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則直線與平面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以，故直線與平面所成角為.故選：.2.過圓的圓心且與直線垂直的直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閳A，即，所以圓心為，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率為，∴所求直線的方程為，即.故選：C3.已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的斜率，所以該直線的傾斜角為.故選：D.4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的方程為B.雙曲線的離心率為C.雙曲線的實(shí)軸長為D.雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】A【解析】由直線過點(diǎn)，得，，所以，又直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線與雙曲線漸近線平行時(shí)，，可得，雙曲線方程為，當(dāng)直線與雙曲線漸近線不平行時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線，得，，即，又，則，無解，所以雙曲線方程為，A選項(xiàng)正確；離心率，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；實(shí)軸長為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.5.加斯帕爾蒙日是世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（如圖所示）.當(dāng)橢圓方程為時(shí)，蒙日?qǐng)A方程為.已知長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.橢圓的離心率為B.若為正方形，則的邊長為C.橢圓的蒙日?qǐng)A方程為D.長方形的面積的最大值為【答案】B【解析】對(duì)于A，由橢圓方程知：，，則，橢圓的離心率，A正確；對(duì)于BC，由A知：橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為：，正方形是圓的內(nèi)接正方形，正方形對(duì)角線長為圓的直徑，正方形的邊長為，B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，設(shè)長方形的長和寬分別為，長方形的對(duì)角線長為圓的直徑，，長方形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即長方形的面積的最大值為，D正確.故選：B.6.已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，則的內(nèi)切圓半徑的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，橢圓方程為，則，，，即，又，所以，由于，所以.故選：D7.定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底，若向量，則稱實(shí)數(shù)組為向量在基底下的坐標(biāo).已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個(gè)基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的模長為（）A.3 B. C.9 D.6【答案】A【解析】由題意得向量在基底下的坐標(biāo)為：，則，所以向量在下的坐標(biāo)為：，所以模長為，故A項(xiàng)正確.故選：A.8.下列命題中，是假命題的是（）①若直線與直線平行，則的值為或0；②若為雙曲線上兩點(diǎn)，則可以是線段的中點(diǎn)；③經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示；④向量的夾角為鈍角時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.A.①④ B.③④ C.①②④ D.②④【答案】C【解析】對(duì)①：當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，錯(cuò)誤；對(duì)②：若成立，設(shè)，，直線斜率存在設(shè)為，則，，相減得到，即，解得，直線：，，整理得到，無解，錯(cuò)誤；對(duì)③：當(dāng)時(shí)，直線方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為，兩種情況可以合并為：，正確；對(duì)④：當(dāng)時(shí)，，，夾角為，錯(cuò)誤；故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中是假命題的是（）A.若為空間的一個(gè)基底，則不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底B.若非零向量與平面內(nèi)一個(gè)非零向量平行，則所在直線與平面也平行C.若平面的法向量分別為，則D.已知為直線的方向向量，為平面的法向量，則【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A.設(shè),即由為空間的一個(gè)基底，即不共面，則，解得即，所以共面，即不能構(gòu)成空間另一個(gè)基底，故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B.若非零向量與平面平行，則所在直線可能與平面平行，也可能在平面內(nèi)，選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)C.顯然向量不共線，因此平面不平行，選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D.由，得直線與平面平行，也可能直線在平面內(nèi)，選項(xiàng)D不正確；故選：BCD10.若點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離可以為（）A.0 B. C.3 D.5【答案】ABC【解析】由題意得：圓心，半徑：，直線過定點(diǎn)：，當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線垂直直線時(shí)，到直線有最大的距離且為：，當(dāng)直線與圓相交時(shí)有最小距離，故到直線的距離范圍為：，故選項(xiàng)ABC符合題意，D項(xiàng)不符合題意.故選：ABC.11.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A.若過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為12B.橢圓上存在點(diǎn)，使得C.若為橢圓上一點(diǎn)，且與的夾角為，則的面積為D.若為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)之間的最大距離是9【答案】BC【解析】設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則，所以，對(duì)于A，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，可取，設(shè)，則，所以，則，所以，解得，所以橢圓上存在點(diǎn)，使得，故B正確；對(duì)于C，由題意可得，在中，由余弦定理得，即，所以，所以的面積為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為正三角形，為的中點(diǎn)，且平面平面是線段上的一點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A.B.C.若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線平面D.若，則直線與平面所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，，又為正三角形，為的中點(diǎn)，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，故B正確；當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，則，且，又為的中點(diǎn)，底面是邊長為的菱形，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正確；因?yàn)槠矫嫫矫?，為正三角形，為中點(diǎn)，所以，平面平面，平面，所以平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，顯然與平面不垂直，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)位置時(shí)，才有，故A錯(cuò)誤；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，又，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面的夾角為，則，則，所以直線與平面所成角的余弦值為，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在空間直角坐標(biāo)系中，，則點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】【解析】在上的投影向量的模長.則點(diǎn)到直線的距離為故答案為：14.已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】圓即，圓心為，半徑，雙曲線的漸近線方程為，依題意，即，又，所以，所以離心率.故答案為：15.如圖，已知一個(gè)二面角的平面角為，它的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，，，，則線段的長為__________.【答案】【解析】過點(diǎn)作，且，則四邊形平行四邊形，，又，，，即為二面角的平面角，即，在中，即，又，，平面，平面，平面,，，在中，，即，故答案為：.16.某地發(fā)生地震，呈曲線形狀的公路上任意一點(diǎn)到村的距離比到村的距離遠(yuǎn)，村在村的正東方向處，村在村的北偏東方向處，為了救援災(zāi)民，救援隊(duì)在曲線上的處收到了一批救災(zāi)藥品，現(xiàn)要向兩村轉(zhuǎn)運(yùn)藥品，那么從處到、兩村的路程之和的最小值為__________.【答案】【解析】如圖，以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，由題意得，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，故，所以曲線的軌跡方程為，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以從處到、兩村的路程之和的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離的倍.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）如果把倍改成倍，求點(diǎn)的軌跡.解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，化簡得，即.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，化簡得，當(dāng)時(shí)，方程為，可知點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；當(dāng)且時(shí)，方程可化，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.18.已知橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足，若為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：由題意得，解得，所以橢圓方程為，因?yàn)椋栽跈E圓內(nèi)，所以直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，，所以，所以，所以，即，所以，所以直線為，即，因?yàn)闉橹本€上任意一點(diǎn)，所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離.19.如圖，已知正方體的棱長為，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面和底面夾角的正弦值.解：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，故，所以，所以，又，平面，因此平面.（2）平面的法向量為，，則取，可得，又，則點(diǎn)到平面的距離為.（3）設(shè)平面和底面夾角為，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，故，所以平面和底面夾角的正弦值為.20.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中，滿足，頂點(diǎn)、，且其“歐拉線”與圓相切.（1）求的“歐拉線”方程；（2）若圓M與圓有公共點(diǎn)，求a的范圍；（3）若點(diǎn)在的“歐拉線”上，求的最小值.解：（1）因?yàn)?，所以是等腰三角形，由三線合一得：的外心、重心、垂心均在邊的垂直平分線上，設(shè)的歐拉線為，則過的中點(diǎn)，且與直線垂直，由可得：的中點(diǎn)，即，所以，故的方程為.（2）因?yàn)榕c圓相切，故，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，則要想圓與圓有公共點(diǎn)，只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對(duì)值，故，所以.（3）因?yàn)?，所以該式子是表示點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和，又，所以上述式子表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有解得，即.所以，所以直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值為.21.已知圓與直線相切，圓心在直線上，且直線被圓截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求直線的斜率；（3）若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.解：（1）設(shè)圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與直線相切，所以.又直線被圓截得的弦長為，所以，解得即圓心坐標(biāo)為，所以圓方程為.（2）依題意，即為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則點(diǎn)到的距離為1，于是，解得，所以直線的斜率為.（3）由切線長定理可得，又因?yàn)?，所以，所以四邊形的面積，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最小值，且，所以四邊形的面積的最小值為.22.已知點(diǎn)在曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足